II. L’ESSAI D’ADHERENCE PAR CHOC LASER
II.4. Mécanique des ondes de choc
II.4.1. Equations de base
Trois variables d'état sont nécessaires pour caractériser l'état thermodynamique d'un milieu homogène et isotrope. Ce sont :
P la pression
V le volume massique (inverse de la masse volumique ρ) E l'énergie interne.
L’onde de choc, définie comme une discontinuité monodimensionnelle de pression, d'énergie, de densité, nécessite l’ajout de deux variables cinétiques au problème [THI3] :
u la vitesse matérielle D la célérité de l’onde.
On considère un milieu dans un état thermodynamique initial (P0, V0, E0), l'indice 0
caractérisant l'état initial. L'état final atteint est caractérisé par (P, V, E). On peut, en première approximation, assimiler le comportement dynamique d'un matériau solide à celui d'un fluide et utiliser les équations hydrodynamiques.
Pour un milieu initial au repos (u0 = 0), l’écriture des équations de conservation avant et après
la discontinuité que constitue un choc plan, mène aux trois relations dites d’Hugoniot :
- l’équation de conservation de la masse : ρ D = ρ D 0
(
-u)
, (I.7) - l’équation de conservation de la quantité de mouvement : P - P = ρ D u , 0 0 (I.8)- l’équation de conservation de l'énergie : E - E = 0 1 P+P V -V
(
0) (
0)
2 . (I.9)
D'autre part, les trois grandeurs (P, V, E) sont liées par une équation d'état. La représentation la plus classique de cette équation dans le domaine des ondes de choc est celle de Mie- Grüneisen : G Ref Ref P - P (V) = (E - E (V) ) V γ (I.10) avec γG le coefficient de Grüneisen du milieu, dont la variation avec le volume est
généralement supposée linéaire :
G G 0 0 = = Cte V V γ γ , (I.11)
PRéf(V) et ERéf(V) la pression et l’énergie au volume V pour un état de référence donné.
Pour la plupart des matériaux, des études expérimentales ont montré que la vitesse du choc D variait linéairement avec la vitesse matérielle u. On peut dans ce cas écrire :
0
D = C + s u
(I.12)
où C0 est la célérité d’une onde sonore à pression nulle dans le matériau
s est un paramètre caractéristique du matériau.
Les variables thermodynamiques (P, V, E) et cinétiques (u, D) sont reliées par les cinq équations ci-dessus (trois équations de conservation, une équation d'état et une relation expérimentale). On peut donc établir des relations deux à deux entre ces variables. Des diagrammes pression-vitesse peuvent ainsi être tracés (Figure I- 11) en utilisant l’expression :
0 0 0
Figure I- 11. Représentation d’une polaire de choc
La courbe obtenue est la polaire de choc d'un matériau dense. C’est le lieu des points (P, u) accessibles par choc à partir d'un état de repos à pression ambiante P0. La droite de Rayleigh
joint l'état initial à l'état final. Sa pente ρ0D est appelée "impédance de choc" du milieu,
notée Z.
On considère habituellement que deux chocs successifs (0Æ1) et (1Æ2) portent un matériau donné dans le même état 2 qu'un choc unique (0Æ2). Il s'agit de l'approximation de la "polaire unique", justifiée pour les niveaux de pression (quelques GPa) mis en jeu dans cette étude.
II.4.2. Propagation des ondes de compression et de détente
Pour la plupart des matériaux, en particulier les métaux, l’onde de compression se raidit au cours de sa propagation car les pressions élevées se propagent à une plus grande vitesse que les basses pressions. En revanche, l’onde de détente va s’étaler au cours de la propagation. La détente a donc tendance à rattraper le front de choc et provoque son atténuation à partir de l’instant où elle le rejoint (Figure I- 12). De cette atténuation hydrodynamique de l’onde de choc lors de sa propagation dans le matériau découle une limitation de l’essai de choc laser à des cibles de quelques millimètres au maximum [BERT02].
Figure I- 12. Evolution du profil du chargement au cours de la propagation
II.4.3. Transmission d’un choc entre deux milieux solides
Considérons deux milieux solides A et B en contact. Lorsqu'une onde de choc incidente portant le milieu A dans un état (P1, u1) traverse l'interface, une onde de choc est transmise
dans le milieu B et une onde de choc ou de détente est réfléchie dans A, selon les positions respectives des polaires de A et B. Un nouvel état d'équilibre (P2, u2) se crée, caractérisé par
l'égalité des pressions et des vitesses matérielles dans les deux milieux, de part et d'autre de l'interface.
On détermine cet état à partir des polaires de choc de A et B. Le point représentatif de l’état final (P2, u2) est situé à l'intersection de la polaire de B et de la courbe des chocs réfléchis
dans A, que l’on appelle A’ ou A’’. D’après l’approximation de la polaire unique, on peut assimiler cette courbe à la symétrique de la polaire de choc de A issue du point (P1, u1)
(Figure I- 13).
Si la polaire de A se trouve au-dessous de celle de B, i.e. l’impédance acoustique du matériau A est inférieure à celle du matériau B, le point (P2, u2) est situé à l’intersection de la polaire B
et de la courbe A’ (Figure I- 13 a). Ce point correspond donc à une pression P2>P1. L’onde est
par conséquent réfléchie en compression.
Si la polaire de A se trouve au-dessus de celle de B, i.e. ZA>ZB (Figure I- 13 b), l'onde
réfléchie est une détente (P2<P1).
Dans la théorie des ondes de choc, la compression est conventionnellement positive et la traction négative.
Figure I- 13. Transmission du choc en fonction des polaires : (a) amplification du choc transmis et réflexion en détente si ZA<ZB
et (b) atténuation du choc transmis et réflexion en compression si ZA>ZB
II.4.4. Cas d’une surface libre
Dans le cas où le milieu A est un solide et le milieu B un gaz, l’amplitude P2 du choc transmis
dans le milieu B est négligeable car la polaire de B est très en dessous de celle de A et peut même être considérée comme l’axe horizontal P = 0 du plan (P, u). La détente réfléchie amène donc le solide à pression nulle, état situé au point (P = 0, u = uArr), intersection entre la
polaire de choc de B, approchée ici par une droite, et la détente isentropique de A issue de (P1,
u1) (Figure I- 14).
La vitesse matérielle uArr de la face arrière de l’échantillon s’écrit donc :
Arr 1
u = 2 u
(I.14)
Cette relation permet de calculer l’un des paramètres fondamentaux du choc induit, à savoir la vitesse matérielle u, en déterminant la vitesse de la surface arrière de la cible uArr, qui peut,
elle, être directement mesurée (Chapitre II § III.3.3.2). A partir de ce résultat et connaissant la polaire de choc du matériau, il est alors possible de déterminer l’amplitude P1 du choc qu’a
induit le laser dans l’échantillon.
Figure I- 14. Cas d’une surface libre