LES ORIENTATIONS, LES OBJECTIFS ET LES CRITÈRES

Nesta sec¸ ˜ao ´e apresentado o filtro de Kalman de maneira intuitiva, considerando a necessidade de ponderar os valores de medic¸ ˜ao com os valores estimados atrav ´es de um modelo.

Diferente do estimador recursivo apresentado na sec¸ ˜ao anterior, quando trata- se do filtro de Kalman, trabalha-se em dois “instantes de an ´alise”, um a priori quando

ainda n ˜ao existe dispon´ıvel uma medic¸ ˜ao e outro a posteriori quando est ´a dispon´ıvel uma medic¸ ˜ao nova. A Figura 28 ilustra esta id ´eia.

Figura 28: Instantes a priori e a posteriori Fonte: Autoria pr ´opria

Denota-se para a estimativa no instante a priori, ou seja, antes da medic¸ ˜ao como ˆx−_k e para o instante a posteriori ap ´os obter uma nova medic¸ ˜ao como ˆx+_k.

Inicialmente, considera-se uma situac¸ ˜ao est ´atica, ou seja, onde a vari ´avel que deseja-se estimar se encontra em regime estacion ´ario e n ˜ao existe nenhuma excitac¸ ˜ao de entrada que possa alter ´a-la. Portanto, um modelo para a estimativa a priori ´e dado por:

ˆ

x−_k = ˆx+_k−1+ w_k (103)

no qual wk ´e considerado como sendo um ru´ıdo tamb ´em gaussiano, sem correlac¸ ˜ao

com o ru´ıdo de medic¸ ˜ao vk, que representa a incerteza do modelo. Vamos considerar

ainda um palpite sobre o valor verdadeiro x como sendo uma estimativa inicial ( ˆx−₀). A quest ˜ao que surge ´e: em qual valor deve-se colocar maior confianc¸a? A medic¸ ˜ao (zk) ou a estimativa ( ˆxk)? O qu ˜ao confi ´avel ´e essa estimativa e o qu ˜ao

confi ´avel ´e essa medic¸ ˜ao? Se a medic¸ ˜ao for mais confi ´avel, deve-se ponderar com mais peso o seu valor. Por ´em, se a estimativa for mais confi ´avel, devemos ponderar com mais peso o valor da estimativa. A confianc¸a da medic¸ ˜ao ´e dada pela vari ˆancia que o transdutor apresenta, ou seja, sua precis ˜ao. J ´a a confianc¸a da estimativa ´e dada pela vari ˆancia atribuida ao modelo matem ´atico utilizado para gerar a estimativa a priori, baseado nas leis f´ısicas que regem o processo. Assim a vari ˆancia da estimativa estar ´a diretamente relacionada com a precis ˜ao do modelo.

Portanto, faz-se necess ´ario uma ferramenta que, dada a confianc¸a da medic¸ ˜ao e a confianc¸a do modelo, consiga fazer uma ponderac¸ ˜ao e gerar a sa´ıda com a

melhor precis ˜ao diante das incertezas presentes. Se as medidas apresentarem uma vari ˆancia σ2

R, o modelo uma vari ˆancia σQ2 e as estimativas uma vari ˆancia σPk2. Pode-se

considerar uma relac¸ ˜ao direta entre σ_Q2 e σP2_k dada por:

σP2k+1= σP2k+ σQ2. (104)

Para gerar uma sa´ıda ponderada em func¸ ˜ao da confianc¸a da medic¸ ˜ao e do modelo ´e necess ´ario um “fator de ponderac¸ ˜ao” Kk tamb ´em conhecido como Ganho de Kalman,

dado pela equac¸ ˜ao (105):

K_k= σP

2 k

σP2_k+ σ_R2

, (105)

De tal forma que a estimativa final do processo considerado no instante a posteriori ´e: ˆ

x+_k = ˆx−_k + K_k(z_k− ˆx−_k), (106) no qual zk ´e a medic¸ ˜ao feita pelo transdutor. Note que a equac¸ ˜ao (106) ´e similar `a

equac¸ ˜ao (102). Para cada nova estimativa realizada, o filtro de Kalman “atualiza a sua confianc¸a” . Portanto existe uma etapa de atualizac¸ ˜ao a priori dada pela equac¸ ˜ao (104) e a posteriori dada pela equac¸ ˜ao (107).

σP2k+1= (1 − Kk)σP2k, (107)

Assim tem-se ao final, um conjunto de cinco equac¸ ˜oes que satisfazem a condic¸ ˜ao de ponderac¸ ˜ao em func¸ ˜ao da confianc¸a das informac¸ ˜oes.

