R´egularisation

Dans ce cas, on minimise l’´energie Ey, mais en y ajouttant un terme, appel´e prior,

caract´erisant une propri´et´e de l’image x `a retrouver. On pr´esente 2 priors assez connus et utilis´es en microscopie, comme pr´ecis´e avant, Tikhonov et la Variation Totale (TV en anglais). On cherche alors `a r´esoudre le probl`eme suivant

argmin

x∈C

Ey(x) + λR(x),

le second terme R(x) ´etant le terme de r´egularisation, pond´er´ee par un param`etre λ > 0. Une r´egularisation de type Tikhonov [115] consiste `a prendre la fonction R(x) ´egale `a la norme ℓ2 _{du vecteur recherch´e}

1.4. R´esolution de probl`emes inverses par m´ethodes non lin´eaires 35 et la r´egularisation TV est donn´ee par la formulation

R(x) = T V (x) =X

i∈Ω

k∇x(i)k,

o`u <sub>∇ repr´esente l’op´erateur discr´etis´e du gradient (approch´e g´en´eralement par un</sub> sch´ema aux diff´erences finies). La premi`ere solution favorise les solutions de faible norme ; en pr´esence de bruit de Poisson, l’algorithme est pr´esent´e dans [71] et com- bine une m´ethode de Newton et un gradient conjugu´e projet´e pour l’estimation du minimum de la fonctionnelle. Quant `a la seconde, elle favorise les solutions constantes par morceaux comme cela peut ˆetre vu sur la figure 1.14, derni`ere ligne. Plus λ est grand, plus les zones lisses sont ´etendues. La recherche du minimum se fait grˆace `a l’algorithme de Chambolle-Pock [24]. La variation totale a ´et´e introduite en 1992 par Rudin, Osher et Fatemi dans [96] dans le cadre du d´ebruitage et est un a priori tr`es utilis´e depuis en traitement d’images. C’est une m´ethode tr`es efficace pour d´ebruiter les images dites “cartoon” c’est-`a-dire contenant des zones tr`es lisses s´epar´ees par des fronti`eres r´eguli`eres. Sur les images r´eelles, par contre, on voit souvent apparaˆıtre un artefact appel´e staircasing, remarqu´e par Dobson et Santosa en 1996 [33] et d´ecrit notamment dans [21] par Buades, Coll et Morel comme la “cr´eation de r´egions uni- formes s´epar´ees par des bords artificiels”, le plus souvent les transitions d’intensit´e se font sous forme de marches d’escalier, mˆeme dans les zones initialement lisses.

La figure1.14r´eunit des r´esultats obtenus sur une image convolu´ee avec un noyau Gaussien et perturb´ee par du bruit de Poisson. Une image biologique a ´et´e utilis´ee. Comme pr´ecis´e pr´ec´edemment, le MAP pr´esente l’artefact de night sky : l’image est constitu´ee de points isol´es, et l’on observe que les structures continues ont ´et´e per- dues. Les deux r´egularisations sont pr´esent´ees avec 3 pond´erations λ diff´erentes, afin de mesurer l’influence de son param`etre. Dans le cas de la r´egularisation Tikhonov, une valeur tr`es faible d´edouble les structures et cr´ee certaines valeurs ponctuelles dans le fond, initialement noir. Une valeur trop grande donne un aspect encore flou `a l’image et augmente sa dynamique. Pour la r´egularisation TV, pour un faible λ on remarque l’apparition du night sky alors qu’une grande valeur donne un effet “car- toon” `a l’image, constitu´ee alors de zones constantes par morceaux.

Mˆeme si les r´esultats sont plutˆot int´eressants, la r´egularisation est assez peu satisfaisante dans le cas des images produites par un microscope `a fluorescence ; la r´egularisation de Tikhonov alt`ere les intensit´es initiales et l’hypoth`ese de donn´ees constantes par morceaux n’est pas tout `a fait coh´erente avec la microscopie, du fait que les ´el´ements biologiques visualis´es peuvent ˆetre tr`es diversifi´es (certains constants,

