semble, les perturbations étant données par la racine carrée de la variance d'analyse A (Anderson, 2001 ; Bishop et al., 2001 ; Sakov et Oke, 2008). A cette famille ap- partient le ltre de Kalman d'ensemble transformé (ETKF) (Bishop et al., 2001), qui applique une transformation aux perturbations de l'ébauche, a n d'obtenir des perturbations de l'analyse qui correspondent exactement à l'écart-type de l'erreur d'analyse, donné par l'équation 2.8. Une adaptation de ce dernier algorithme, le ltre de Kalman d'ensemble transformé local (LETKF) a été développée plus parti- culièrement pour les modèles 3D ; elle utilise des versions locales de tous les vecteurs et matrices qui entrent en jeu dans l'algorithme, ce qui permet de paralléliser les calculs (Ott et al., 2004 ; Hunt et al. 2007).
III.4 Limitations et problèmes liés au ltre de Kalman d'en-
semble
Le ltre de Kalman d'ensemble est un algorithme attractif car simple et qui s'adapte à l'état de l'atmosphère. Cependant, ses concepteurs furent rapidement confrontés à plusieurs problèmes lors de son implémentation.
a - Comportement à l'in ni
On pourrait penser que le ltre de Kalman d'ensemble converge vers le ltre de Kalman-Bucy lorsque la taille de l'ensemble tend vers l'in ni. Ce n'est malheureuse- ment pas le cas ; comme l'a montré Le Gland (2004), le ltre de Kalman d'ensemble converge vers un processus limite qui n'est pas un processus de ltrage au sens de l'annexe A. La seule exception à ceci est dans le cas d'un système linéaire gaussien, pour lequel le ltre de Kalman d'ensemble tend vers le ltre de Kalman-Bucy. b - Divergence du ltre
Ce problème est lié à un ensemble d'ébauches trop peu dispersif. Cela peut être dû à deux raisons, non exclusives entre elles :
L'étape de prédiction réduit les perturbations imposées à l'analyse ;
L'étape de correction est trop peu importante : l'ébauche est à peine modi ée par les observations.
III. Filtre de Kalman-Bucy et ltre de Kalman d'ensemble 33 Dans ce cas, la variance d'erreur de l'ébauche, équivalente à la variance de l'en- semble d'ébauches, devient très petite, ce qui fait que les observations ont très peu d'impact sur l'analyse. De la même façon, les perturbations ajoutées aux observa- tions ne modi ent que très peu l'analyse, ce qui fait que la variance de l'ensemble d'analyse est encore plus réduite. On parle alors d'eondrement de l'ensemble : tous les membres sont quasiment identiques, ce qui donne une matrice B quasiment nulle, et un système d'assimilation qui ignore entièrement les observations.
La plupart des modèles réduisent au cours de la simulation les perturbations im- posées à l'analyse car celles-ci étant plus ou moins aléatoires ne sont pas homogènes avec la physique et/ou la dynamique du modèle. Des les premiers pas de temps de l'étape de prédiction, le modèle revient à un état d'équilibre, et les diérents états d'équilibre de l'ensemble après une intégration modèle de quel ques pas de temps sont en général moins éloignés que les analyses perturbées. Ceci fait que la diver- gence du ltre de Kalman d'ensemble est un phénomène très répandu.
La solution à ce problème consiste à augmenter arti ciellement les variances- covariances d'erreur de l'ensemble. L'hypothèse sous-jacente est qu'augmenter la variance de l'ensemble revient à compenser la taille (toujours insu sante) de l'en- semble. Plusieurs algorithmes d'in ation de covariances ont été élaborés, en fonction de la variance de l'ensemble, des variances d'erreur d'observation, et de la distance entre la moyenne de l'ensemble et de l'observation (Anderson et Anderson (1999) ; Anderson (2007 et 2009)). Une autre solution consiste à utiliser deux ensembles d'as- similation (Houtekamer et Mitchell, 1998). Les variances et covariances calculées par un ensemble servent alors dans l'étape de correction de l'autre ensemble.
c - Rôle de l'erreur modèle
Nous avons vu que l'erreur modèle Q intervenait dans l'équation de prédiction des variances d'erreur d'ébauche (Eq.2.19). Or cette erreur est mal connue. Houte- kamer et al. (2005) se sont basés sur les variances d'erreur d'ébauche pour tenter d'estimer Q. Une autre solution est d'utiliser un ensemble multi-modèles (Meng et al., 2007), lorsque cela est possible.
d - Localisation
Le problème de localisation désigne des covariances trop grandes et peu réalistes entre des points éloignés (Hamill et al., 2001 ; Houtekamer et Mitchell, 2001). Ces co- variances ne correspondent pas à de réelles corrélations entre les erreurs de l'ébauche entre ces deux points ; elles sont au contraire la conséquence de la présence de bruit
dans l'ensemble d'ébauche, lorsque celui-ci est de petite taille. Pour remédier à ce problème, on peut soit utiliser un ensemble de plus grande taille, soit multiplier la matrice B élément par élément avec une fonction de corrélation à support compact (Hamill et al., 2001), nulle au-delà d'une certaine distance entre deux points. e - Hypothèse de gaussianité
Bien que le ltre de Kalman d'ensemble ne requière aucune linéarisation du système dynamique auquel il est appliqué, il est basé sur l'hypothèse que les per- turbations et les erreurs d'ébauche et d'observation sont additivement gaussiennes, c'est-à-dire entièrement connues par leur moyenne et leur variance. Le transport de ces perturbations est également censé être linéaire au cours de l'intégration par le modèle, ce qui implique qu'elles restent gaussiennes au cours de l'étape de prédic- tion. Ceci est loin d'être assuré pour des systèmes fortement non-linéaires tel que cobel-isba. Du fait ce ces hypothèses, le ltre de Kalman d'ensemble, bien qu'utile pour les systèmes non-linéaires, n'est pas forcément optimal pour les systèmes for- tement non-linéaires.