E-LSE : un nouvel estimateur parcimonieux pour les probl`emes

probl`emes inverses

Dans [75], Louchet propose d’utiliser l’estimateur LSE, defini par (1.12) comme al- ternative au MAP dans le cas du d´ebruitage Gaussien (c’est-`a-dire y _{∼ N (x, σ}2_Id

Ω),

σ fix´e) avec r´egularisation TV. L’estimateur peut ˆetre adapt´e au cas o`u l’image est d´eterior´ee par du bruit de Poisson [2] et au probl`eme de la d´econvolution, donnant

xLSE = Z RΩ p(x|y)xdx = Z RΩ e−Ey(x)_xdx Z RΩ e−Ey(x)_dx , (1.13)

o`u Ey est la fonction ´energie d´efinie en (1.10). En d´ebruitage avec r´egularisation TV,

l’estimateur MAP pr´esente, comme mentionn´e ci-avant, un artefact de staircasing. Le calcul de l’estimateur LSE permet d’effacer cet artefact sur le r´esultat [75]. Cette constatation nous motive donc `a d´evelopper l’estimateur LSE pour le probl`eme de la d´econvolution.

Cependant, comme pr´ecis´e auparavant, on souhaite int´egrer l’hypoth`ese de parci- monie dans l’image recherch´ee ; c’est pourquoi on propose un mod`ele plus adapt´e aux

1.4. R´esolution de probl`emes inverses par m´ethodes non lin´eaires 39 images parcimonieuses, l’estimateur E-LSE, pour Emitters-Least-Square Error. D’un point de vue math´ematique, la diff´erence entre l’estimateur LSE et cet estimateur r´eside dans le domaine d’int´egration : pour le LSE, il s’agit de RΩ_{, pour le E-LSE,}

il s’agit d’un espace plus restreint, dans lequel les images peuvent s’´ecrire comme la somme pond´er´ee de distributions de Dirac. L’estimateur E-LSE s’´ecrit alors

ˆ x_E−LSE = Z C e−Ey(x)_xdx Z C e−Ey(x)_dx avec C = ( x_{∈ R}Ω     x = Ne X e=1 λeδpe , λe∈ R+, pe∈ Ω ) . (1.14) L’ajout de cette contrainte a cependant un impact algorithmique tr`es important et l’algorithme utilis´e pour l’estimation du E-LSE diff`ere tr`es sensiblement de ce- lui du LSE. L’estimateur E-LSE, mais ´egalement le LSE, calculent une int´egrale en tr`es grande dimension et n´ecessitent donc l’utilisation d’outils adapt´es ; on a choisi les m´ethodes MCMC, m´ethode de Monte-Carlo par Chaˆınes de Markov, avec un al- gorithme de Metropolis-Hastings [51] [80]. Dans le cas du LSE, on rappelle qu’une chaˆıne repr´esente l’image, dont la valeur des pixels ´evolue au cours des it´erations, et la moyenne des ´etats successifs est utilis´e comme estimateur LSE. Dans le cas du E-LSE, une chaˆınes repr´esente une population de Ne´emetteurs (Nefix´e par l’utilisateur). Ces

´emetteurs sont caract´eris´es par leurs intensit´es et par leurs positions, d´efinies sur la grille de pixels de l’image r´esultat, Ω. A chaque it´eration, une proposition de nouvel ´etat est consid´er´ee ; ce nouvel ´etat se caract´erise par un changement de position et/ou d’intensit´e d’un seul des ´emetteurs, choisi uniform´ement parmi l’un des Ne. Cette

proposition respecte la contrainte de positivit´e sur l’intensit´e de l’´emetteur et l’ap- partenance `a Ω et est accept´ee ou refus´ee selon le crit`ere de Metropolis Hastings : si l’´energie d´ecroˆıt, elle est accept´ee d’office ; sinon la probabilit´e d’acceptation s’´ecrit comme une fonction (d´ecroissante) de la diff´erence d’´energie entre les deux ´etats, de mani`ere `a ce qu’un changement augmentant fortement l’´energie ait tr`es peu de chances de se produire.

L’image produite par une chaˆıne s’´ecrit comme la somme pond´er´ee de distribu- tions de Dirac aux positions des ´emetteurs, les poids ´etant donn´es par l’intensit´e des ´emetteurs. Les th´eor`emes d’approximation d’int´egrales stipulent que l’int´egrale (1.14) peut ˆetre approxim´ee par la moyenne (calcul´ee `a partir d’un nombre infini d’´etats) des images successives produites par une seule chaˆıne. Cependant, plusieurs ajuste- ments sont faits dans le cas de l’estimateur E-LSE, inspir´es par [75] et li´es au mod`ele. Concernant les ´etats conserv´es dans le calcul de la moyenne, deux ´etats cons´ecutifs

de la chaˆıne diff´erent au maximum d’un ´emetteur, on d´ecide donc qu’entre deux ´etats moyenn´es, Ne propositions d’´etats ont ´et´e effectu´ees par l’algorithme de Metropolis-

