Illuminations singuli`eres par diffraction conique

La diffraction conique est un ph´enom`ene d´ecrit par Michael Berry dans [10] en 2004, d’apr`es une ´etude th´eorique de Hamilton [50] et des exp´eriences de LLoyd [74] dans les ann´ees 1830. Elle caract´erise la propagation d’un faisceau de lumi`ere dans un cristal dit biaxe (voir [11] pour une d´efinition et les propri´et´es de ce cristal), modi- fiant en particulier la polarisation et la r´epartition de l’´energie du faisceau lumineux. Cette reprise du ph´enom`ene par Berry a ´et´e un tremplin `a de nombreuses appli- cations de la diffraction conique. Dans [116], Turpin et al. ´evoquent son utilit´e par exemple dans les communications optiques, la cr´eation de meilleurs polarim`etres et de nouveaux lasers. L’application qui nous int´eresse particuli`erement a ´et´e propos´ee par Gabriel Sirat dans [108] et mise en application pour la super-r´esolution dans [22]. On d´ecrit bri`evement le mod`ele math´ematique associ´e, n´ecessaire `a la cr´eation d’un algorithme g´en´erant des distributions lumineuses cr´e´ees par ce ph´enom`ene. On suppose que la lumi`ere se propage dans le cristal selon un cˆone, dont R0 est le

rayon `a la sortie du cristal. Dans le cas o`u le rayon incident est `a sym´etrie circu- laire, Berry prouve [10] que l’´ecriture exacte du champ ´electrique est donn´ee, en utilisant les coordonn´ees polaires, R = R cos (θ) sin (θ)
, et le vecteur d’onde P = P cos (θP) sin (θP)
, par E(R, z) = B0(R, R0, z)  Vx Vy  + B1(R, R0, z)  cos (θP) sin (θP) sin (θP) − cos (θP)  | {z } M  Vx Vy  , (1.15)

1.5. Applications au syst`eme Bioaxial 43 avec

B0(r, R0, z) = k

Z _∞

0

P cos(kR0P )a(P )J0(kP R)e− ikP 2z

2 dP,

B1(r, R0, z) = k

Z _∞

0

P sin(kR0P )a(P )J1(kP R)e− ikP 2z

2 dP,

o`u J0 et J1 sont les fonctions de Bessel de premi`ere esp`ece, d’ordre 0 et 1, a(P ) est

la transform´ee de Fourier du champ ´electrique du rayon lumineux entrant dans la pupille, k ∈ R est une caract´eristique du cristal. Vx Vy

T

repr´esente la polarisation de l’onde lumineuse en entr´ee, la polarisation d´ecrivant l’orientation des oscillations de l’onde.

L’´equation (1.15) nous montre que la premi`ere composante, B0, poss`ede `a la sor-

tie la mˆeme polarisation que celle d’entr´ee. Il s’agit de la composante correspondant au “Fondamental”, pr´esent´ee `a gauche sur la figure 1.16. A contrario, la polarisation de la deuxi`eme composante, B1, appel´ee “Vortex”, au milieu sur la figure 1.16, est

modifi´ee par la matrice M .

Composante fondamentale

Composante

vortex _{Profils verticaux}

Figure 1.16: Repr´esentation de la composante “Fondamental” (B0) `a gauche, de la composante

“Vortex” (B1) au milieu et comparaison de leurs profils horizontaux `a droite. Le fondamental est

tr`es similaire `a la tache d’Airy (figure1.4) alors que le Vortex est assez atypique, contenant un trou au milieu. On peut remarquer que la distance entre les deux pics du Vortex est plus petite que la distance entre les deux z´eros qui d´elimitent le lobe principal du fondamental, permettant donc a priori une d´etection d’objets plus petits.

Il est possible, grˆace `a cette diff´erence de polarisation entre les deux compo- santes, de les s´eparer mais aussi de les mixer, de diff´erentes mani`eres, d´ependant de

Vx Vy

T

et de M , cr´eant des distributions lumineuses tr`es diff´erentes ; on parle de modelage de faisceau. Sur la figure 1.17 sont repr´esent´ees les distributions obtenues grˆace `a diff´erentes polarisations en entr´ee et en sortie ; cette liste n’est pas exhaustive.

