II. Hydratation des ciments de haut-fourneau
II. 1.5. La cinétique et le mécanisme de l’hydratation des différents constituants du clinker ensembleconstituants du clinker ensemble
11.2. Mécanismes d’hydratation du laitier dans les ciments
A estatística descritiva consiste num conjunto de valores que permitem caracterizar uma dada amostra e, a partir destes, analisar e retirar conclusões.
4.1.1.1
MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética pode ser interpretada como um valor de equilíbrio dos valores de uma dada série amostral. Existem vários tipos de médias, entre os quais estão a média aritmética, média ponderada, média harmónica, média quadrática, média geométrica e outras.
A forma mais simples de cálculo desta medida estatística é a média aritmética. Esta é um parâmetro importante para a caracterização da distribuição de probabilidade de uma amostra [101], sendo seguidamente descrita pela Equação 4:
𝐸̅ =
∑
𝐸
𝑖 𝑛 𝑖=1𝑛
(4)
4.1.1.2
MEDIANA
Em estatística a mediana [101] é o valor médio dos dados (ou dado) centrais (l) da série ordenada, indiferentemente por ordem crescente ou decrescente. Para calcular este valor, numa primeira fase, organizam-se os dados de forma crescente ou decrescente. Posteriormente, se o número de dados da série amostral for ímpar a mediana corresponde ao valor central da amostra e se o número de dados da série amostral for par faz-se a média dos dois valores centrais. Estando este cálculo descrito na Equação 5.
𝐸̃ = {
𝐸 ⌈
(𝑛+1) 2⌉ 𝑠𝑒 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟
𝐸⌈𝑛 2+1⌉+𝐸⌈ 𝑛 2⌉ 2𝑠𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟
para n dados
(5)
4.1.1.3
MODA
Em estatística a moda [101] é o valor que ocorre na amostra com maior frequência. A moda pode ter um, dois ou mais valores. Caso existam dois valores que ocorram com a mesma frequência diz-se que a série de dados é bimodal; se a série de dados tiver mais do que dois valores que ocorrem com o mesmo número de frequência diz-se que a série de dados é multimodal.
4.1.1.4
QUANTIS (QUARTIL E PERCENTIL)
Em estatística o quartil corresponde [101] a qualquer valor que divide a série amostral ordenada em quatro partes iguais. Assim, o quartil pode subdividir-se em Q25%, Q50% e Q75%, caso subdivida,
respectivamente, a série amostral ordenada em 25%, 50% e 75%. O Q50% corresponde ao valor da
mediana.
De forma análoga, pode-se definir o percentil [101]. Este varia entre 1% e 100%. Com o percentil podemos descrever de uma forma mais exacta como a série de dados da amostra se comporta. A P25%,
P50% e P75% correspondem respectivamente a Q25%, Q50% e Q75%. Este cálculo pode-se descrever com
recurso á Equação 6.
𝑄 = {
𝐸
⌈𝑛𝑝+1⌉𝑠𝑒 𝑛𝑝 𝑛ã𝑜 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜
𝐸⌈𝑛𝑝⌉+𝐸⌈𝑛𝑝+1⌉2
𝑠𝑒 𝑛𝑝 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜
para n elementos e p percentagem
(6)
4.1.1.5
DESVIO PADRÃO
Em estatística o desvio padrão [101] é uma medida de dispersão dos dados que nos permite avaliar a dispersão destes relativamente à média amostral. Assim, um desvio padrão pequeno indica que os valores estão próximos da média da amostra. Por outro lado, um valor elevado para o desvio padrão indica que os valores estão relativamente distantes da média. Isto pode ser descrito pela Equação 7.
𝜎 = √
1
𝑛 − 1∑(𝐸
𝑖− 𝐸̅)
2 𝑛 𝑖=1(7)
A lei da distribuição normal de Gauss [101] refere que para uma série amostral elevada e simétrica em torno da média tem a seguinte função de densidade, que é descrita pela Equação 8.