Tabela 3: Equac¸ ˜oes para o filtro de Kalman Escalar

Equac¸ ˜ao (I) xˆ_k−= ˆx+_k−1 (II) σP2k+1= σP2_k+ σQ2 (III) K_k= σP2k σP2_k+σR2 (IV) xˆ+_k = ˆx_k−+ Kk(zk− ˆx−_k) (V) σP2_k+1= (1 − Kk)σP2_k

Note que caso tenha-se uma vari ˆancia para estimativa muito maior que para as medic¸ ˜oes (σ_P2>> σ_R2), pela equac¸ ˜ao (105), tem-se um “fator de ponderac¸ ˜ao” Kk

z_k. Caso contr ´ario, quando σ_R2>> σ_P2, tem-se Kkpr ´oximo a zero. Consequentemente, a

estimativa final se torna a pr ´opria estimativa a priori ( ˆx+_k = ˆx−_k). Na Figura 29 ´e ilustrado o “fator de ponderac¸ ˜ao” e sua relac¸ ˜ao com a medic¸ ˜ao e o modelo.

Figura 29: Fator de ponderac¸ ˜ao entre medic¸ ˜ao e modelo. Fonte: Autoria pr ´opria

Voltando para o caso do sistema de controle de temperatura do final da sec¸ ˜ao 5.1. Vamos supor que a temperatura verdadeira do processo seja de 70°C. Por ´em como as medic¸ ˜oes est ˜ao contaminadas por ru´ıdo, deve-se implementar um filtro de Kalman para estimar o valor verdadeiro. Considerando um palpite inicial de 100°C ( ˆx₀+= 100) e as vari ˆancias sendo σP2₀= 10, σ_R2= 5 e σ_Q2= 0.01. Note que como σ_R2> σ_Q2,

o filtro dar ´a mais confianc¸a para o modelo. Tem-se como resultado a Figura 30a. Observe que a sa´ıda do filtro converge para um valor pr ´oximo do verdadeiro.

Agora suponha que o modelo n ˜ao seja confi ´avel, ou seja, σ_Q2> σ_R2. Como por exemplo σ2

R = 5 e σQ2 = 10, o filtro nessa condic¸ ˜ao passa a dar mais confianc¸a nas

(a) σQ2< σR2. (b) σR2< σQ2.

Figura 30: Filtro de Kalman com diferentes ponderac¸ ˜oes na sa´ıda. Fonte: Autoria pr ´opria

Note que na sa´ıda do filtro de Kalman continua existindo um n´ıvel de ru´ıdo. Logo, da mesma forma que a medic¸ ˜ao e o modelo, a sa´ıda do filtro de Kalman tamb ´em pode ser caracterizado por uma FDP. Na Figura 31a temos a FDP do filtro de Kalman deslocada para o modelo caracterizando uma confianc¸a maior no modelo. J ´a na Figura 31b a FDP do filtro est ´a deslocada para a medida caracterizando uma maior confianc¸a na medic¸ ˜ao.

(a) FDP para o Filtro de Kalman confiando no modelo.

(b) FDP para o Filtro de Kalman confiando na medida.

Figura 31: FDP do Filtro de Kalman com diferentes confianc¸as. Fonte: Autoria pr ´opria

Note que a FDP do Filtro de Kalman (vermelho) apresenta uma confianc¸a maior que a medida (azul) e que do modelo (verde). E conforme as etapas de atualizac¸ ˜ao da confianc¸a v ˜ao evoluindo no tempo, a vari ˆancia do filtro de Kalman diminui, ou seja, sua precis ˜ao aumenta a cada nova iterac¸ ˜ao at ´e convergir para

o m´ınimo poss´ıvel. Tal caracter´ıstica pode ser observada analisando o tracejado vermelho que representa a FDP inicial do filtro.

´

E importante verificar o comportamento do filtro quando este n ˜ao recebe medidas do transdutor, por exemplo, quando h ´a perda de comunicac¸ ˜ao, o filtro continua atualizando sua confianc¸a, por ´em levando em considerac¸ ˜ao apenas a estimativa do modelo. Nesta situac¸ ˜ao a vari ˆancia do filtro tende a aumentar sem a chegada de novas medidas, ou melhor, a FDP da sa´ıda do filtro tende a ter sua base alargada e sua amplitude atenuada conforme pode ser observado na Figura 32, tornando-se assim mais vol ´atil. Essa caracter´ıstica proporciona maior robustez ao estimador, j ´a que mesmo na falta de medidas o filtro continua gerando estimativas baseadas no modelo.

Figura 32: Propagac¸ ˜ao da vari ˆancia do filtro de Kalman Fonte: Autoria Pr ´opria.

Os fatores apresentados s ˜ao as principais raz ˜oes para que o filtro de Kalman tenha se tornado uma das ferramentas de estimac¸ ˜ao mais utilizadas em processos estoc ´asticos em tempo real.

Nesta sec¸ ˜ao foi apresentado um caso particular do filtro de Kalman, onde o sistema ´e escalar e n ˜ao existe entrada. Na pr ´oxima sec¸ ˜ao ser ´a apresentado o filtro de Kalman discreto generalizado para sistemas din ˆamicos multivari ´aveis.