Chapitre II Les cadres théoriques
II. 4 Les programmes au début de l’enseignement secondaire
Nous avons placé l’étude des logiciels Tuteurs Fermés dans le cadre de l’institution principale qu’est l’école française. Les objets de savoir en jeu dans cette école sont définis dans des programmes officiels publiés dans le Journal officiel du ministère de l’éducation nationale. Nous allons commencer par décrire ces programmes que nous analyserons ensuite à partir de la didactique des mathématiques.
Le choix des quatre logiciels tuteurs fermés de notre étude nous a amené à nous concentrer sur les apprentissages numériques car, en 2002, c’est ce qu’ils avaient en commun. C’est par le spectre de ces apprentissages en relation avec le numérique que nous avons choisi les objets de savoir sur lesquels va porter notre analyse. Ces LTF étant utilisés en début de secondaire
dans l’école française, nous allons commencer par décrire les programmes officiels d’enseignement des mathématiques du ministère de l’éducation nationale. Les recherches didactiques qui vont être utilisées ensuite vont nous permettre de poursuivre la construction de notre cadre d’analyse des LTF.
II.4.1 -
Compétences et praxéologies
Commençons par quelques précisions en ce qui concerne le vocabulaire utilisé dans les programmes pour décrire les objets du savoir mathématique. Notre cadre de travail correspond à celui défini dans la théorie anthropologique du didactique où les termes tâche ou type de tâches, technique, technologie et théorie définissent les praxéologies et ainsi le savoir à travers les organisations mathématiques et didactiques. Les autres institutions, non didactiques, gouvernementales notamment, utilisent les termes de compétence et de capacité dont nous devons essayer de préciser les liens avec la TAD.
Le parlement européen nous propose une définition de la compétence mathématique :
La compétence mathématique est l'aptitude à développer et appliquer un raisonnement mathématique en vue de résoudre divers problèmes de la vie quotidienne32.
Nous transposons cette définition dans le langage de la TAD par :
La compétence mathématique est la capacité à mobiliser une organisation mathématique pour résoudre un problème.
Plus précisément, la compétence mathématique est la capacité à mobiliser une technique mathématique, ou plusieurs techniques mathématiques, pour réaliser une tâche ou un type de tâches.
Ou plus généralement :
La compétence est la capacité à mobiliser une technique, ou plusieurs techniques mathématiques, pour réaliser une tâche ou un type de tâches. Derrière la mobilisation d’une technique pour réaliser un type de tâches, se cache la capacité à justifier cette technique par un bloc théorique composé d’une technologie et d’une théorie. Toute compétence est ainsi liée à une ou plusieurs praxéologies. Mais, Chevallard nous
32 Recommandation du parlement européen et du conseil du 18 décembre 2006 sur les compétences clés pour
l'éducation et la formation tout au long de la vie, (2006/962/CE), L 394/10 FR Journal officiel de l'Union européenne 30.12.2006.
rappelle que l’expression de certaines compétences peut conduire à une technologie d’aucune technique et que la praxéologie liée à une compétence peut ne pas être entièrement explicite.
