Chapitre 3 Temps de parcours sur un boulevard urbain
3.2 Outils agrégés de représentation des temps de parcours
3.2.3 Le diagramme débit-peloton (FPD)
(3.17)
où 𝑒𝑟𝑓 est la function d’erreur exprimée par erf(𝑡) = (2 𝜋⁄ ) ∫ 𝑒𝑡 𝑥2
0 𝑑𝑥, cf Figure 3.22b. Cette formule se retrouve en considérant la convolution de la loi normale avec chaque morceau 𝑝. Cette distribution « réaliste » est de classe 𝐶∞, c’est-à-dire indéfiniment dérivable. Une comparaison de cette loi avec des données empiriques de temps de parcours peut alors être réalisée simplement en utilisant par exemple une méthode de maximum de vraisemblance. Dans le cas des conditions stationnaires, des distributions peuvent être tracées pour chaque débit, comme le montre par exemple la Figure 3.22c pour des conditions fluides. Il apparaît clairement que l’augmentation du débit en fluide entraîne la disparition de l’onde verte potentielle (Dirac) ainsi qu’une augmentation des temps de parcours. Dans leurs travaux, Hofleitner et al. (2012) ont manipulé des distributions de cette forme et les ont validées sur des données expérimentales. Cette partie complète leurs travaux en proposant une formulation analytique de leur loi de densité.
Figure 3.22. Distribution de temps de parcours (a) déterministes (b) réalistes pour un débit donné en condition stationnaire fluide. (c) comparaison de distributions pour plusieurs débits dans les mêmes conditions.
Les distributions sont les représentations agrégées des temps de parcours les plus classiques. Une distribution peut dépendre des conditions de trafic et bien appréhender la variabilité des temps de parcours. Cependant, elle perd leur dynamique temporelle, c’est-à-dire la relation entre la date de départ et le temps de parcours.
3.2.3 Le diagramme débit-peloton (FPD)
Un outil agrégé conservant la relation entre la date de départ et le temps de parcours est inexistant dans la littérature. Représenter l’ensemble des temps de parcours qu’un véhicule peut réaliser sur un boulevard donné en fonction de sa date de départ et du débit est en effet délicat. La fonction de temps de parcours n’étant pas bijective (uniquement croissante ou décroissante) pour un
débit donné, un graphique à deux axes (départ – débit) ne permet pas de donner les temps de parcours d’une manière simple.
Figure 3.23. (a) FPD des conditions stationnaires fluides représentant les dates (1) de départ (2) d’arrivée des véhicules aux bornes du boulevard. (b) FPD des conditions congestionnées représentant les dates (1) de départ (2) d’arrivée des vides aux bornes du boulevard.
Une astuce permet de parvenir à une représentation complète et lisible. Il s’agit de tracer deux graphiques en relation, l’un donnant les dates de départ, l’autre les dates d’arrivées des véhicules en fonction du débit. L’association de ces deux diagrammes est appelée FPD. Cet outil est nouveau et n’a jamais été étudié dans la littérature. Il a été présenté dans Hans et al. (A3) pour les cas stationnaires fluides et complété dans Hans et al. (A4) pour les cas stationnaires congestionnés. La Figure 3.23 le représente pour un corridor particulier. La partie de gauche en gris concerne les conditions fluides tandis que la partie de droite en rouge concerne les situations congestionnées. Les deux parties doivent donc être considérées séparément. En fluide, la mise en relation des deux graphes (a1) et (a2) se fait grâce au concept de pelotons présenté dans le cadre de la méthode M5, cf triplets sur la Figure 3.23. Seules les séparations entre les pelotons doivent être représentées, les temps de parcours des véhicules appartenant à ces pelotons s’en déduisant facilement à l’aide de la propriété de linéarité du retard. Les
3.2. Outils agrégés de représentation des temps de parcours
flèches sur la Figure 3.23a1 et a2 illustrent l’équation (3.8). En congestion, le FPD s’utilise exactement de la même manière. Néanmoins, afin de le rendre lisible, les dates d’arrivées et de départ sont celles des vides introduits dans la méthode M5. Le temps de parcours des véhicules se déduit du temps de parcours des vides obtenus comme précédemment en utilisant l’équation (3.10).
Bien que la méthode M6 ne fasse pas directement référence à des pelotons, le FPD peut tout de même en être déduit. Pour cela, il faut appliquer la méthode M6 à toutes les conditions fluides stationnaires possibles (différentes valeurs de demandes constantes) et en déduire la fonction de temps de parcours associée. Les séparations entre pelotons sont alors les points de discontinuité de la fonction de temps de parcours. Enfin, si le FPD permet d’agréger les temps de parcours, il est aussi une base très pratique pour calculer : (i) une fonction de temps de parcours à partir de la variation des dates d’entrée des véhicules (temps) et du débit. Il est dans ce cas la base d’une méthode quasi-statique d’estimation des temps de parcours équivalente à la méthode M5 ; (ii) une distribution de temps de parcours pour un débit ou un intervalle de débits donné ; (iii) le MFD en associant chaque point à un débit sur le FPD respectivement en conditions fluides et congestionnées. Il est à noter qu’en pratique, le FPD n’a d’intérêt que lorsque les feux du boulevard sont cycliques et de même cycle. Dans ce cas, les temps de parcours pour un débit donné sont cycliques. Le temps de parcours d’un véhicule partant à une date n’apparaissant pas sur le diagramme se déduit de la date correspondante modulo le cycle des feux. Dans le cas contraire, il faudrait le représenter pour l’ensemble des dates de départ possibles, ce qui le rendrait illisible et inutilisable.