Les distributions attendues du produit impulsion-DCA

Avant de s’int´eresser `a la distribution du produit impulsion-DCA directement, ´etu- dions la distribution des deux composantes p · Dx et p · Dy, o`u Dx et Dy sont les

composantes du DCA selon les axes x et y respectivement. Consid´erons ´egalement < Dx > et < Dy > les valeurs moyennes des composantes du DCA selon les axes x et

y. Notre hypoth`ese est que les distributions p · (Di− < Di >) (avec i ´egal x ou y) des

muons primaires sont gaussiennes, centr´ees en 0 et de largeur σi [91]. La d´efinition de

l’impulsion utilis´ee dans cette formule doit cependant ˆetre modifi´ee. En effet, un muon va perdre une partie de son ´energie dans l’absorbeur. De part la courbure d’une trace, il est possible de lui associer une impulsion. Cette impulsion sera par d´efinition l’im- pulsion du muon apr`es avoir travers´e l’absorbeur, paf ter. En fonction de cette impulsion

et des mat´eriaux travers´es par le muon, il est possible d’estimer son impulsion avant de traverser l’absorbeur pbef ore. Cette derni`ere ´etant l’impulsion du muon au moment

de sa production, c’est celle utilis´ee lors des analyses physiques. Cela implique que cette impulsion est ´egalement d´ependante du mod`ele utilis´e pour l’estimer. Dans cette ´etude, l’impulsion nous int´eressant ´etant celle du muon lorsqu’il traverse l’absorbeur, on choisit de prendre la moyenne de pbef ore et paf ter. Puisque cette ´etude sera faite

en fonction de l’impulsion, il est possible de faire une approximation, et ainsi d’´etu- dier les distributions p · Di directement. En effet, on peut alors consid´erer que cette

distribution est gaussienne, centr´ees `a la valeur moyenne du produit impulsion-DCA < p · Di >. On s’attend `a ce que cette valeur moyenne change lorsque l’impulsion des

muons augemente. La largeur attendue de cette distribution la largeur σi introuduite

pr´ec´edemment. On s’attend alors `a avoir les deux distributions suivantes :

Axexp  −(p · Dx− < p · Dx >) 2 2σ2 x  Ayexp  −(p · Dy− < p · Dy >) 2 2σ2 y 

Avec les Ai deux constantes de normalisation, d´ependantes du nombre d’´ev´enements.

Certains des param`etres de ces distributions peuvent ˆetre simplifi´es. En effet, l’absor- beur poss´edant une sym´etrie cylindrique dans le plan xy, on s’attend donc `a ce que les largeurs de chaque distribution soient ´egales :

σx = σy = σ

Les valeurs de < p · Di > sont ´evidemment fonction de l’impulsion. En revanche, on

s’attend `a ce que les grandeurs < p · Di > / < p > (< p > ´etant l’impulsion moyenne

des muons dans l’intervalle en impulsion consid´er´e) ne d´ependent pas de l’impulsion. De plus, en faisant l’hypoth`ese que l’impulsion et le DCA sont ind´ependants, ces gran- deurs sont alors ´egales `a < Di >. Il est possible de pr´edire une valeur pour les grandeurs

< Di >. En effet, les particules sont produites autour du vertex sans direction privi-

l´egi´ee. Les valeurs attendues sont donc < Dx >= xvertex et < Dy >= yvertex. Cette

consid´eration ne prend cependant pas en compte l’alignement des chambres de tra- jectographie par rapport au reste d’ALICE. En effet, l’algorithme de reconstruction des traces utilise surtout l’alignement interne au spectrom`etre, c’est-`a-dire la position relative des chambres les unes par rapport aux autres. En revanche, le DCA d´epend de la position des chambres par rapport au r´ef´erentiel absolu d’ALICE. La mesure des Di

va donc permettre d’avoir une estimation de cet alignement.

A partir des distributions en p · Di, on peut estimer la forme de la distribution

impulsion-DCA. La forme de la distribution (p · D)2 _{= (p · D}

x)2 + (p · Dy)2 elle-mˆeme

est d´erivable de celle des distributions p·Dx et p·Dy. Commen¸cons par les changements

de variable suivant :

x = p · Dx− < p · Dx >

y = p · Dy− < p · Dy >

La probabilit´e de que ces variables aient une valeur x ou y `a dx ou dy pr`es respective- ment est : P (x)dx = √1 2πσe −x2 2σ2dx P (y)dy = √1 2πσe −y2 2σ2dy

Dans les coordonn´ees du rep`ere cylindrique, on a les variables habituelles : x = r cos φ

y = r sin φ

Le produit P (x)dx · P (y)dy est alors la probabilit´e d’avoir des valeurs de x et de y donn´ees `a dx et dy pr`es. En coordonn´ees cylindriques, il devient P (x) · P (y)rdrdφ. Pour obtenir la probabilit´e de r, on int`egre ce produit selon φ :

P (r)dr = Z 2π 0 P (x)P (y)rdrdφ = 1 2πσ2 Z 2π 0 exp  −r 2_cos2_{φ + r}2_sin2_φ 2σ2  rdrdφ = 1 σ2r exp  − r 2 2σ2  dr

On a donc une forme simple pour la distribution de probabilit´e de r. Par le changement de variable inverse, la densit´e de probabilit´e de p · D devient alors :

P (p · D) = _σ1₂ q ((p · Dx− < p · Dx >)2+ (p · Dy− < p · Dy >)2) exp  −(p · Dx− < p · Dx >) 2 + (p · Dy− < p · Dy >)2 2σ2 

Il n’est pas possible de simplifier cette probabilit´e en une fonction du produit p · D uniquement. Cependant, si les valeurs < p · Dx > et < p · Dy > sont relativement

faibles, il est possible d’approximer la distribution de probabilit´e de l’impulsion-DCA par : P (p · D) ≃ A0p · D exp  −(p · D − A1) 2 2σ2 

Dans ce cas, le param`etre A1 ne repr´esente cependant pas < p · D >.

Cette fonction est la forme attendue de la distribution du produit impulsion-DCA des muons primaires ou issus d’un quark c ou b. Les traces produites par des muons secondaires, des interactions faisceau-gaz ou les fausses traces ont par d´efinition un DCA plus ´elev´e. On s’attend donc `a ce que les distributions P (p · Dx), P (p · Dy) et

P (p · D) pour l’ensemble des traces soient domin´ees par la composante gaussienne pour les valeurs les plus proches de 0. Les queues de ces distributions sont alors dues aux traces qui ne sont pas issues des muons primaires. On ne va donc pas ajuster les distributions observ´ees sur tout l’intervalle en impulsion-DCA, mais seulement autour de 0. Les valeurs limites seront d´efinies durant l’ajustement.