Les mod`eles en cycles font g´en´eralement intervenir les amplitudes et les valeurs moyennes en contrainte ou en d´eformation. Des m´ethodes de cumuls permettent de prendre en compte
ε D=0 D σ σ σ σ σ σ
FIGURE 13 – D´efinition de la contrainte effective et du principe de l’´equivalence en
d´eformation
les chargements non p´eriodiques. Toutefois, pour les chargements complexes, il est n´ecessaire de faire appel `a des m´ethodes de comptage de cycle. La plus utilis´ee est la m´ethode dite de la
≪goute d’eau≫(ou rain-flow) [Endo et al., 1974, Downing et Socie, 1982], discut´ee pour des chargements multi-axiaux par Banvillet [Banvillet, 2001].
Un exemple de mod`ele ´ecrit en contrainte est la loi de fatigue de Lemaitre et Chaboche [Lemaitre et Chaboche, 1974, Chaudonneret, 1993]. Cette loi couvre `a la fois les domaines de faible dur´ee de vie (Low Cycle Fatigue ou LCF) et les grandes dur´ees de vie (High Cycle Fatigue ou HCF). Elle vise `a prendre en compte les effets de contrainte moyenne, les effets de multiaxialit´e et poss`ede un crit`ere de limite de fatigue fonction de la contrainte moyenne. Elle rend compte d’un cumul lin´eaire ou non lin´eaire des dommages dans les cas de chargements complexes ou non p´eriodiques.
Dans ce mod`ele, l’endommagement est suppos´e isotrope donc d´ecrit par une variable sca-laire D variant de 0 (mat´eriau sain) `a 1 (pr´esence d’une macrofissure). Sur l’AM1, l’anisotropie mat´erielle a peu d’influence sur la dur´ee de vie en fatigue ce qui n’est pas le cas en fluage. Les mod`eles font donc appel `a une contrainte ´equivalente en fluage χc, donn´ee par un crit`ere de Hayhurst [Hayhurst, 1972] g´en´eralis´e aux mat´eriaux anisotropes :
χc= αhsup(σi) + βhtr(σ) + (1 − αh− βh)p
σ: Mc: σ (24) o`u Mcest un tenseur d’ordre 4, qui sous les conditions de sym´etrie cubique, poss`ede 3 coef-ficients ind´ependants. Les conditions de chargement des aubes de turbine et des ´eprouvettes ´etudi´ees consistant principalement en des chargements selon l’axe principal mat´eriau<001>, le terme √
σ: Mc: σ est simplifi´e en la contrainte ´equivalente de von Mises. αh et βh sont deux param`etres mat´eriau.
Pour d´ecrire l’endommagement li´e au chargement de fatigue, les mod`eles font appel `a trois contraintes ´equivalentes d´efinies au niveau du cycle : l’amplitude de cisaillement octa´edrique AII, la contrainte maximale principaleσMax
eq et la contrainte moyenneσH ´egale `a la moyenne de la trace du tenseur des contraintes au cours de chaque cycle. Pour la prise en compte des char-gements non isothermes, on utilise une contrainte r´eduite S ind´ependante de la temp´erature :
S= σ
σu(T ) (25)
Ainsi l’´evolution de la r´esistance `a la fatigue est traduite par l’´evolution, en fonction de la temp´erature, de la contrainte ultime en traction σu(T ). Cette hypoth`ese a ´et´e valid´e sur bon nombre de superalliages.
Deux lois de fatigue issues de cette approche ont ´et´e d´evelopp´ees `a l’ONERA, FatFlu et FatOxFlu. La premi`ere consid`ere une interaction fatigue-fluage et la seconde une interaction fatigue-fluage-oxydation.
