Fluide de particules chargées de type « poussière »

Dans un référentiel localement comobile avec cette poussière, appelons µ0 la masse

volumique du fluide, ρ0 sa charge électrique volumique, n0 le nombre de particules par

unité de volume, m0 la masse au repos de chaque particule et q la charge électrique de

chaque particule. Remarquons que µ0/m0 = ρ0/q = n0. Ces poussières sont supposées sans

interaction mutuelle : leur énergie d’interaction, précisément, est logée dans le champ. Soit T(p)µν _{= µ}

0UµUν = n0m0UµUν le tenseur d’énergie-impulsion du fluide en

question (on peut considérer que l’on a autant de fluides que de rapports différents q/m0).

On a

T(p)µ_ν,µ = ηνξT(p)µξ_,µ

= ηνξm0(n0UµUξ),µ

= η_νξm0(n0Uµ),µUξ+ ηνξm0n0Uµ(Uξ),µ.

Or, l’équation de continuité (A.5) entraîne

(n0Uµ),µ= 0,

exprimant la conservation du nombre de particules. Par conséquent, T(p)µ_ν,µ = ηνξm0n0Uµ(Uξ),µ = ηνξm0n0 dxµ dτ ∂Uξ ∂xµ = ηνξm0n0 dUξ dτ . D’autre part, l’équation de mouvement (A.6)-(A.7) donne

ηνξm0

dUξ

dτ = q FνλU

Puisque ρ0/q = n0, on peut l’écrire sous la forme continue ηνξm0n0 dUξ dτ = ρ0FνλU λ = Fνλjλ. Par suite, T(p)µ_ν,µ= Fνλjλ. (6.35)

En conclusion, des équations (6.31) et (6.35) il découle

T(ch)µ_ν,µ+ T(p)µ_ν,µ= 0 (6.36)

qui exprime la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement totales (champ + particules).

Chapitre 7

Les équations d’Einstein

7.1

Retour sur le principe d’équivalence

La question se pose de trouver les principes permettant de conduire à l’écriture des lois de la physique en présence d’un champ de gravitation.1

Dans son acception forte, le principe d’équivalence s’exprime comme suit : il est toujours possible de trouver un référentiel tel que, dans une région suffisamment petite de l’espace- temps, les lois de la physique soient celles de la relativité restreinte. En d’autres mots, même en présence d’un champ de gravitation on peut trouver un système de coordonnées locales dans lequel ces lois sont celles de l’espace-temps euclidien.

L’utilisation d’un espace-temps non euclidien pour décrire l’interaction gravitationnelle, déjà annoncée dans le chapitre 2, s’avère cependant tout à fait compatible avec ce principe et même, suggérée par lui. En effet, en n’importe quel point donné d’une variété rieman- nienne il est toujours possible de trouver un système de coordonnées où s’annulent tous les symboles de Christoffel (voir les coordonnées normales de Riemann dans l’annexe B). On dispose donc de la latitude d’annuler localement les dérivées premières du tenseur métrique. De plus, on peut toujours s’arranger pour réduire ses composantes à la forme canonique diag (−1, 1, 1, 1) de la relativité restreinte si l’on impose une métrique lorentzienne de signature (− + + +). Or, comme on l’a noté dans les chapitres 2 et 3, il paraît fondé d’attribuer au tenseur métrique la signification de potentiels gravitationnels. Les effets du champ gravifique peuvent donc toujours être annulés, jusqu’au premier ordre de dérivation inclus, par une transformation de coordonnées, c’est-à-dire, en langage physique, par un changement de référentiel. Ainsi, de même qu’un champ gravitationnel inhomogène peut être annulé mais seulement localement, un espace courbe peut localement être assimilé à son espace tangent, euclidien mais différent en chaque point.

Bien entendu, ces réflexions n’ont pas valeur de démonstration : elles reflètent l’harmo- nie des rapports qu’entretiennent le principe d’équivalence et la notion de variété rieman- nienne, mais il n’existe pas d’argument pour prouver que l’espace-temps de Minkowski doit nécessairement être remplacé par un espace courbe. Si on l’admet cependant, force est de constater que l’on ne peut pas mieux « simuler » la relativité restreinte en un point, qu’à

1. Voir également

S.M. Carroll, Lecture Notes on General Relativity, http://preposterousuniverse.com/grnotes/, 1997, chap. 4 ;

M. Beuthe, La quête d’une nouvelle théorie de la gravitation, dans initiation à la cosmologie, J.-M. Liétard et L. Willems éditeurs, Bruxelles, 1998, paragraphes 1.5, 1.6 et 2.1 ;

travers l’utilisation des coordonnées normales de Riemann.

