Limites et comparaisons - Le texte du cours

Les inégalités larges passent à la limite.

Théorème 50– Soit

I

un intervalle. Soit

x

0un réel dans

I

ou une extrémité de

I

, éventuelle- ment

±∞

. Soit

f

g

des fonctions définies sur

I− {x

}

telles que

∀x ∈ I − {x

}, f (x) ≤ g(x).

On suppose

lim

x→x0

f (x) = `∈ R, lim

x→x0

g(x) = `

_{∈ R.}

Alors,

`≤ `

Remarque 51– Les symboles

−∞

+∞

ne représentent pas des nombres réels. La notation

I− {x

}

est donc un abus lorsque

x

₀

= −∞

x

₀

= +∞

. On lève cet abus en définissant

I− {−∞} = I

I− {+∞} = I

. Démonstration.

1) On suppose d’abord

x

= −∞

. On raisonne par contraposition. On suppose que

`

< `

et on doit montrer l’existence de

x∈ I

tel que

f (x) > g(x)

. La fonction

g− f

tend vers

`

− `

−∞

. Comme

`

− ` < 0

, il existe

M

tel que, pour tout

x > M

, on a

g(x)− f (x) < 0

. En particulier, il existe

x∈ I

tel que

g(x) < f (x)

2) On suppose ensuite

x

∈ R

. On raisonne par contraposition. On suppose que

`

< `

et on doit montrer l’existence de

x∈ I

tel que

f (x) > g(x)

. La fonction

g− f

tend vers

`

− `

−∞

. Comme

`

− ` < 0

, il existe

δ > 0

tel que, pour tout

x∈ I − {x

}

tel que

|x − x

| < δ

, on a

g(x)− f (x) < 0

. En particulier, il existe

x∈ I

tel que

g(x) < f (x)

(on peut par exemple choisir

x = x

+ δ/2

3) Enfin, on suppose

x

₀

= +∞

. Soit

J ={x ∈ R, −x ∈ I}

. On définit sur

I

les fonctions

fe

_eg

en posant

∀x ∈ I, ef (x) = f (−x),

eg(x) = g(−x).

La fonction

fe

tend vers

`

−∞

. La fonction

g_e

tend vers

`

0 en

−∞

. De plus, pour tout

x∈ J

on a

f (x)e

≤_eg(x)

. Grâce au premier point de la preuve, on en déduit

`≤ `

Le théorème précédent exige que l’on sache déjà l’existence de limites pour les fonctions

f

g

. Le théorème suivant en revanche permet de démontrer qu’une fonction admet une limite.

Théorème 52– Soit

I

un intervalle. Soit

x

0un réel dans

I

ou une extrémité de

I

, éventuelle- ment

±∞

. Soit

f

g

h

des fonctions définies sur

I− {x

}

1) On suppose que

—

∀x ∈ I − {x

₀

}

f (x)≤ g(x) ≤ h(x)

;

— les fonctions

f

h

convergent en

x

0vers une même limite réelle

`

. Alors,

g

admet une limite en

x

0, et cette limite est

`

2) On suppose que

—

∀x ∈ I − {x

₀

}

f (x)≤ g(x)

; — la fonction

f

tend vers

+∞

x

0. Alors, la fonction

g

tend vers

+∞

x

0. 3) On suppose que

—

∀x ∈ I − {x

₀

}

f (x)≤ g(x)

; — la fonction

g

tend vers

−∞

x

0. Alors, la fonction

f

tend vers

−∞

x

0. Démonstration.

1) a) On suppose que

x

₀est réel. On doit montrer, pour tout

ε > 0

, l’existence de

δ > 0

tel que, pour tout

x∈ I − {x

}

, si

|x − x

| < δ

alors

|g(x) − `| < ε

. Soit donc

ε > 0

. Puisque

f

tend vers

`

x

0, il existe

δ

1tel que

∀x ∈ I − {x

}, |x − x

| < δ

⇒ −ε < f (x) − ` < ε.