Remarque. On peut remarquer que la forme d’anneau utilis´ee pour le faisceau de d´epl´etion du STED (figure 1.6) pourrait ˆetre obtenue grˆace `a la diffraction conique, en utilisant une polarisation de sortie, par exemple, laissant passer uniquement la composante Vortex, dont la forme est tr`es similaire `a celle du faisceau STED.

Figure 1.17: Exemples de distributions lumineuses obtenues par la diffraction conique ; ces derni`eres sont g´en´er´ees en changeant les polarisations d’entr´ee et de sortie du faisceau laser. On remarque que les deux premi`eres images, en haut `a gauche, correspondent aux composantes Fon- damentale et Vortex. On peut voir ´egalement que de nombreuses formes sont similaires `a une rotation pr`es ; on peut en effet les produire avec n’importe quel angle d’inclinaison, en choisissant les polarisations correspondantes.

Dans le syst`eme Bioaxial [22], qui est celui utilis´e pour les donn´ees r´eelles et simul´ees sur des images d’´echantillon biologique (obtenues avec un microscope `a fluorescence par exemple), plusieurs demi-lunes, avec des orientations diff´erentes, sont projet´ees sur l’´echantillon au cours de l’acquisition. Il s’agit de celles repr´esent´ees sur la figure 1.18, constitu´ees de deux lobes et sym´etriques. Il est clair que, spatialement, le creux entre les deux lobes est int´eressant car ne renverra, en th´eorie, aucun photon

1.5. Applications au syst`eme Bioaxial 45 sur un fond noir ; dans le domaine de Fourier, les coefficients des fr´equences en- dessous mais proches de fmax ont des valeurs plus ´elev´ees que la tache d’Airy, qui

peuvent permettre de mieux capturer les composantes fr´equentielles de cette zone, comme le montre le profil sur la figure 1.19. De plus il a ´et´e montr´e, par exemple par Soskin [111], que le z´ero du vortex, et donc des demi-lunes (qui utilisent le z´ero de la composante vortex puisqu’elles sont obtenues par la formule (1.15)), est stable : mˆeme dans des conditions non optimales (´el´ement optique imparfait, changements de temp´erature par exemple), la forme singuli`ere du vortex est conserv´ee.

E s p a c e F o u r i e r

Figure 1.18:Repr´esentation, dans le domaine spatial sur la premi`ere ligne et dans celui de Fourier sur la deuxi`eme (repr´esentation du module), des quatre demi-lunes (dont les orientations sont {0, π/2, π/4, −π/4}), g´en´er´ees par un modelage du faisceau laser et utilis´ees par le syst`eme BioAxial. On peut voir que la repr´esentation dans le domaine de Fourier est assez atypique avec deux lobes autour du centre, orient´es dans la mˆeme direction que la demi-lune. Le nombre de demi-lunes et leurs angles ont ´et´e choisis dans le syst`eme Bioaxial de mani`ere `a bien couvrir le domaine de Fourier en les sommant. Sur la figure1.19, une comparaison de profil avec la tache d’Airy est pr´esent´ee.

Domaine spatial Domaine fr´equentiel

Figure 1.19: Comparaison des profils horizontaux de la tache d’Airy et de la deuxi`eme demi-lune de la figure 1.18 dans les domaines spatial et fr´equentiel. La repr´esentation spatiale permet de voir que, `a une mˆeme r´esolution, la distribution est plus grosse que la tache d’Airy, mais son z´ero particulier au centre permet de d´etecter une absence de fluorophore. Leur repr´esentation dans le domaine de Fourier montre que les images sont toutes deux `a bande limit´ee, de fr´equence maximale fmax; les demi-lunes pr´esentent cependant des coefficients fr´equentiels d’´energie plus ´elev´ee autour

de fmax. D’apr`es la Formule (1.5), on peut donc esp´erer capturer les composantes fr´equentielles de

l’´echantillon entre fmax et 2fmax plus pr´ecis´ement.