Dès lors, dans ces coordonnées les équations de la physique doivent être exactement celles de la relativité restreinte. Par exemple, les équations de Maxwell (A.4) demeurent inchangées. Le principe d’équivalence y proscrit l’intervention de termes géométriques re- latifs à la courbure, comme le tenseur de Riemann-Christoffel et ses dérivés, et interdit des formulations du genre

(Fµν+ α Rµν)_,ν = µ0jµ

si la constante α diffère de zéro.

D’une façon générale, considérons une équation E de la relativité restreinte, tensorielle pour le groupe de Lorentz. Dans le système des coordonnées normales de Riemann, tous les symboles de Christoffel sont nuls et donc, les dérivées partielles ordinaires sont identiques à des dérivées covariantes. Pour obtenir l’équation tensorielle valide dans n’importe quel système de coordonnées et se réduisant à E dans les coordonnées normales, il suffit donc (du moins pour les équations du premier ordre) de remplacer dans E les dérivées ordinaires par des dérivées covariantes.

Ainsi conçu dans le cadre d’un espace-temps courbe, le principe d’équivalence assure une transition très naturelle entre le principe de covariance restreinte (aux transformations de Lorentz) et un principe de covariance générale, en fournissant une règle simple permettant d’écrire les lois de la physique en présence d’un champ de gravitation : ce sont les équations de la relativité restreinte en coordonnées générales. Par exemple, en relativité générale la loi (6.10) de conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement prend la forme

Tµν_;ν = 0. (7.1)

Dans le jargon des habitués, on parle de la « règle de passage de la virgule au point-virgule ». Pour cette raison, le tenseur métrique doit satisfaire les conditions gµν;ξ = 0. La

connexion est donc riemannienne et le lien (5.76) vérifié entre les symboles de Christoffel et la métrique, comme la cohérence du raisonnement l’exigeait.

L’équation de mouvement d’une particule ponctuelle soumise uniquement à son inertie et à la gravitation constitue une autre application importante de cette règle. En relativité restreinte, une particule libre se meut le long d’une droite, c’est-à-dire une géodésique de l’espace-temps de Minkowski :

d2xµ dτ2 = 0

où τ est le temps propre. Cette équation peut s’écrire en fonction du quadrivecteur vitesse de composantes Uµ_{= dx}µ_{/dτ , sous la forme}

0 = dU

µ

dτ = U

α ∂Uµ

∂xα,

soit, de façon covariante :

Uα_∇αU~ µ = 0 ou encore Uα  ∂Uµ ∂xα + Γ µ αβUβ  = 0 d2xµ dτ2 + Γ µ αβ dxα dτ dxβ dτ = 0. (7.2)

Telle est l’équation de mouvement d’une particule en relativité générale. La trajectoire demeure géodésique, mais cette fois sur la variété riemannienne.

7.2 « Die Lochbetrachtung » 141

7.2

« Die Lochbetrachtung »

Le principe de covariance générale est la formulation mathématique de la requête d’équivalence formelle de tous les référentiels. Il demande que les lois de la physique soient tensorielles pour le groupe des transformations quelconques de coordonnées.

Nous avons montré comment le principe d’équivalence permettait de souscrire à cette exigence en ce qui concerne les lois issues de la relativité restreinte. Il reste à trouver une formulation totalement covariante pour l’équation relativiste du champ de gravitation lui-même, généralisant l’équation de Poisson de la théorie newtonienne :

∇2Φ = 4πGµ,

où Φ est le potentiel gravitationnel et µ la masse volumique.