Un second exemple montrera maintenant que, pour les mêmes motifs – la trop faible prise en compte des niveaux supérieurs de détermination mathématique –, ce qui peut venir à manquer n’est pas seulement la tâche motivante, mais la tâche « motivée » elle-même ! Ce qui se met en place alors est une organisation mathématique « oblitérée », que je note [T/τ/θ/Θ]. Ainsi en va-t-il par exemple, en classe de troisième, à propos d’un sujet d’études clairement inscrit au programme de cette classe : la « composition de deux symétries centrales ». L’examen du programme montre que le thème dont relève ce sujet est celui des Vecteurs et translations, le secteur étant celui des Configurations, constructions et transformations (qui, bien entendu, se déploie à l’intérieur du domaine des Travaux géométriques). Le mal, ici, est déjà dans le texte du programme, sinon dans l’organisation mathématique qu’il évoque : les compétences exigibles qu’il édicte, en effet, se réduisent en ce cas à « savoir que l’image d’une figure par deux symétries centrales successives de centre différents est aussi l’image de cette figure par une translation », et à « connaître le vecteur de la translation composée de deux symétries centrales », sans mention de l’emploi de ces résultats. On demande ainsi à la classe de produire un énoncé technologique – la composée des symétries de centre O et O’ est la translation de vecteur 2.OO’ – qui aura toutes chances de n’être la technologie d’aucune technique : technologie en stand-by en quelque sorte ! (Chevallard, 2002 b, p. 4)
Le terme de compétence que le ministère de l’éducation nationale utilise dans les programmes de mathématiques pour définir la liste des compétences entre dans le cadre de cette définition. Par exemple, la compétence Appliquer un taux de pourcentage est définie par la capacité à mobiliser une technique pour appliquer un pourcentage. Si le type de tâches est le calcul de la baisse du prix d’un produit provenant du pourcentage de réduction de 5%, il est possible de mobiliser différentes techniques comme :
• entrer le prix d’origine avec les touches de sa calculatrice puis multiplier par 5, puis utiliser la touche % de sa calculatrice ;
• multiplier le prix d’origine par 0,05 ;
• multiplier le prix d’origine par 5, puis diviser par 100 ;
• diviser le prix d’origine par 20.
Mesurer une compétence revient à définir la capacité à mobiliser les techniques pour réaliser les types de tâches qui sont en relation avec la maîtrise de cette compétence.
La compétence renvoie avant tout au bloc pratico-technique [T/τ] de la théorie anthropologique du didactique. Nous retrouvons dans ce constat la similitude conceptuelle que Carl Winslow propose avec sa notion de compétence spécifique qui « est liée aux praxéologies, surtout les blocs pratico-techniques (qui sont, pourtant, dépersonnalisés), intégration amenant le plan technologico/théorique » (Winslow, 2005, p. 147).
La différence entre les expressions de type de tâches et compétence dépend avant tout de la position dans laquelle nous nous plaçons. Appliquer un taux de pourcentage est un type de tâches si nous nous intéressons aux techniques disponibles pour l’élève pour réaliser cette tâche et c’est une compétence si nous faisons un bilan de ce qu’est capable de réaliser un élève. Après ces précisions, revenons aux programmes officiels du collège pour les mathématiques.
II.4.2 -
Le collège
Le programme de mathématiques de l’ensemble du collège33, est découpé en quatre parties : Organisation et gestion de données, fonctions, Nombres et calculs, Géométrie et Grandeurs et mesure.
Les particularités des LTF de notre étude nous ont conduit à nous concentrer, presque exclusivement, sur les parties suivantes dont les objectifs principaux sont, pour l’ensemble du collège :
1. Organisation et gestion de données, fonctions :
• maîtriser différents traitements en rapport avec la proportionnalité ;
• approcher la notion de fonction (exemples des fonctions linéaires et affines) ; • s’initier à la lecture, à l’utilisation et à la production de représentations, de
graphiques et à l’utilisation d’un tableur ;
• acquérir quelques notions fondamentales de statistique descriptive et se familiariser avec les notions de chance et de probabilité.
2. Nombres et calcul :
• acquérir différentes manières d’écrire des nombres (écriture décimale, écriture fractionnaire, radicaux) et les traitements correspondants ;
33 La description des programmes de collège est issue du B.O. hors série n° 4 du 9 septembre 2004 volume 1,
• se représenter la droite graduée complète, avec son zéro séparant les valeurs positives et négatives et apprendre à y localiser les nombres rencontrés ;
• poursuivre l’apprentissage du calcul sous toutes ses formes : mental, posé, instrumenté ;
• assimiler progressivement le langage algébrique et son emploi pour résoudre des problèmes (en particulier distinguer égalité, identité et équation). (B.O. 2004, p. 4 et B.O. 2008, p. 1034)
Comme nous pouvons le lire dans les programmes de collège de 2004, « Les grands équilibres et le niveau général d’exigence du programme du 22 novembre 1995 sont conservés. » (BO, 2004, p. 7). Cette remarque et les connaissances mathématiques présentes dans le programme de 2008 nous montrent avant tout une grande stabilité des programmes du début du secondaire en mathématiques depuis de nombreuses années. Cette période de stabilité coïncide avec la période de création des quatre LTF de notre étude qui ont été conçus et mis à jour entre 1996 et 2004, ce qui nous permet d’envisager, encore aujourd’hui, la concordance de ce que propose chaque LTF avec les programmes de l’institution officielle. Pour cela, il nous reste à décrire dans le détail les apprentissages, liés au numérique, dans les programmes de la classe de sixième.
