Le champ de formes ˜Ω étant arbitraire, on en déduit la signification géométrique du tenseur de Riemann :
δ ~V = −∆t ∆s R( ~T , ~S)~V + O(3)
δ ~V = −∆t ∆s R (·, ~V , ~T , ~S) + O(3). (5.114) Remarquons que ~VP k→P1→P2→P3→P →P3→P2 = ~VP k→P1→P2. Or, le membre de gauche n’est autre que V + δ ~~ V
P k→P3→P2 = ~VP k→P3→P2 + δ ~VP k→P3→P2. Mais δ ~VP k→P3→P2 µ = δVµ+ O(3).
Par conséquent, les composantes δVµ représentent également la différence entre les com-
posantes du vecteur ~V transporté parallèlement de P en P2 le long du circuit P P1P2 et
celles du vecteur ~V transporté parallèlement de P en P2 le long du circuit P P3P2.
5.18
Les espaces euclidiens
Une variété différentielle Vn, dotée d’une structure affine, est qualifiée d’euclidienne si
le tenseur de Riemann-Christoffel s’y annule.
Théorème 5.8 Dans une variété euclidienne simplement connexe le parallélisme est glo- bal, autrement dit, le résultat du transport parallèle est indépendant du chemin utilisé.
Démonstration. Dans un ouvert simplement connexe, deux courbes d’extrémités identiques peuvent être appliquées l’une sur l’autre par une transformation continue (homotopie). Pour démontrer le théorème, il suffit donc de s’assurer que le transport parallèle d’un vecteur le long de deux chemins C1 et C2 arbitrairement proches et de mêmes extrémités
A et B, fournit des résultats identiques (figure 5.5).
Figure 5.5: Transport parallèle d’un vecteur le long de deux courbes voisines C1 et C2 de mêmes extrémités A et B.
Appelons ~V1 le vecteur obtenu par transport parallèle, en suivant C1, de ~VA depuis A
jusqu’à P1 infiniment proche de A. De même, ~V2 résulte du transport parallèle, en suivant
C2, de ~VAdepuis A jusqu’à P2 infiniment proche de A. En vertu de l’annulation du tenseur
de Riemann il y a parallélisme local et, par conséquent, le résultat du transport parallèle de ~V1 le long du segment infinitésimal P1P2 n’est autre que ~V2.
On procède ainsi de proche en proche en découpant en petits quadrilatères P′
1P1P2P2′
l’espace compris entre les deux courbes : si ~V1′ est le vecteur obtenu par transport parallèle de ~V1 le long du segment infinitésimal P1P1′ et si ~V2′ est obtenu par transport parallèle de
~
V2 le long du segment infinitésimal P2P2′, alors ~V2′ résulte du transport parallèle de ~V1′ le
long du segment infinitésimal P′ 1P2′.
Les vecteurs respectivement transportés le long de C1 et C2 restent donc « connectés »
l’un à l’autre, même loin de A, par transport parallèle le long d’un segment infinitésimal qui, finalement, se réduit à un point en B ; ce qui signifie que le vecteur ~VB obtenu en B
est unique.
✷ Lemme 5.2 (Frobenius) Dans Vn simplement connexe, un ensemble de n champs de
vecteurs linéairement indépendants {~eµ} constitue une base naturelle relative à un système
de coordonnées {xµ}, autrement dit on peut écrire ~e
µ= ∂/∂xµ, si et seulement si [~eµ, ~eν] =
0 ∀ µ, ν = 1, . . . , n.
Démonstration. La condition nécessaire est évidente. Pour justifier la réciproque, considé- rons une base naturelle de vecteurs ~eα = ∂/∂xα et rapportons-y les champs vectoriels :
~eµ= Λαµ~eα.
Procédons de même avec les champs de formes duales : ˜
ων = Ψνβ ω˜β. Donc, par construction, D
˜
ων, ~eµE= ΨναΛαµ= δνµ. (5.115) Cela étant, d’après l’hypothèse, on a
D
˜
ωξ, [~eµ, ~eν]E= 0 pour tout ξ, µ, ν. Développons cette relation :
0 = DΨξγ ω˜γ, [Λαµ~eα, Λβν~eβ] E = * Ψξγ ω˜γ, ΛαµΛβν[~eα, ~eβ] + Λαµ ∂Λβν ∂xα ~eβ− Λ β ν ∂Λαµ ∂xβ ~eα + = 0 + ΨξβΛαµ∂Λ β ν ∂xα − Ψ ξ αΛβν ∂Λαµ ∂xβ.
Vu la relation (5.115), ce résultat peut s’écrire sous la forme 0 = −∂Ψ ξ β ∂xα Λ α µΛβν + ∂Ψξα ∂xβ Λ β νΛαµ = ΛαµΛβν ∂Ψξα ∂xβ − ∂Ψξβ ∂xα .