𝑓(𝐸) =
1
√2𝜋𝜎𝑒
−12 ((𝐸−𝐸̅)𝜎 )
2
4.1.1.6
VARIÂNCIA
A variância é [101] uma medida de dispersão estatística para dados quantitativos que indica o desvio entre o resultado esperado e o resultado obtido. Na teoria de probabilidade e estatística diz-se que a variância resulta da média do quadrado da diferença entre um valor obtido e o valor esperado.
Sendo 𝐸̅ a média de uma variável aleatória E, e significa o operador de esperança matemática associada a uma determinada lei de probabilidade. A partir da seguinte Equação 9 calcula-se a variância de uma variável aleatória de E.
𝑉𝑎𝑟 = 𝑒[(𝐸 − 𝐸̅)
2]
(9)
No caso de cálculo de variâncias em matrizes a variância é calculada com recurso à Equação 10.
𝑉𝑎𝑟 = 𝑒[(𝐸 − 𝐸̅)(𝐸 − 𝐸̅)
𝑇]
(10)
4.1.1.7
COVARIÂNCIA
A covariância é [101] uma medida de dispersão estatística para dados quantitativos entre duas variáveis aleatórias reais, x e y, que nos indica qual a correlação entre elas. Na teoria de probabilidade e estatística diz-se que a covariância resulta da multiplicação da diferença entre duas variáveis aleatórias, uma referente ao obtido (x) e a outra referente ao valor esperado (y).
Para efeito de cálculo as séries x é referente á série de previsão e y é relativa á série das observações (geralmente dados de SCADA) e é utilizada para calibrar os modelos. Assim, tendo em conta que 𝑥 e 𝑦 são variáveis aleatórias, que 𝑥̅ e 𝑦̅ são as médias dessas duas variáveis aleatórias pode-se então calcular a covariância estando o processo de cálculo exposto na Equação 11.
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝜎
𝑥,𝑦= 𝑒[(𝑥 − 𝑥̅)(𝑦 − 𝑦̅)]
(11)
Dependendo do valor da covariância pode-se retirar conclusões sobre as variáveis aleatórias, sendo isso uma forma de analisar as variáveis aleatórias. Conforme representado na Fig. 16:a) b) c)
Fig. 16 – Interpretação dos vários tipos de dispersão para valores de covariância. Sendo que: a) cov(x, y)>0; b) cov(x, y)=0; c) cov(x, y)<0.
Assim, consoante o valor da covariância podemos avaliar a dispersão das duas variáveis bem como se: a) as variáveis aleatórias são directamente correlacionáveis; b) as variáveis aleatórias são independentes; c) as variáveis aleatórias são inversamente correlacionáveis.
4.1.1.8
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON
O coeficiente de correlação é [101] uma medida importante, dado que nem sempre a medida da covariância pode ser interpretada de uma forma fidedigna, pois poderá ocorrer uma mudança da escala. Assim, recorre-se ao cálculo do coeficiente de correlação, usufruindo do facto de este ser adimensional, estando este cálculo enunciado na Equação 12.
𝜌
x,y=
𝑐𝑜𝑣(x,y)√𝑉𝑎𝑟(𝑥)𝑉𝑎𝑟(𝑦)
− 1 ≤ 𝜌
xy≤ 1
(12)
O coeficiente de correlação de Pearson é tanto mais forte quanto mais próximo do valor de 1 ou - 1, e mais fraco quanto mais proximo de zero for o valor da correlação, assim: 𝜌x,y= −1 Correlação perfeita negativa
−1 > 𝜌x,y> 0 Correlação negativa
𝜌x,y= 0 Correlação nula
0 > 𝜌x,y> 1 Correlação positiva
𝜌x,y= 1 Correlação perfeita positiva
4.1.1.9
CURTOSE
Em estatística descritiva a curtose [101] e [102] indica qual o grau de achatamento da distribuição de probabilidade de uma dada amostra. Em qualquer amostra, quanto mais próximos os pontos de inflexão estiverem da média, mais os valores da amostra se concentram em torno da média e mais alongada é a distribuição normal, caracterizando estes casos de distribuição leptocúrtica, Fig. 17 (a). Por outro lado, quanto mais afastados os pontos de inflexão estiverem da média mais os valores da amostra se dispersam em torno da média e mais achatada é a distribuição normal, referenciando estes casos de distribuição platicúrtica, Fig. 17 (c). Aos casos intermédios dá-se o nome de distribuição mesocúrtica, Fig. 17 (b).
