Lois de probabilités pour la description des temps de parcours (M1)

(2.4) Nombre de

montées ^{𝐵𝑛,𝑠⤳ 𝒫(𝜆𝑠ℎ𝑛,𝑠}Poisson ^{) où 𝒫 est une loi de 𝐵𝑛,𝑠= ∫ 𝜆𝑠(𝑡)𝑑𝑡}

𝑡 𝑡−ℎ_𝑛,𝑠 𝐵_𝑛,𝑠 = 𝜆_𝑠ℎ_𝑛,𝑠 si 𝜆_𝑠 est constant (2.5) Nombre de

descentes ^{𝐴𝑛,𝑠 ⤳ 𝐵𝑖(𝐿𝑛,𝑠−1}binomiale ^{, 𝜇𝑠) où Bi est une loi}

𝐴𝑛,𝑠= 𝜇𝑠𝐿𝑛,𝑠−1 (2.6)

Chargement (a) Capacité infinie : 𝐿𝑛,𝑠= 𝐿𝑛,𝑠−1− 𝐴𝑛,𝑠+ 𝐵𝑛,𝑠

(b) Capacité finie : 𝐿𝑛,𝑠= min (𝐿𝑛,𝑠−1− 𝐴𝑛,𝑠+ 𝐵𝑛,𝑠, 𝐶𝑎𝑝)

(2.7)

2.1.4 Lois de probabilités pour la description des temps de parcours (M1)

De nombreux éléments peuvent perturber un bus sur son parcours : les feux de circulation, les véhicules environnants ou encore d’autres phénomènes imprévisibles, cf Figure 2.3. Ces facteurs peuvent être intégrés de manière plus ou moins explicite dans le module de temps de parcours. La manière la plus implicite est le recours à des lois de probabilités.

Figure 2.3. Externalités subies par le bus pouvant être intégrées implicitement ou explicitement dans le module des temps de parcours.

2.1.4.1 Lois usuelles

Dans de nombreux travaux, le temps de parcours 𝜋_𝑛,𝑠 du bus 𝑛 sur le tronçon 𝑠 est assimilé à une variable aléatoire suivant une loi de probabilité continue, par exemple une loi normale (Daganzo, 2009), log-normale (Andersson et Scalia-Tomba, 1981) ou Gamma (Aziz, 1977). Ces lois ont deux paramètres reliés à la moyenne 𝜇_𝑠 [s] et l’écart-type 𝜎_𝑠 [s] des temps de parcours : 𝜇_𝑠 représente le temps de parcours que mettrait un conducteur moyen pour parcourir le tronçon si rien ne venait le

gêner tandis que 𝜎_𝑠 représente la variabilité de ce temps de parcours intégrant la diversité des comportements de conduite. Ils intègrent l’ensemble des externalités subies par un bus : la géométrie des tronçons, les retards aux intersections, un véhicule en double-file… La Figure 2.4a montre la forme de ces trois distributions usuelles. La loi normale est symétrique et la probabilité qu’elle génère des temps de parcours négatifs est non nulle. Les lois log-normale et Gamma sont en revanche définies sur les réels positifs. Elles sont asymétriques et leur forme est dictée par les deux paramètres. D’autres lois de probabilités avec un nombre variable de paramètres existent, comme les lois de Halphen (Delhome et al., 2015).

2.1.4.2 Conception d’une nouvelle loi adaptée aux temps de parcours

Ces lois sont très générales et utilisées dans de nombreux domaines. Elles ne sont donc pas toujours adaptées à la représentation des temps de parcours. Hans et al. (A2) présentent une nouvelle loi de probabilité basée sur des considérations logiques. Un temps de parcours dépend de plusieurs composantes. Il dépend d’une part de la conduite du conducteur, assimilable à une loi normale. D’autre part, le bus peut subir d’éventuels aléas au cours de son trajet (accident, traversée d’un piéton, ralentissement quelconque, etc.). La longueur de ce retard est assimilable à une durée de vie d’une gêne aléatoire. Les durées de vie sont usuellement représentées par une loi exponentielle de moyenne 𝜖_𝑠. Leur variance vaut alors 𝜖_𝑠2. Suivant ces considérations physiques, il est possible de représenter la variable du temps de parcours entre les deux arrêts comme la somme de deux variables aléatoires indépendantes : l'une suivant une loi normale, et l'autre une loi exponentielle. On crée ainsi une loi normale-exponentielle (NE). Sa densité de probabilité 𝑓_{𝑁𝐸(𝜇𝑠,𝜎𝑠,𝜖𝑠)} se calcule comme étant le produit de convolution des deux lois qui la composent :