Dans l’approche de l’endommagement ONERA, il est fait l’hypoth`ese de l’existence d’un cycle stabilis´e en contrainte. Ce cycle stabilis´e est atteint lorsque il n’y a plus d’´evolution du champ de contrainte par redistribution des contraintes locales et adoucissement ou durcisse-ment du comportedurcisse-ment par le chargedurcisse-ment cyclique impos´e. Les essais ou pi`eces simul´es par ce type de mod`ele ´etant g´en´eralement `a grand nombre de cycle (∼ 105 cycles), l’endomma-gement cumul´e sur les cycles non stabilis´es est souvent n´egligeable devant l’endommal’endomma-gement durant les cycles stabilis´es. Il est ainsi possible de n’appliquer le mod`ele d’endommagement que sur le cycle stabilis´e. Pour les essais `a plus faible nombre de cycle, la prise en compte des cycles de stabilisation peut ˆetre n´ecessaire. Toutefois, dans le cadre de cette ´etude, le mod`ele d’endommagement ne sera appliqu´e que sur le cycle stabilis´e.
3.3.1 Le mod`ele d’interaction fatigue-fluage FatFlu
Ce mod`ele consid`ere une interaction entre le dommage caus´e par le chargement de fatigue et celui caus´e par le fluage [Chaboche, 1974]. C’est ce mod`ele qui est actuellement utilis´e par le bureau d’´etude SNECMA pour le dimensionnement des aubes de turbine. Le dommage est donn´e par une loi globale faisant intervenir deux fonctions fcet fF, traduisant respectivement les endommagements li´es au chargement de fluage et `a celui de fatigue :
dD= fc(Xc, D) dt + fF
$
AII, σH, σMaxeq , D
dN (26)
En plus des contraintes ´equivalentes d´efinies pr´ec´edemment, ce mod`ele fait intervenir une contrainte retard´ee Xc. En effet, il a ´et´e mis en ´evidence un effet de la fr´equence de chargement en fatigue sur l’endommagement li´e au fluage [Lesne et Savalle, 1987]. Ainsi, plus la fr´equence du chargement en fatigue augmente et plus la contrainte li´ee `a l’endommagement de fluage se rapproche de la contrainte moyenne du cycle. Par exemple, pour un chargement altern´e `a tr`es haute fr´equence (>50Hz), la contrainte retard´ee Xc li´ee `a l’endommagement de fluage est nulle. Cette contrainte retard´ee Xcest donn´ee par une ´equation diff´erentielle :
dXc dt =(χ c − Xc) τc (27) o`u τc est une constante de temps caract´eristique du mat´eriau. La fonction fc est donn´ee par une loi de type Rabotnov-Kachanov :
fc= Xc(χc) A(T ) r(T ) [1 − D]−k (28)
avec A et r, deux param`etres mat´eriau d´ependants de la temp´erature et k un troisi`eme param`etre mat´eriau g´en´eralement consid´er´e ind´ependant de la temp´erature. Le dommage li´e `a la fatigue est lui donn´e par :
fF =h 1− (1 − D)β+1iα AII M(σH) · (1 − D) β (29) avec α = 1 − a * AII− σl(σH) σu− σMax eq + (30) β et a sont des param`etres mat´eriau et les quantit´es M (σH) et σl(σH), d´ependantes de la pression hydrostatique, sont donn´ees par :
σl(σH) = σl0× (1 − 3hl× σH) et M(σH) = M0× (1 − 3hM× σH) (31) o`uσl0 est la limite de fatigue en altern´e et hl, M0 et hM des param`etres. La fonctionα permet de traduire les effets de cumul non lin´eaire des dommages de fatigue. On remarquera que dans le cas o`u l’amplitude de contrainte AII est au-dessous de la limite de fatigue σl(σH), alors α = 1. Dans le cas d’un pr´e-endommagement, par exemple avec quelques cycles au-dessus de la limite de fatigue, alors il y a tout de mˆeme un cumul du dommage, et il n’y a plus de notion de limite de fatigue. On parle ainsi de limite de fatigue ´evanescente.