a) b) c)
Fig. 17 – Ilustração da variação da curtose: a) leptocúrtica, b) mesocúrtica, c) platicúrtica. Adaptado [102]
A curtose pode ser definida [101] através do momento central, conforme enunciado na Equação 13.
𝐾′ =
𝑚4 𝜎4=
1 𝑛∑ (𝐸𝑖−𝐸̅) 4 𝑛 𝑖=1 (√ 1 𝑛−1∑ (𝐸𝑖−𝐸̅) 2 𝑛 𝑖=1 ) 4− 3
(13)
Assim quando:
K’>0, indica que a distribuição é leptocúrtica
K’=0, indica que a distribuição é mesocúrtica
K’<0, indica que a distribuição é platicúrtica
Por outro lado, a curtose pode ser definida [102] através dos quantis da série amostral (Equação 14), sendo este o método de cálculo utilizado para calcular a curtose na presente dissertação. Neste método Q1 e Q3 são referentes ao primeiro e terceiro quartil respectivamente e P10 e P90 são referentes ao percentil 10 e ao percentil 90 respectivamente.
𝐾 =
𝑄
3− 𝑄
12(𝑃
90− 𝑃
10)
(14)
Os resultados do cálculo da equação anterior podem ser interpretados da seguinte forma:
Se K<0,263 leptocúrtica
Se K=0,263 mesocúrtica
Se K>0,263 platicúrtica
4.1.1.10 ASSIMETRIA
Em estatística descritiva a assimetria [101] e [102] possibilita analisar uma distribuição com base nas relações entre a média, mediana e moda de uma dada distribuição. Quando a média, a moda e a mediana são coincidentes diz-se que a distribuição é simétrica, Fig. 18 b), analogamente, quando tal não se verifica diz-se que a distribuição é assimétrica. A assimetria pode ser ainda positiva ou negativa consoante a distribuição apresente uma cauda alongada para a direita e, neste caso, a assimétrica positiva caracteriza-se por uma cauda alongada para a direita, Fig. 18 a), ou caso a distribuição apresente uma cauda alongada para a esquerda a amostra apresenta uma assimetria negativa, Fig. 18 c).
a) b) c)
Fig. 18 – Ilustração dos tipos de simetria: a) Assimétrica negativa; b) Simétrica; c) Assimétrica positiva. Adaptado [102]
A assimetria pode ser definida [101] através do momento central, conforme enunciado na Equação 15.
𝐴𝑠′ =
𝑚3 𝜎3=
1 𝑛∑ (𝐸𝑖−𝐸̅) 3 𝑛 𝑖=1 (√ 1 𝑛−1∑ (𝐸𝑖−𝐸̅) 2 𝑛 𝑖=1 ) 3(15)
Assim quando:
As’>0, indica que a distribuição é assimétrica positiva
As’=0, indica que a distribuição é simétrica
As’<0, indica que a distribuição é assimétrica negativa
Por outro lado, a assimetria segundo [102] pode ser definidaatravés das equações 16 e 17. Sendo estas as equações que foram utilizadas. A equação 16 permite avaliar se a série amostral é assimétrica positiva, negativa ou simétrica. A Equação 17 permite avaliar se a série amostral é simétrica, assimétrica moderada ou forte.
𝐴𝑠
1= 𝐸̅ − 𝑀𝑜𝑑𝑎
(16)
Assim, caso: As1=0 simétrica As1<0 assimétrica negativa As1>0 assimétrica positivaA simetria ainda pode ser categorizada [102] entre simétrica, assimétrica forte e assimétrica moderada a partir dos resultados obtidos por aplicação da Equação 17 e consequente interpretação destes.