𝑓_{𝑁𝐸(𝜇𝑠,𝜎𝑠,𝜖𝑠)}(𝜋) = ∫_−∞^−∞𝑓_{𝑁(𝜇𝑠,𝜎𝑠)}(𝑡). 𝑓_{𝐸(𝜖𝑠)}(𝜋 − 𝑡). 𝑑𝑡 = ¹ 2𝜖𝑠𝑒⁻𝜖𝑠^𝜋+_2𝜖𝑠¹(2𝜇_𝑠+^𝜎𝑠2_𝜖𝑠) (1 + erf (^{𝜋−𝜇𝑠−} 𝜎𝑠2 𝜖𝑠 𝜎𝑠√2 )) (2.8)

où 𝑓_{𝑁(𝜇𝑠,𝜎𝑠)} et 𝑓_{𝐸(𝜖𝑠)} et sont les fonctions de densité respectives des lois normale et exponentielle, et 𝑒𝑟𝑓 est la fonction d’erreur exprimée par 𝑒𝑟𝑓(𝑡) = ²

√𝜋∫ 𝑒₀^𝑡 𝑥²𝑑𝑥.

2.1. Formulation probabiliste des modèles mésoscopiques de lignes de bus

Cette nouvelle loi dépend de trois paramètres dont le rôle est décrit sur la Figure 2.4b. Le troisième permet de jouer directement sur l’asymétrie de la distribution. Sa moyenne et sa variance se déduisent aisément de celles des deux autres distributions supposées indépendantes : 𝐸(𝑁𝐸) = 𝜇_𝑠+ 𝜖_𝑠 et 𝑉𝑎𝑟(𝑁𝐸) = 𝜎_𝑠2+ 𝜖_𝑠2. Elle est particulièrement utile pour deux raisons. D’une part, générer des nombres aléatoires est très simple puisqu’il suffit de générer un nombre à partir de la loi normale, un autre à partir de la loi exponentielle, et d’additionner les deux. D’autre part, l’expression analytique est importante car elle intervient dans le calage des paramètres à partir de données réelles, comme cela sera vu dans la section 4.1.

Aucune des lois présentées ici ne dépend de la présence ou non de feux de circulation, bien que de nombreux auteurs admettent leur fort impact sur la variabilité des temps de parcours (Bartholdi et Eisenstein, 2012). Dans la suite de cette thèse, d’autres lois intégrant l’effet des feux et du trafic sont proposées.

2.1.4.3 Dépendance entre les modules de temps d’arrêt et de parcours

Sur un tronçon donné, un bus accélère pour atteindre sa vitesse désirée et décélère pour s’arrêter éventuellement à l’arrêt suivant. Seul le temps perdu en accélération 𝛾 est considéré, le temps perdu en décélération étant considéré comme négligeable (cf section 4.1.2 pour une justification empirique). Les distributions de temps de parcours prenant en compte l’accélération, il convient alors de retrancher ce paramètre lorsque le bus ne s’est pas arrêté à l’arrêt précédent. D’autres hypothèses propres aux règles opérationnelles fixées par l’exploitant peuvent être faites, comme autoriser les bus à se dépasser, ou passer un arrêt sans s’arrêter si aucun voyageur ne demande à descendre. Ces règles entrainent de légères modifications dans la modélisation des bus. Le modèle ainsi présenté est en mesure de reproduire la variabilité des phénomènes physiques entrant en jeu dans les lignes de bus. Le Tableau 2.2 regroupe ces considérations sur les temps de parcours.

Tableau 2.2. Équations associées aux différentes versions du module de temps d’arrêt.

(a) Stochastique (b) Déterministe

Temps de parcours (a) 𝜋_𝑛,𝑠⤳ 𝒩(𝜇𝑠, 𝜎𝑠) (b) 𝜋_𝑛,𝑠⤳ ℒ𝑛(𝜇_𝑠, 𝜎_𝑠) (c) 𝜋𝑛,𝑠⤳ 𝒢(𝜇𝑠, 𝜎𝑠) (d) 𝜋_𝑛,𝑠⤳ 𝑁𝐸(𝜇𝑠, 𝜎𝑠,𝜖_𝑠) 𝜋_𝑛,𝑠 = 𝜇_𝑠

Prise en compte du temps

perdu en accélération - 𝜋_𝑛,𝑠=𝜋_𝑛,𝑠−𝛾 si 𝑑_𝑛,𝑠 = 0