Par ailleurs, on notera que si σMax
eq > σu, alors la dur´ee de vie est de un cycle, ce qui correspond `a la rupture en monotone. Enfin, si σH > 3h1
M, alors M(σH) devient n´egatif et la dur´ee de vie est ´egalement de un cycle (rupture en monotone). Cela peut notamment se produire lors de chargements ´equi-biaxiaux. Pour une utilisation en anisotherme, le tenseur des contraintes norm´ee S (donn´ee par l’ ´Equation (25)) est utilis´ee en lieu et place du tenseur des contraintes σ. Pour prendre en compte les chargements complexes, le cumul du dommage est r´ealis´e cycle par cycle apr`es l’´etape de comptage de cycle.
Ce mod`ele comprend en tout 13 coefficients, dont 3 d´ependants de la temp´erature. Il a ´et´e identifi´e sur des essais sur ´eprouvettes en AM1 minces non revˆetues sur une plage de temp´erature de 20 `a 1200◦C. C’est ce mod`ele qui sera utilis´e durant les simulations m´ecaniques du Chapitre 4, de mani`ere `a ´etudier, la chaˆıne de pr´evision de dur´ee de vie utilis´e par SNECMA. 3.3.2 Le mod`ele d’interaction Fatigue-Fluage-Oxydation FatOxFlu
Ce mod`ele fait l’hypoth`ese que la phase d’amorc¸age d’une macro-fissure peut se scinder en deux phases : un micro-amorc¸age suivi de la micro-propagation d’une fissure microscopique. Notamment, Gallerneau [Gallerneau, 1995] a exp´erimentalement mis en ´evidence ces deux ph´enom`enes lors d’essais de fatigue sur ´eprouvettes ayant un revˆetement anti-oxydation C1A (type MCrAlY). Cette approche a ensuite ´et´e ´etendue aux pi`eces comprenant un revˆetement
anti-oxydation NiAlPt (servant ´egalement de sous-couche d’accroche aux barri`eres thermiques) ainsi qu’aux pi`eces non revˆetues [Gallerneau et al., 2008]. Le amorc¸age et la micro-propagation sont prises en compte par deux phases d’endommagement successives. Deux va-riables d’endommagement scalaires sont donc introduites :
1. DApour la phase de micro-amorc¸age caract´eris´ee par une interaction entre les m´ecanismes de fatigue et d’oxydation en pointe de fissure. Cette variable repr´esente une densit´e de fissures en surface.
2. DPpour la phase de micro-propagation o`u intervient une interaction entre les m´ecanismes de fatigue et de fluage. Ici la variable d’endommagement repr´esente un indicateur de la profondeur de la fissure dans le substrat.
FIGURE 14 – Photographie illustrant les deux m´ecanismes de micro-fissuration de l’AM1
revˆetu d’apr`es [Gallerneau, 1995]
La phase de micro-amorc¸age est d´ecrite par un mod`ele de fatigue proche de celui utilis´e dans le mod`ele FatFlu. Il y est cependant introduit, un dommage Dox li´e `a l’oxydation afin de prendre en compte l’interaction entre les deux types d’endommagements.
dDA= 1 C * AII− σA l (σH) (1 − Dox) σu(1 − Dox) − σMax eq +b dN (32) avec dDox= 1 2 Dox K∗ e0 2" 1+ Xox(χox) − σox l (σH) B∗ #2m dt (33) `
A l’instar du mod`ele FatFlu, les limites de fatigue σA
l (σH) et σoxl (σH) correspondent `a une contrainte effective donn´ee par une relation du type de l’ ´Equation (31). Ce mod`ele fait ´egalement intervenir une contrainte d’oxydation retard´ee Xox, donn´ee par l’ ´Equation (27) avec son temps caract´eristique τox. La contrainteχox est ´egalement donn´ee par un crit`ere de Hay-hurst ( ´Equation 24). Par ailleurs, b, B∗, m, e0sont des param`etres mat´eriau. La vitesse d’oxy-dation est donn´ee par la loi d’Arrh´enius avec Q et k0deux param`etres et RGPla constante des gaz parfaits : K∗= k0exp −RGPQT(t)