D’après le chapitre6, l’être géométrique le plus simple faisant intervenir µ est un tenseur d’ordre deux, le tenseur d’énergie-impulsion T. D’autre part, dans l’esprit de la relativité générale c’est le tenseur métrique g qui doit assurer le rôle de Φ. Dès 1912 Einstein avait bien intégré ces divers aspects du problème. Il sollicita alors la collaboration de son ami mathématicien Marcel Grossmann, afin de trouver des équations du type

G(g) = κ T (7.3)

où G est un tenseur d’ordre deux, fonction du tenseur métrique (et probablement de ses dérivées jusqu’à l’ordre deux, comme dans l’équation de Poisson), et κ une constante de couplage entre la géométrie et la matière.

Cependant, les auteurs se convainquirent bientôt que leur projet était voué à l’échec, au terme d’un raisonnement assez subtil qu’ils appelèrent « Lochbetrachtung », c’est-à-dire « l’argument du trou ». Nous allons l’exposer car il permet de mieux comprendre les enjeux mathématiques et épistémologiques d’une théorie covariante de la gravitation.

Supposons que le tenseur d’énergie-impulsion s’annule dans une certaine région L de l’espace-temps (c’est le « trou »). A ces sources Tµν(~x) correspond une solution gµν(~x)

des équations du champ. Choisissons alors de nouvelles coordonnées ~x, définies par le difféomorphisme (passif)

~x = ~f (~x) (7.4)

et telles que ~x 6= ~x dans L et ~x = ~x hors de L.2

(A l’intérieur de L, le domaine de variation de ~x est identique à celui de ~x.) On a

T_µν(~x) = ∂f α ∂xµ ∂fβ ∂xν Tαβ h ~ f (~x)i. (7.5) A l’intérieur du trou les coordonnées changent mais Tαβ(~x) = 0 ; et à l’extérieur où

Tαβ(~x) 6= 0, les coordonnées ne sont pas modifiées. Les relations (7.5) imposent donc

T_µν(~x) = Tµν(~x) partout. (7.6)

Si l’on postule des équations tensorielles du type (7.3), à T_µν(~x) correspond la solution g µν(~x) = ∂fα ∂xµ ∂fβ ∂xν gαβ h ~ f (~x)i (7.7)

2. Pour simplifier, on supposera que la fonction ~f détermine un difféomorphisme de classe C∞_{, c’est-}

tandis qu’à Tµν(~x) correspond la solution gµν(~x). Or, à l’intérieur du trou, le domaine de

variation de ~x est le même que celui de ~x. Si nous rebaptisons ~x en ~x dans les équations (7.6) et (7.7), nous pouvons donc affirmer qu’aux sources Tµν(~x) = Tµν(~x) correspond, en

plus de la solution gµν(~x), la solution

gµν(~x) hors de L g_µν(~x) = ∂f α_(~x) ∂xµ ∂fβ(~x) ∂xν gαβ h ~ f (~x)i_{6= g}µν(~x) dans L. (7.8)

Enfin, on peut s’arranger pour que le trou occupe un domaine de l’espace-temps situé tout entier dans le futur d’une hypersurface spatiale t = 0 contenant les conditions initiales pour le tenseur métrique. La conclusion est implacable : on a découvert deux solutions différentes pour une même distribution de sources et des conditions initiales identiques. La causalité est violée ! Ainsi, l’hypothèse d’équations tensorielles pour le groupe des transformations quelconques des coordonnées semble conduire à une absurdité.

Pourtant, ce raisonnement est parfaitement correct d’un point de vue mathématique. Mais il faut réviser son interprétation. L’élément fondamental de la théorie des variétés différentielles est le concept de point. Ce dernier jouit d’une existence autonome et on peut lui attribuer des coordonnées par le biais de tel ou tel homéomorphisme local avec IRn_{. Il est}

dès lors tentant de supposer que la notion de point mathématique traduit sans ambiguïté celle d’événement physique. La démarche de la relativité générale consisterait alors en ceci : étant donné un point-événement (« là »), on lui attribue des coordonnées et, ensuite, on résout des équations pour connaître la valeur du tenseur métrique dans le système de coordonnées choisi en ce point. Si cette analyse était correcte, alors effectivement l’argument du trou révèlerait une absurdité : en tel événement (« là »), des équations généralement covariantes autoriseraient deux solutions différentes.