Hastings. Pour ´eviter que l’initialisation n’influence trop le r´esultat, on n’utilise pas les premiers ´etats de la chaˆıne dans la chaˆıne, mais seulement ceux obtenus `a partir d’un certain rang, choisi de mani`ere `a ce que le r´egime stationnaire soit plus ou moins atteint. Un moyen de contrˆoler la convergence de l’estimateur LSE est d’utiliser deux chaˆınes, et de s’arrˆeter lorsque les estimateurs donn´es par ces deux chaˆınes sont “assez proches”. Pour le E-LSE la d´emarche est un peu diff´erente car l’ensemble C n’est pas convexe (contrairement `a l’espace RΩ_{) ; la convergence est plus d´elicate et certaines}

chaˆınes peuvent rester bloqu´ees dans une certaine configuration d’´emetteurs corres- pondant `a un minimum local de l’´energie (voir la Figure 1.15, montrant le r´esultat d’une chaˆıne). C’est pourquoi nous avons d´ecider d’utiliser un nombre important de chaˆınes dans le calcul de la moyenne, afin de consid´erer les diff´erentes configurations d’´emetteurs. Le E-LSE poss`ede un param`etre suppl´ementaire par rapport au LSE, il s’agit du nombre d’´emetteurs Ne. Les images ´etudi´ees ´etant consid´er´ees parcimo-

nieuses, on veut que Ne ≪ |Ω|, mais ce nombre doit ˆetre suffisant pour repr´esenter

tous les ´el´ements constituant l’image en moyennant les diff´erentes chaˆınes. En parti- culier, si Ne est trop petit, certaines s´eparations ou certains ´el´ements moins intenses

peuvent disparaˆıtre de l’image r´esultat.

L’image r´esultat obtenue est la moyenne de diff´erentes images appartenant `a l’ensemble C. Puisque ces images ne sont ni naturelles (elles ne peuvent ˆetre produites par un appareil optique, tel qu’un microscope), ni interpolables, un post-traitement de convolution est effectu´e. Ce dernier permet de simuler l’image ´equivalente qui pourrait ˆetre th´eoriquement obtenue avec un microscope de tr`es grande r´esolution (irr´ealisable en pratique `a cause des contraintes physiques d’ouverture num´erique et de longueurs d’ondes du spectre visible). Le noyau doit ˆetre choisi de mani`ere `a ne pas trop d´egrader l’effet de la d´econvolution ; le r´esultat de l’estimateur pr´esent´e sur la figure 1.15, cr´e´ee en moyennant les r´esultats de 2500 chaˆınes a ´et´e post-trait´e par une gaussienne de faible ´ecart type. Dans les chapitres5 et6, on revient sur le choix de ce noyau dans le cas de la d´econvolution et de la super-r´esolution.

Dans le cas de la d´econvolution, l’estimateur E-LSE (tout comme le LSE) n’´elimine pas l’effet de night-sky ; de nombreuses chaˆınes moyenn´ees contiennent cet artefact. La mise en place d’un estimateur utilisant non plus Ey mais λEy (dans le terme

exponentiel de la formule (1.13)) a permis d’effacer cet artefact mais les r´esultats ne sont pas vraiment meilleurs que les r´esultats d’un estimateur MAP non converg´e. En super-r´esolution l’estimateur E-LSE, sans pond´eration de l’´energie, fournit des r´esultats vraiment int´eressants (comme pr´esent´e sur la figure 1.15, pas de night sky

1.4. R´esolution de probl`emes inverses par m´ethodes non lin´eaires 41

(b) E-LSE - Exemple de (c) Estimateur E-LSE chaˆıne finale (2500 chaines)

(a) Syst`eme conventionnel

(Image zoom´ee) (d) LSE - Exemple de (e) Estimateur LSE chaˆıne finale (2 chaines)

Figure 1.15: Calcul du E-LSE : sur une image de filaments, acquise par le syst`eme BioAxial, on pr´esente l’image d’un syst`eme conventionnel en (a) (somme de toutes les images replac´ees o`u elles ont ´et´e acquises), zoom´ee (par zero-padding) pour atteindre la mˆeme r´esolution que celle des chaˆınes repr´esent´ees, puis les r´esultats obtenus lors de l’algorithme E-LSE. En (b) est repr´esent´e le r´esultat final d’une des chaˆınes (avec saturation des couleurs, afin de rendre plus visibles les ´emetteurs) ; la plupart des chaˆınes obtenues ressemblent `a celle repr´esent´ee en (b), avec des positions et intensit´es diff´erentes pour les ´emetteurs. En (c), le r´esultat de l’estimateur E-LSE est obtenu en moyennant les r´esultats de 2500 chaˆınes, convolu´e avec une gaussienne de faible ´ecart-type. On peut remarquer que chaque chaˆıne individuellement n’est pas repr´esentative du signal complet mais que leur moyenne permet de cr´eer une image bien mieux r´esolue que l’image obtenue grˆace `a un syst`eme conventionnel. Au contraire, dans le cas du LSE, une chaˆıne finale, comme celle repr´esent´ee en (d), est tr`es proche du r´esultat final (e), puisque tous les pixels de l’image sont modifi´es au cours de l’algorithme MCMC, permettant de n’utiliser que 2 chaˆınes.

sur la reconstruction finale), l’image produite poss`ede beaucoup moins d’artefacts et dans certains cas pr´esente un meilleur pouvoir de s´eparation que l’estimateur MAP. On revient sur ces r´esultats dans la section suivante.