Loi de Johnson-Cook modifiée

La modélisation du comportement thermo-visco-plastique est maintenant effectuée avec une loi

de Johnson-Cook modifiée basée sur les travaux de Rohr [74]. Un seul paramètre de sensibilité à

la vitesse de déformation est conservé. L’écrouissage isotrope et la limite d’élasticité bénéficient

chacun d’un paramètre de sensibilité à la température différent. Ce qui donne la relation suivante

pour la loi de Johnson-Cook modifiée :

R( ˙ε

^p

, T) = [σ

₀

×S

_σ0

(T) +K(¯ε

^p

)

n

×S

_σ

(T)]× 1 +Aln ^ε˙_˙

^p

ε

^p₀

!!

(4.30)

où S

_σ0

représente la dépendance à la température de la limite d’élasticité et S

_σ

celle de la loi

d’écrouissage isotrope.

La dépendance à la température de l’écrouissage isotrope est définie de la manière suivante :

S

_σ

(T) = 1− ^{T −T}

⁰

T

_mq

−T

₀

!mσ

(4.31)

où m

_σ

est le paramètre de sensibilité à la température de l’écrouissage isotrope et T

_mq

est la

température limite de forgeage à chaud pour les aciers après laquelle il n’y a plus

d’écrouis-sage. Cette température est égale à 0,6 fois la température de fusion du matériau étudié sur

une échelle absolue, ce qui donne T

_mq

= 779°C. Cette valeur reste cependant théorique et

approximative.

Identification des paramètres

Le paramètre de sensibilité à la vitesse de déformation du comportement mécanique de ce

modèle de Johnson-Cook modifié est égal à celui précédemment calculé pour le modèle de

Johnson-Cook classique. De même, étant donné que le paramètre de sensibilité à la température

du modèle de Johnson-Cook a été calculé à partir de l’évolution de la limite d’élasticité avec la

température, on am

_σ0

=m. Le seul paramètre restant à identifier pour ce modèle est doncm

_σ

.

Étant donné le comportement plastique pur du matériau observé lors des essais expérimentaux

à 720°C, le paramètre m

_σ

évolue en fonction de la température jusqu’à atteindre une valeur

proche de 0. En effet, si S

_σ

(T) atteint une valeur proche de 0, tant en restant positif,

l’en-semble K(¯ε

p

)

n

×S

_σ

(T) devient négligeable devant la limite d’élasticité σ

₀

×S

_σ0

(T). En 2005,

Rohr et al. [74] modifie la loi de Johnson-Cook en définissant un paramètre de sensibilité à la

température de la loi d’écrouissage isotrope comme étant une droite linéaire fonction de T. Ce

type de modélisation est utilisé ici. Le paramètre m

_σ

est identifié par un processus

d’optimi-sation entre les résultats des essais expérimentaux de traction à différentes températures et les

résultats de la simulation du modèle numérique paramétré de l’essai. Les paramètres identifiés

pour le matériau d’étude conformément à ce modèle de comportement sont donnés dans le

tableau4.5.

Modèle de Johnson-Cook modifié

K = 392,9M P a

n = 0,42

σ

₀

= 566M P a

m

_σ0

= 0,757 et m

_σ

= 1,172 pourT ≤350°C

m

_σ0

= 0,571 et m

_σ

(T) =−0.0213T + 21,2 pour T ≥550°C

A=0,008

Tab. 4.5: Paramètres du modèle de Johnson-Cook modifié associé au critère de von Mises

Parameters of modified Johnson-Cook model with the von Mises’ criterion

Résultats de simulations d’essais avec le modèle de Johnson-Cook modifié

La figure 4.3.8 présente la comparaison entre les résultats issus de la modélisation basée sur la

loi de Johnson-Cook modifiée avec les données expérimentales des essais de traction pour une

vitesse de déformation de 1×10

−1

/s. Cette modélisation est bien adaptée à la description du

comportement thermo-plastique du matériau d’étude à cette vitesse de déformation.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Déformations logarithmiques plastiques (mm/mm)

Contraintes équivalentes (MPa)

25°C 175°C 550°C 720°C

Régression JC modifiée

Fig. 4.3.8: Comparaison entre le modèle de Johnson-Cook modifié et les données expérimentales de

traction à différentes températures pour une vitesse de déformation de 1×10

−1

/s.