Puisque

h

tend vers

`

x

₀, il existe

δ

₂tel que

∀x ∈ I − {x

}, |x − x

| < δ

⇒ −ε < h(x) − ` < ε.

Soit

δ

le plus petit des deux réels

δ

1 et

δ

2. Si

x

∈ I − {x

}

vérifie

|x − x

| < δ

alors

|x − x

| < δ

1donc

−ε < f (x) − `

. Mais, pour tout

x∈ I − {x

}

, on a

f (x)− ` ≤ g(x) − `

donc, si

x∈ I − {x

}

vérifie

|x − x

| < δ

alors

−ε < g(x) − `

. D’autre part, si

x∈ I − {x

}

vérifie

|x − x

| < δ

alors

|x − x

| < δ

2donc

h(x)− ` < ε

. Mais, pour tout

x∈ I − {x

}

, on a

g(x)− ` ≤ h(x) − `

donc, si

x∈ I − {x

}

vérifie

|x − x

| < δ

alors

g(x)− ` < ε

. Finalement,

∀x ∈ I − {x

}, |x − x

| < δ ⇒ |g(x) − `| < ε.

b) On suppose que

x

₀

= +∞

. On doit montrer, pour tout

ε > 0

, l’existence de

M

∈ R

tel que, pour tout

x∈ I

, si

x > M

alors

|g(x) − `| < ε

. Soit donc

ε > 0

. Puisque

f

tend vers

`

+∞

, il existe

M

1tel que

∀x ∈ I, x > M

⇒ −ε < f (x) − ` < ε.

Puisque

h

tend vers

`

+∞

, il existe

M

₂tel que

∀x ∈ I, x > M

⇒ −ε < h(x) − ` < ε.

Soit

M

le plus petit des deux réels

M

1et

M

2. Si

x∈ I

vérifie

x > M

alors

x > M

1donc

−ε < f (x) − `

. Mais, pour tout

x∈ I

, on a

f (x)− ` ≤ g(x) − `

donc, si

x∈ I

vérifie

x > M

alors

−ε < g(x) − `

. D’autre part, si

x∈ I

vérifie

x > M

alors

x > M

₂donc

h(x)− ` < ε

. Mais, pour tout

x∈ I

, on a

g(x)−` ≤ h(x)−`

donc, si

x∈ I

vérifie

x > M

alors

g(x)−` < ε

. Finalement,

∀x ∈ I, x > M ⇒ |g(x) − `| < ε.

c) On suppose que

x

= −∞

. On définit

J ={x ∈ R: − x ∈ I}

puis, sur

J

, on définit les fonctions

fe

_eg

eh

en posant

∀x ∈ J, ef (x) = f (−x),eg(x) = g(−x), eh(x) = h(−x).

Les fonctions

fe

eh

tendent vers

`

+∞

. De plus,

∀x ∈ J, ef (x)≤eg(x)≤ eh(x).

On déduit alors du point précédent que

eg

tend vers

`

+∞

et donc que

g

tend vers

`

−∞

2) a) On suppose que

x

0est réel. Soit

M

∈ R

, nous devons trouver un réel

δ > 0

tel que,

∀x ∈ I − {x

}, |x − x

| < δ ⇒ g(x) > M.

Soit donc

M

∈ R

. Puisque

f

tend vers

+∞

x

0, il existe

δ > 0

tel que, pour tout

x∈ I − {x

}

, si

|x − x

| < δ

alors

f (x) > M

. Or, pour tout

x∈ I − {x

}

, on a

f (x)≤ g(x)

donc, si

|x − x

| < δ

alors

g(x) > M

b) On suppose que

x

= +∞

. Soit

M∈ R

, nous devons trouver un réel

K

∈ R

tel que,

∀x ∈ I, x > K ⇒ g(x) > M.