5.19 Equation de déviation géodésique 111 Il en résulte ∂Ψξ α ∂xβ = ∂Ψξβ ∂xα ∀ ξ, α, β. (5.116)
D’après la théorie de la primitivation dans un espace à n dimensions simplement connexe, les conditions (5.116) prouvent l’existence de n fonctions xξ(~x) telles que
Ψξα = ∂x ξ ∂xα. (5.117) On en déduit ˜ ων = ∂x ν ∂xβ ω˜ β = ˜dxν et ~e µ= ∂xα ∂xµ ~eα = ∂ ∂xµ, (5.118)
ce qu’il fallait démontrer. ✷
Théorème 5.9 Une variété Vn simplement connexe est euclidienne si et seulement si on
peut y définir des coordonnées où s’annulent tous les symboles de connexion affine. Démonstration. La condition suffisante est triviale puisque l’annulation des symboles de connexion implique celle du tenseur de courbure.
Passons à la condition nécessaire. Remarquons d’abord que le transport parallèle pré- serve l’indépendance linéaire des vecteurs. Il permet donc de propager une base {~eµ} sur
Vn à partir de la donnée de n vecteurs linéairement indépendants en un point initial. La relation
∇~eβ~eα = 0 (5.119)
engendre ainsi une base en tout point de la variété affine. La cohérence de la démarche (univocité du résultat) est garantie par le fait que le parallélisme est global dans Vn, vu le
théorème 5.8. De plus,
[~eα, ~eβ] = ∇~eα~eβ− ∇~eβ~eα
= 0 − 0,
ce qui assure, en raison du lemme5.2, que l’on détermine bien, de cette manière, un système de coordonnées. Comme ∇~eβ~eα= Γ γ αβ~eγ, on a donc, en vertu de (5.119), Γγαβ(P ) = 0 en tout point P de Vn.11 ✷
5.19
Equation de déviation géodésique
Sur une variété affine, soit une courbe C(s) interceptant un champ de géodésiques γs(t)
de vecteur tangent ~Ts(t), où t est un paramètre affine tel que t = 0 sur C(s). Considérons
les courbes C′(s), C′′(s) etc., reliant les points des géodésiques γ
s(t) correspondant à des
t identiques. On détermine ainsi une surface dotée de lignes de coordonnées {t, s}, de vecteurs tangents respectifs ~T = ∂/∂t et ~S = ∂/∂s (figure 5.6).
11. Si la variété et la connexion sont riemanniennes, il en résulte la constance du tenseur métrique qui, au demeurant, peut être ramené à une forme canonique. Par exemple, en relativité générale
γ
s(t)
γ
s+∆s(t)
t = t
1t = t
2t = t
3∆s~S(t
1)
∆s~S(t
2)
∆s~S(t
3)
Figure 5.6: Evolution de l’écart ∆s ~S(t) entre deux géodésiques voisines γs(t) et γs+∆s(t).
Au premier ordre, ∆s ~S(t) est le vecteur reliant le point γs(t) au point γs+∆s(t). Le
tenseur de Riemann permet d’exprimer simplement son « accélération », c’est-à-dire la dérivée covariante deuxième de ∆s ~S par rapport au vecteur ~T tangent aux géodésiques :
~a = ∇T~∇T~(∆s ~S).
Dans un espace euclidien, il est facile de démontrer la constance de la « vitesse » de ∆s ~S, c’est-à-dire de la quantité
~
V = ∇T~(∆s ~S)
(le théorème de Thalès en constitue une application particulière). En d’autres termes, on peut d’ores et déjà prédire que l’accélération géodésique est nulle dans un espace euclidien.
Pour une variété affine quelconque on a, ∆s étant constant : ~a = ∆s ∇T~∇T~S~
= ∆s ∇T~∇S~T~
en vertu de (5.93) et du fait que [ ~T , ~S] = 0. Compte tenu des définitions (5.100) et (5.95), il s’ensuit
~a = ∆s ∇S~∇T~T + ∆s R (·, ~~ T , ~T , ~S).
Or, le premier terme est nul puisque les courbes γs(t) sont géodésiques. Il vient donc
~a = ∆s R (·, ~T , ~T , ~S). (5.120) Si la variété est riemannienne et que t désigne la longueur d’arc, on a ~T · ~T = ±1. Le produit scalaire ~T · ~S est alors constant le long des géodésiques. En effet,
dT · ~~ S dt = ∇T~ ~ T · ~S= ~T · ∇T~S = ~~ T · ∇S~T =~ 1 2∇S~ ~ T · ~T= 0.
Par conséquent, si la déviation ~S est orthogonale à ~T en t = 0, alors cette propriété subsiste ∀ t. Ainsi, la composante parallèle à ~T d’une déviation ne joue pas de rôle fondamental. C’est la raison pour laquelle, en général, on la suppose nulle.