Il apparaît cependant que cette lecture est erronée. Les coordonnées seules n’ont aucun sens physique, on ne peut associer un point mathématique univoque à un événement phy- sique donné. Certes, résoudre des équations généralement covariantes consiste à trouver une solution gµν(~x) ; mais les coordonnées ~x ne sont pas données a priori, elles font partie

intégrante de la solution. C’est la métrique qui confère un sens physique aux points de la variété. Arthur Eddington a résumé la situation en une formule choc : « Space is not a lot of points close together, it is a lot of distances interlocked ».

Tâchons de préciser cette explication en inspectant l’élément de longueur dans L. Le lien entre les deux solutions g_µν(~x) et gµν(~x) y apparaît clairement :

ds2 = g_µν(~x) dxµdxν = ∂f α_(~x) ∂xµ ∂fβ_(~x) ∂xν gαβ h ~ f (~x)idxµdxν = gαβ h ~ f (~x)idfα(~x) dfβ(~x) . (7.9) Considérons alors le difféomorphisme (7.4), non plus comme un changement passif de co- ordonnées, mais comme une transformation active appliquant L sur lui-même.3 _{Le point}

de coordonnées ~x, associé à la solution g_µν(~x), est appliqué sur le point de coordonnées ~

f (~x) associé à la solution gµν(~x). Ils constituent le même événement physique car, d’une

3. Voir par exemple la section 4.1 de l’article de M. Gaul et C. Rovelli, Loop Quantum Gravity and the Meaning of Diffeomorphism Invariance, ArXiv : gr-qc/9910079v2, 20 décembre 1999.

7.2 « Die Lochbetrachtung » 143

part, les seuls éléments de réalité physique sont les coïncidences spatio-temporelles (l’in- tersection des lignes d’univers de deux particules), et celles-ci sont bien préservées par le difféomorphisme ; et, d’autre part, les ds2 _{sont identiques (figure 7.1).}

L, g

µν

(~x)

~x

d~x

L, gµν

(~x)

~

f (~x)

d ~f (~x)

~

f

~

f

Figure 7.1: Le difféomorphisme ~_{f applique le trou L sur lui-même en préservant le ds}2_{, ainsi} que le montrent les équations (7.9). On dit que l’espace-temps de gauche est isométriquement équivalent à celui de droite. Ils décrivent tous les deux le même champ de gravitation mais l’expression mathématique de la métrique n’est pas univoque. La relativité générale est une théorie de jauge : étant donné une distribution de sources et les conditions initiales, des équations tensorielles admettent plusieurs solutions différentes mathématiquement mais physiquement équivalentes. Cette particularité de la théorie sera étudiée plus amplement dans le cadre de l’approximation des champs faibles (section7.6).

Il faudra attendre le dernier trimestre de 1915 pour qu’Einstein réalise son erreur. La voie était à nouveau libre pour la recherche d’une théorie covariante de la gravitation : un mois plus tard, il obtenait les équations du champ. Dans un texte de vulgarisation écrit des années plus tard, il a jugé opportun d’insister sur la signification profonde de la métrique et l’immense fossé conceptuel qui sépare la relativité restreinte de la relativité générale :4

« Si l’on suppose le champ de gravitation, c’est-à-dire les gik, éliminé, il ne reste pas un

espace du type [Minkowski], mais absolument rien, pas même un « espace topologique » [...] Un espace vide, c’est-à-dire un espace sans champ n’existe pas. »

Citons enfin un excellent commentaire de John Stachel :

« Even relativists have not yet fully adopted the point of view, “no metric, no nothing”. If you look at the way the general theory of relativity is formulated mathematically in even the most careful treatises, for example, you see this clearly. They start out by introducing a global manifold (the points of which are usually identified forthwith with events [...]), and then put such structures on this manifold as the metric tensor field. Is that the way that any 4. A. Einstein, La relativité et le problème de l’espace (1953), dans La relativité, traduit de l’allemand par M. Solovine, Gauthier-Villars, 1998, pp. 177-178.

one of us actually goes about solving the field equations of general relativity ? Of course not. One first solves them on a generic patch, and then one tries to maximally extend the local solution (using some criteria for acceptable extensions) from that patch to a global manifold, which is not known ahead of time. Before solving the field equations, one generally doesn’t know the global manifold on which the solution will turn out to be maximally extended. So we are pulling a swindle when we tell students, as our definitions imply, that you first pick the manifold and then solve the field equations on it. »5