Soit donc

M

∈ R

. Puisque

f

tend vers

+∞

, il existe

K

∈ R

tel que, pour tout

x∈ I

, si

x > K

alors

f (x) > M

. Or, pour tout

x∈ I

, on a

f (x)≤ g(x)

donc, si

x > K

alors

c) On suppose que

x

= −∞

. Soit

M∈ R

, nous devons trouver un réel

k∈ R

tel que,

∀x ∈ I, x < k ⇒ g(x) > M.

Soit donc

M

∈ R

. Puisque

f

tend vers

+∞

−∞

, il existe

k∈ R

tel que, pour tout

x∈ I

, si

x < k

alors

f (x) > M

. Or, pour tout

x∈ I

, on a

f (x)≤ g(x)

donc, si

x < k

alors

g(x) > M

3) On déduit des hypothèses que

∀x ∈ I − {x

}, −g(x) ≤ −f (x)

et que la fonction

−g

tend vers

+∞

x

0. En appliquant le point précédent, on déduit que

−f

tend vers

+∞

x

₀puis que

f

tend vers

−∞

x

₀.

La proposition 35 a montré que si une fonction à une limite finie en un réel

x

0, alors elle ne peut pas être trop grande à condition d’être suffisamment proche de

x

₀. Introduisons le vocabulaire nécessaire à une expression concise et précise de ce fait.

Définition 53– Soit

f

une fonction et

D

un ensemble sur lequel elle est définie. 1) Un majorant de

f

sur

D

est un réel

M

tel que

∀x ∈ D, f (x) ≤ M.

2) Un minorant de

f

sur

D

est un réel

m

tel que

∀x ∈ D, m ≤ f (x).

3) La fonction

f

est dite

i) majorée sur

D

si elle admet un majorant sur

D

; ii) minorée sur

D

i elle admet un minorant sur

D

; iii) bornée sur

D

si elle est minorée et majorée sur

D

Proposition 54– Soit

f

une fonction et

D

un ensemble sur lequel elle est définie. La fonction

f

est bornée sur

D

si et seulement si la fonction

|f |

est majorée sur

D

Démonstration. 1) Supposons que

f

est bornée sur

D

. Soit alors

m

M

des réels tels que, pour tout

x∈ D

, on ait

m≤ f (x) ≤ M

. Comme

−|m| ≤ m

M≤ |M|

, on a

−|m| ≤ f (x) ≤

|M|

pour tout

x∈ D

. De plus,

|M| ≤ max(|m|,|M|)

−max(|m|,|M|) ≤ −|m|

. On a donc

−max(|m|,|M|) ≤ f (x) ≤ max(|m|,|M|)

puis

|f (x)| ≤ max(|m|,|M|)

pour tout

x

∈ D

. La fonction

|f |

est majorée par

max(|m|,|M|)

2) Réciproquement, supposons que

|f |

est majorée sur

D

. Soit

M

un réel tel que

|f (x)| ≤ M

pour tout

x∈ D

. On a alors

−M ≤ f (x) ≤ M

pour tout

x∈ D

. Ainsi,

f

est minorée sur

D

, un minorant étant

−M

f

est majorée sur

D

, un majorant étant

M

La proposition 35 implique la proposition suivante.

Proposition 55– Soit

_I

un intervalle et

a

un réel qui — appartient à

I

;

— ou bien est une extrémité de

I

Soit

f

une fonction définie sur

I− {a}

. Soit

`

un réel. On suppose que

lim

x→a

f (x) = `

Alors, il existe

δ > 0

tel que

f

est bornée sur

I∩]a − δ,a + δ[−{a}

. De la même façon, la proposition 47 implique la proposition suivante.

Proposition 56–

1) Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

dont la borne droite est

+∞

. On suppose que

f

tend vers

`∈ R

+∞

. Alors, il existe

K > 0

tel que

f

est bornée sur

[K,+∞[

. 2) Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

dont la borne gauche est

−∞

. On suppose

que

f

tend vers

`∈ R

−∞

. Alors, il existe

k > 0

tel que

f

est bornée sur

] − ∞,k]

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