Image originale Image flout´ee/bruit´ee MAP non r´egularis´e

Tikhonov, λ = 10−4 _{Tikhonov, λ = 0.05 Tikhonov, λ = 10}

TV, λ = 5_{× 10}−10 _{TV, λ = 5× 10}−5 _{TV, λ = 0.5}

Figure 1.14: Comparaison des m´ethodes de d´econvolution en pr´esence de bruit de Poisson ; sur la premi`ere ligne, l’image originale, `a gauche sa convolution avec un noyau Gaussien de d´eviation standard 2 avec un bruit de Poisson g´en´er´e sur chaque pixel. L’estimateur MAP obtenu avec un algorithme de type Nesterov, arriv´e `a convergence, est pr´esent´e `a droite. Sur la deuxi`eme ligne, l’es- timateur MAP avec r´egularisation de Tikhonov pour 3 valeurs de λ est pr´esent´e et sur la troisi`eme, l’estimateur MAP avec r´egularisation TV pour 3 valeurs de λ. L’estimateur MAP non r´egularis´e pr´esente un artefact appel´e night sky : l’image finale est essentiellement constitu´ee de points isol´es. La r´egularisation Tikhonov cr´ee une image de contraste diff´erent de celle de d´epart ; une valeur de λ trop faible entraˆıne une r´ep´etition des contours, avec des valeurs dans le fond parfois al´eatoires ; une trop grande valeur cr´ee une image assez floue. λ = 0.05 donne des r´esultats assez int´eressants sur cet ´echantillon, recr´eant parfaitement la structure en haut `a droite sous la cellule qui avait quasiment disparu dans l’image convolu´ee et bruit´ee. La variation totale cr´ee une image constante par morceaux ; plus λ est grand, plus les zones lisses sont ´etendues, comme on peut le voir pour λ = 0.5 ; une trop faible valeur fait apparaˆıtre un artefact assez proche du night sky, et une valeur interm´ediaire offre des r´esultats int´eressants : l’image est un peu d´econvolu´ee, et le contraste mieux conserv´e qu’avec la r´egularisation de Tikhonov.

Image de cellules de veines ombilicales humaines (HUVEC) par Ana M. Pasapera - Clare M. Wa- terman disponible sur cellimagelibrary.org.

1.4. R´esolution de probl`emes inverses par m´ethodes non lin´eaires 37 d’autres tr`es ponctuels). De plus, la variation totale est connue pour ne pas toujours reconstruire correctement la texture dans les images, car cette derni`ere peut ˆetre consid´er´ee comme du bruit (selon la valeur de λ). Pour limiter le night sky dans le cas de la super-r´esolution, on a ajout´e une contrainte sur l’image recherch´ee : elle doit ˆetre `a bande limit´ee ; plus exactement son support doit ˆetre choisi tel que sa fr´equence maximale soit ´egale `a kfmaxavec k ∈ N∗. L’estimateur de l’image super-r´esolue xSRM AP

est alors donn´e par xSR M AP = argmax x∈K p(x_{|y) = argmin} x∈K (Hx)i− yilog((Hx)i), (1.11) avec K =xx ∈ RΩ, supp(ˆx)∈ B(0, kfmax) .

L’estimateur MAP est aujourd’hui tr`es majoritairement utilis´e car le probl`eme se ram`ene `a une minimisation d’´energie, dont l’estimation peut se faire assez rapide- ment, grˆace aux algorithmes d’optimisation d´evelopp´es sp´ecifiquement pour ce calcul. Cette solution n’est cependant pas enti`erement satisfaisante, en particulier car la dis- tribution du MAP est connue pour ne pas ˆetre repr´esentative de la loi a posteriori [88]. Cela signifie que les images tir´ees al´eatoirement selon une distribution de pro- babilit´e en tr`es grande dimension n’ont souvent pas la propri´et´e de maximiser la densit´e a posteriori.

On peut noter que l’estimateur MAP peut aussi ˆetre vu comme le minimum d’une fonction de risque xM AP = argmin x∈RΩ R(x) avec R(x) = Z RΩ L(x, x′)p(x′|y)dx′_,

pour la fonction de perte L donn´ee par L(x, x′) =

(

0 si x = x′ 1 sinon .

Cette ´ecriture sous forme de minimisation de fonction de risque permet alors de cr´eer de nombreux autres estimateurs, par des choix vari´es pour la fonction de perte L [97]. Depuis 1989, avec Besag [16] par exemple, une autre fonction de perte, L′_,

dite quadratique, est particuli`erement utilis´ee en traitement d’images, et d´efinie par L′_{(x, x}′_{) = kx − x}′_k2

2. La fonction de risque R′ associ´ee est donc ´egale `a

R′(x) = Z

RΩkx

′_{− xk}2

dont le minimum xLSE, LSE pour Least-Square Error, est donn´e par l’esp´erance de la loi a posteriori xLSE = argmin x∈RΩ R′(x) = Z RΩ

p(x′_|y)x′dx′ = E(x′_|y). (1.12) Cet estimateur est souvent appel´e MMSE, pour Minimum Mean Square Error. Il a ´et´e montr´e que, dans le cas d’images binaires [42], l’estimateur LSE est plus repr´esentatif de la loi a posteriori que le MAP. Dans le cas de la d´econvolution simple avec un noyau connu, pour un a priori gaussien, l’estimateur LSE est explicite et en fait ´equivalent `a l’application du filtre de Wiener sur les mesures. Une g´en´eralisation `a un syst`eme multi-image peut-ˆetre faite, d´ecrite par exemple par Huang [60] dans le cas d’image ultrasons. Dans la suite, on s’int´eresse `a un estimateur proche du LSE, que l’on reformule diff´eremment pour y int´egrer une contrainte de parcimonie. En utilisant la fonction de perte L′ _{plutˆot que L pour ce probl`eme inverse, on esp`ere}

ˆetre capable de mieux repr´esenter la densit´e a posteriori, et plus pr´ecis´ement ´eviter le night sky.