II.4.3 -
Les compétences numériques de la classe de sixième
En suivant la structure du programme, voici une présentation des compétences numériques exigibles en classe de sixième, numérotées de C1 à C29 :
a - Organisation et gestion de données, fonctions
C1 Traiter les problèmes « de proportionnalité », en utilisant des raisonnements appropriés.
C2 Reconnaître les situations qui relèvent de la proportionnalité et celles qui n’en relèvent pas.
C3 Appliquer un taux de pourcentage.
Tableau 10 : Compétences liées à la Proportionnalité
C4 Organiser des données en choisissant un mode de présentation adapté.
C5
Lire et compléter une graduation sur une demi-droite graduée, à l’aide d’entiers naturels, de décimaux ou de quotients (placement exact ou approché).
34 La seule différence entre ces deux parties entre 2004 et 2008 vient de l’ajout de la phrase « et se familiariser
C6
Lire et interpréter des informations à partir d’une représentation graphique (diagrammes en bâtons, diagrammes circulaires ou demi circulaires, graphiques cartésiens).
Tableau 11 : Compétences liées à l’Organisation et représentation de données
b - Nombres et calculs
i - Nombres entiers et décimaux
C7 Connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture d’un entier
ou d’un décimal.
C8 Associer diverses désignations d’un nombre décimal : écriture à virgule, fractions
décimales.
Tableau 12 : Compétences liées à la Désignation
C9 Comparer deux nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres.
C10 Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres.
C11 Placer un nombre sur une demi-droite (ou une droite) graduée.
C12 Lire l’abscisse d’un point ou en donner un encadrement.
Tableau 13 : Compétences liées à l’Ordre
C13 Donner la valeur approchée décimale (par excès ou par défaut) d’un décimal à l’unité, au
dixième, au centième près.
Tableau 14 : Compétences liées à la Valeur approchée décimale
C14 Connaître les tables d’addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent.
C15 Multiplier un nombre par 10, 100, 1000 et par 0,1 ; 0,01 ; 0,001.
C16 Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée.
C17 Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, posé,
instrumenté.
C18 Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme,
facteur.
Tableau 15 : Compétences liées aux Opérations : addition, soustraction et multiplication
C19 Établir un ordre de grandeur d’une somme, d’une différence, d’un produit.
Tableau 16 : Compétences liées à l’ Ordre de grandeur ii - Division, quotient
C20 Reconnaître les situations qui peuvent être traitées à l’aide d’une division euclidienne et
interpréter les résultats obtenus.
C21 Calculer le quotient et le reste d’une division d’un entier par un entier dans des cas simples
(calcul mental, posé, instrumenté).
C22 Connaître et utiliser le vocabulaire associé (dividende, diviseur, quotient, reste).
C23 Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9.
C24 Interpréter
' comme quotient de l’entier a par l’entier b, c’est-à-dire comme le nombre qui
multiplié par b donne a.
C25 Placer le quotient de deux entiers sur une demi-droite graduée dans des cas simples.
C26 Multiplier un nombre entier ou décimal par un quotient de deux entiers sans effectuer la
division.
C27 Reconnaître dans des cas simples que deux écritures fractionnaires différentes sont celles
d’un même nombre.
Tableau 18 : Compétences liées à l’Écriture fractionnaire
C28 Calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux entiers ou d’un décimal par un
entier, dans des cas simples (calcul mental, posé, instrumenté). C29 Diviser par 10, 100,1000.