Comparison between the modified Johnson-Cook model and experimentals data at several temperatures

with a strain rate of 1×10

−1

/s.

La figure 4.3.9 présente la comparaison entre les résultats issus de la modélisation basée sur

la loi de Johnson-Cook modifiée avec les données expérimentales des essais de traction sur le

dispositif de barres d’Hopkinson pour différentes températures à une vitesse de déformation

de 4 ×10

2

/s. La modélisation du comportement thermo-plastique du matériau d’étude est

bien adaptée jusqu’à 400°C. Cependant, à 720°C, le comportement thermo-mécanique est

sous-estimé de plus de 50 % par ce modèle.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Déformations logarithmiques (mm/mm)

Contraintes équivalentes (MPa)

25°C 250°C 400°C 720°C

Régression loi JC modifiée

Fig. 4.3.9: Comparaison entre le modèle de Johnson-Cook modifié et les données expérimentales de

traction à différentes températures pour une vitesse de déformation de 4×10

2

/s.

Comparison between the modified Johnson-Cook model and experimentals data at several temperatures

with a strain rate of 4×10

2

/s.

Conclusion sur le modèle de Johnson-Cook modifié

Le domaine de validité de ce modèle de Johnson-Cook modifié est plus large en prenant en

compte le découplage de la dépendance de la limite d’élasticité et de l’écrouissage isotrope à

la température. Les prédictions sont bonnes sur toute la plage de température à une vitesse

de déformation de 1×10

−1

/s. Mais les effets du couplage température/vitesse de déformation

influent sur le comportement du matériau à une plus grande vitesse de déformation. En effet,

à une vitesse de déformation de 4×10

2

/s, les prédictions du modèle sont uniquement bonnes

jusqu’à une température de 400°C.

Le tableau4.6 indique les paramètres du modèle de Johnson-Cook nécessaire pour une bonne

prédiction à 720°C pour une vitesse de déformation de 4× 10

2

/s. La figure 4.3.10 présente

la comparaison entre les résultats issus de la modélisation basée sur la loi de Johnson-Cook

modifiée avec les données expérimentales des essais de traction à 720°C pour une vitesse de

déformation de 4×10

2

/s. Cependant, étant donné le cadre industriel où l’on cherche à appliquer

cette modélisation, il n’y a aucun intérêt à chauffer le matériau étudié à une température de

720°C alors qu’il présente la même résistance mécanique à 400°C.

K(M P a) n σ

₀

(M P a) m

_σ0

m

_σ

A

392,9 0,42 566 1 30 0,008

Tab. 4.6: Paramètres du modèle de Johnson-Cook modifié associé au critère de von Mises à 720°C

pour une vitesse de déformation de 4×10

2

/s.

Parameters of modified Johnson-Cook model with the von Mises’ criterion at720°C with a strain rate

of 4×10

2

/s.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0 100 200 300 400 500 600 Déformations logarithmiques (mm/mm)

Contraintes équivalentes (MPa)

720°C

Régression loi JC modifié

Fig. 4.3.10: Comparaison entre le modèle de Johnson-Cook modifié et les données expérimentales de

traction à 720°C pour une vitesse de déformation de 4×10

2

/s.

Comparison between the modified Johnson-Cook model and experimentals data at 720°C with a strain

rate of 4×10

2

/s.

Ce type de modèle de comportement ne permet pas de prendre en compte la modélisation et

l’origine physique des bandes de Piobert-Lüders (cf.annexeA) jusque là simplement modélisées

par une fonction linéaire. Une solution pour les prendre en compte directement consiste à utiliser

une loi d’écrouissage isotrope utilisant la fonction exponentielle telle que la loi de Voce.

Dans le document Étude du comportement mécanique des matériaux dans des conditions étendues de vitesses et de températures : application à l'acier C68 dans le cas d'une opération de formage incrémental (Page 114-118)