Calage de variables temporelles

Contrairement aux temps de parcours, les lois utilisées pour les temps d’arrêt ne dépendent que d’un unique paramètre à caler par des données. Rappelons que la loi de Poisson générant le nombre de personnes montant dans un bus dépend du paramètre 𝜆_𝑠 et de l’écart temporel de ce bus avec son prédécesseur ℎ_𝑛,𝑠. Il en est de même pour la loi binomiale utilisée pour le nombre de personnes descendant, basée sur le paramètre 𝜇_𝑠 et le chargement du bus 𝐿_𝑛,𝑠. Si les paramètres 𝜆_𝑠 et 𝜇_𝑠 sont caractéristiques du cas d’étude, les grandeurs ℎ_𝑛,𝑠 et 𝐿_𝑛,𝑠 sont des variables du système. Seuls les deux premiers paramètres doivent donc être calés. La variabilité des phénomènes est ensuite inhérente à la loi. Par exemple, la variance de loi de Poisson est égale à son espérance. De même, la moyenne et la variance de la loi binomiale se déduisent de ses deux paramètres.

4.1.3.1 Méthode de calage des variables temporelles

Pour estimer la variation temporelle d’une variable, une technique classique issue du domaine du trafic est de se baser sur sa variable primitive, c’est-à-dire celle dont la dérivée est la variable à estimer. C’est notamment le cas lorsque l’on souhaite estimer la variation du débit 𝑞 en un point à partir des données issues des boucles électromagnétiques. Le comptage des véhicules franchissant la boucle permet de tracer la CVC en fonction du temps. Le débit à un instant donné est alors la dérivée de la CVC. Les variables 𝜆_𝑠, 𝜇_𝑠, 𝛽_𝑠 et 𝑞_𝑠sont calées à l’aide de cette méthode.

Comme pour les constantes du modèle, 𝜆_𝑠 et 𝜇_𝑠 sont calés à partir des valeurs de 𝐴_𝑛,𝑠 et 𝐵_𝑛,𝑠. En particulier, pour un jour et un arrêt 𝑠 donnés, le nombre de passagers cumulés montant dans les bus 𝐶𝐶𝐵_𝑠 est calculé en fonction du temps, cf courbes noires sur la Figure 4.5a :

𝐶𝐶𝐵_𝑠(𝑡) = ∑_{𝑠/{𝑡𝑛,𝑠≤𝑡}}𝐵_𝑛,𝑠 (4.5)

En raison de la grande variabilité de la fréquentation des bus, les comptages cumulés à un instant donné sont très différents d’un jour à l’autre. La demande en émission 𝜆_𝑠 est donc calculée comme la dérivée de la moyenne des comptages cumulés journaliers (en rouge sur la Figure 4.5a) :

𝑀𝐶𝐶𝐵_𝑠(𝑡) = 𝑚𝑒𝑎𝑛_{𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠}{𝐶𝐶𝐵_𝑠(𝑡)} (4.6)

𝜆_𝑠(𝑡) =^{𝑑 𝑀𝐶𝐶𝐵}𝑠(𝑡)

𝑑𝑡 ^(4.7)

Considérer les comptages moyens permet de lisser la variable 𝜆_𝑠. De plus, afin d’éviter les discontinuités de 𝜆_𝑠 dues aux dates d’arrivées discrètes des bus, la variable est calculée par intervalle de 15 min. Dans la suite de la thèse, toutes les variables temporelles sont traitées de même. En effet, pour des intervalles de temps plus courts, les nombres aléatoires associés aux fortes valeurs de 𝜆_𝑠 auraient des amplitudes beaucoup trop importantes. Dans ce cas, l’usage d’une fenêtre temporelle d’agrégation fine n’est pas garant de la qualité du calage, au contraire.

Figure 4.5. Courbes de montées cumulées à l’arrêt n°35 (a) mesurées sur les données de Portland, (b) simulées en générant des montées à l’aide d’une loi de Poisson.

La demande en attraction 𝜆∗

𝑠 est obtenue de la même manière en remplaçant 𝐵_𝑛,𝑠 par 𝐴_𝑛,𝑠. Le ratio de descente 𝜇_𝑠 est alors calculé indirectement à partir des deux demandes 𝜆_𝑠 et 𝜆∗

𝑠 : 𝜇_𝑠(𝑡) = ^𝜆∗𝑠(𝑡)

∑𝑠 𝜆_𝑠(𝑡)−𝜆∗_𝑠(𝑡)

𝑠𝑠=1 ^(4.8)

où le dénominateur représente le chargement théorique d’un bus à son arrivée à l’arrêt 𝑠. Contrairement à la demande 𝜆_𝑠 dont la variation temporelle est cruciale, le ratio de descente 𝜇_𝑠 est très sensible aux données et le sens physique de sa variation est moins clair. Il pourrait donc être considéré comme constant sans diminuer la fiabilité de la modélisation.

Les variables 𝛽_𝑠 et 𝑞_𝑠 précédemment introduites sont calées à l’aide des mêmes équations (4.5), (4.6) et (4.7). Il suffit de remplacer le nombre de montées 𝐵_𝑛,𝑠 respectivement par le temps d’arrêt 𝑑_𝑛,𝑠

4.1. Calage hors-ligne des paramètres et variables du modèle

ou les débits mesurés par un capteur donné, voir Hans et al. (A2) pour les détails. Pour rappel, seules quatre boucles électromagnétiques sont placées sur la route. Le débit 𝑞_𝑠 sur un tronçon est donc calculé comme étant une moyenne des débits des deux boucles les plus proches. Ces débits sont pondérés par la distance du milieu du tronçon à la boucle associée. L’hypothèse sous-tendue est que le débit est linéaire entre deux boucles, c’est-à-dire qu’à toutes les intersections intermédiaires, les bilans des mouvements tournants sont identiques.

4.1.3.2 Pertinence des lois de probabilités utilisées

Il est intéressant d’étudier si l’arrivée aléatoire des usagers aux arrêts est la seule cause de variabilité de la demande. Cela revient à vérifier si la loi de Poisson utilisée pour la génération de passagers est suffisante pour expliquer la variabilité de la demande observée. Basés sur la demande moyenne 𝜆_𝑠, des tirages aléatoires ont été effectués sur plusieurs réplications afin de simuler des comptages réalistes de montées d’usagers. Les résultats apparaissent sur la Figure 4.5b. Les diagrammes en boîte permettent de comparer les valeurs des minima, maxima, moyennes et écarts-types des nombres totaux d’usagers rencontrés dans une journée pour les deux cas réel et simulé.

Cette analyse est effectuée sur l’ensemble des arrêts. La moyenne des nombres totaux de montées obtenues à l’aide de la simulation est évidemment très proche de la moyenne empirique. Les cas extrêmes sont également similaires pour la réalité et la modélisation. En revanche, l’écart-type des montées totales simulées est en moyenne égal à 70 % de l’écart-type calculé sur les comptages empiriques. Cela signifie que les aléas inhérents à l’arrivée des usagers ne sont qu’une partie, certes prédominante, de la variabilité de la demande. Pour pallier cette lacune, un paramètre journalier de demande pourrait être introduit et calé en temps réel en fonction des informations du jour (météo, événements particuliers, etc.). Néanmoins, la suite de cette thèse considère que les lois de probabilité introduites sont suffisantes pour reproduire la variabilité des phénomènes qu’elles modélisent.