Tableau 19 : Compétences liées à la Division décimale
II.4.4 -
Compétences générales pour la classe de sixième
a - La résolution de problèmesLa résolution de problèmes est très présente dans les programmes officiels de collège, dès la sixième, et dans l’introduction pour l’ensemble du collège, il nous est précisé :
À travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et l’apprentissage progressif de la démonstration, les élèves prennent conscience petit à petit de ce qu’est une véritable activité mathématique (B.O. 2004, p. 5 et B.O. 2008, p. 9).
Alors que la modélisation et la démonstration ne sont pas explicites dans le programme de la classe de sixième, la résolution de problèmes fait partie intégrante, explicitement, de ces programmes. Il est donc possible de penser qu’un élève de sixième va devoir prendre conscience de ce qu’est une véritable activité mathématique à partir, avant tout, de la résolution de problèmes.
Un premier paragraphe nous dresse le tableau général de l’utilisation de la résolution de problèmes au collège :
Une place centrale pour la résolution de problèmes
La compréhension et l’appropriation des connaissances mathématiques reposent sur l’activité de chaque élève qui doit donc être privilégiée. Pour cela, et lorsque c’est possible, sont choisies des situations créant un problème dont la solution fait intervenir des « outils », c’est-à-dire des techniques ou des notions déjà acquises, afin d’aboutir à la découverte ou à l’assimilation de notions nouvelles. Lorsque celles-ci sont bien maîtrisées, elles fournissent à leur tour de nouveaux « outils », qui permettent un cheminement vers une connaissance meilleure ou différente. Ainsi, les connaissances peuvent prendre du sens pour
l’élève à partir des questions qu’il se pose et des problèmes qu’il résout. Les situations choisies doivent :
prendre en compte les objectifs visés et une analyse préalable des savoirs en jeu, ainsi que les acquis et les conceptions initiales des élèves ;
permettre un démarrage possible pour tous les élèves, donc ne reposer que sur des consignes simples et n’exiger, au départ, que des connaissances solidement acquises par tous ;
créer rapidement un problème assez riche pour provoquer des conjectures ;
rendre possible la mise en jeu, puis la formulation des notions ou des procédures dont l’apprentissage est visé ;
fournir aux élèves, aussi souvent que possible, des occasions de contrôle de leurs résultats, tout en favorisant un nouvel enrichissement ; on y parvient, par exemple, en prévoyant divers cheminements qui permettent de fructueuses comparaisons.
Si la résolution de problèmes permet de déboucher sur l’établissement de connaissances nouvelles, elle est également un moyen privilégié d’en élargir le sens et d’en assurer la maîtrise. Pour cela, les situations plus ouvertes, dans lesquelles les élèves doivent solliciter en autonomie les connaissances acquises, jouent un rôle important. Leur traitement nécessite initiative et imagination et peut être réalisé en faisant appel à différentes stratégies qui doivent être explicitées et confrontées, sans nécessairement que soit privilégiée l’une d’entre elles. (B.O. 2004, p. 5 et B.O. 2008, p.10).
A propos du thème qui nous intéresse plus particulièrement, le numérique, le programme de sixième nous précise que :
En continuité avec l'école élémentaire les problèmes doivent permettre aux élèves d'associer à une situation concrète un travail numérique, de mieux saisir le sens des opérations figurant au programme. Les problèmes proposés sont issus de la vie courante, des autres disciplines ou des mathématiques. (B.O. 2008, p.14).
Cette partie du programme (2. Nombre et Calculs) s’appuie naturellement sur la résolution de problèmes. Outre leur intérêt propre, ces problèmes doivent permettre aux élèves, en continuité avec l’école élémentaire, d’associer à une situation concrète un travail numérique et de mieux saisir le sens des opérations figurant au programme. Les problèmes proposés sont issus de la vie courante, des autres disciplines ou des mathématiques, cette dernière source de problèmes ne devant pas être négligée (B.O. 2004, p. 16)
La résolution de problèmes ne doit pas être considérée de façon isolée car elle nécessite, entre autres, une gestion correcte du langage mathématique avec, par exemple, « assimiler progressivement le langage algébrique et son emploi pour résoudre des problèmes (en particulier distinguer égalité, identité et équation) ». (B.O. 2004, p. 6 et B.O. 2008, p.10)
b - Le langage mathématique
La communication et la nécessité d’un langage approprié à cette communication sont très présentes dans les programmes de collège et ceci dès l’introduction générale où il est précisé qu’il est nécessaire de voir les mathématiques comme une « discipline d’expression » :
Les mathématiques ont également en charge l’apprentissage de différentes formes d’expression autres que la langue usuelle (nombres, symboles, figures, tableaux, schémas, graphiques) ; elles participent ainsi à la construction de nouveaux langages. (B.O. 2004, p. 5 et B.O. 2008, p.9)
En mathématiques, les élèves sont conduits à utiliser la langue ordinaire en même temps qu’un langage spécialisé. (B.O. 2004, p. 8 et B.O. 2008, p.11)
Ce langage spécialisé prend aussi en compte tout ce qui a été introduit dans l’enseignement primaire et qui doit être, maintenant, consolidé :
Acquérir différentes manières d’écrire des nombres (écriture décimale, écriture fractionnaire, radicaux) et les traitements correspondants. (B.O. 2004, p. 6 et B.O. 2008, p.10)
Les travaux mathématiques sont l’occasion de familiariser les élèves avec l’emploi d’un nombre limité de notations courantes qui n’ont pas à faire l’objet d’exercices systématiques (le langage doit rester au service de la pensée et de son expression) :
dans le domaine numérique : les symboles d’égalité et d’inégalité, les symboles d’opérations (dont les notations puissance et racine carrée au cycle central) et le symbole de pourcentage. (B.O. 2004, p. 9 et B.O. 2008, p.12)
Nous remarquons aussi que le concept de quotient revient très souvent dans le programme de sixième et doit donc faire l’objet d’un soin particulier en sixième. L’écriture fractionnaire, le quotient de deux entiers, quotient euclidien, quotient décimal, quotient fractionnaire, prendre une fraction d’une quantité, division, division euclidienne : toutes ces expressions doivent être précisées au début du collège mais les généralisations ne doivent pas intervenir trop tôt :
Les élèves utilisent l’écriture de la relation « a = b(q+r (avec r < b) » pour contrôler le calcul, dans la continuité du travail entrepris à l’école primaire. La forme littérale de la relation est hors programme. (B.O. 2004, p. 20)
c - Une triple visée
Toutes les compétences particulières ainsi que les compétences générales doivent être vues en relation avec les remarques générales des programmes de la classe de sixième et de l’ensemble du collège. Par exemple, quelques précisions générales sont apportées en introduction du programme de la classe de sixième :
L’enseignement des mathématiques en classe de sixième a une triple visée : V1 : consolider, enrichir et structurer les acquis de l’école primaire ; V2 : préparer à l’acquisition des méthodes et des modes de pensée caractéristiques des mathématiques (résolution de problèmes, raisonnement) ;
V3 : développer la capacité à utiliser les outils mathématiques dans différents domaines (vie courante, autres disciplines). (B.O. 2004, p. 7 et B.O. 2008, p.13)
Les deux premières visées, V1 et V2, permettent de lire les programmes de sixième en classant les compétences exigibles en deux catégories :
celles qui font uniquement appel à des techniques qui ont été introduites en primaire et doivent être « consolidées, enrichies et structurées » en début de collège ;
celles qui font appel à des techniques qui doivent « préparer à l’acquisition des méthodes et des modes de pensée caractéristiques des mathématiques ».
Nous venons de décrire la stabilité des compétences, liées aux apprentissages numériques, exigibles dans les programmes officiels de l’éducation nationale française depuis une quinzaine d’années. Nous allons maintenant proposer le cadre didactique qui va nous permettre d’analyser, par la suite, les environnements d’apprentissage liés au numérique que proposent aux élèves les LTF de notre recherche.