Les différents scénarios et les paramètres de l’algorithme

L’algorithme de résolution du sous problème de tarification doit trouver le plus rapidement possible un ensemble de trajectoires alternatives qui seront ajoutées au programme maître restreint de manière à faire baisser la valeur de la fonction objectif. Il est utile pour

comprendre ce qui va suivre d’avoir en tête la structure de coût réduit d’une trajectoire que nous rappelons donc ici :

c’f,r= f f,r f f,r,s,p s,p f,r f,g s p g c δ a ∈ ∈ ∈ − π −

∑∑

∑

c représente le coût réel de la trajectoire (consommation et coût direct du retard) f

π est la valeur de la variable duale associée à la contrainte d’unicité de trajectoire du vol f, s,p

π celles associées aux contraintes de capacité et π celles associées aux contraintes de f,g propagation des retards.

Deux caractéristiques principales vont alors influer sur la difficulté à remplir cette tâche : ƒ L’état de charge du réseau

Pour un réseau loin de la saturation, peu de secteurs-périodes sont utilisés au maximum de leur capacité et ainsi peu d’entre eux auront un coût réduit associé (π ) non nul. Le coût _s,p réduit des trajectoires ne dépendra alors principalement que de la consommation et de la date d’arrivée à l’aéroport. Dans ces conditions les trajectoires optimales seront parmi les plus directes et l’algorithme de recherche de trajectoires n’aura pas besoin d’explorer les trajectoires plus éloignées. Dans le cas où le réseau est surchargé, il est possible que les trajectoires les plus directes traversent des secteurs-périodes surchargés dont le coût réduit associé est élevé. Dans ces conditions les trajectoires optimales se situeront peut-être sur d’autres routes, d’autres niveaux ou avec des politiques de vitesse différentes. L’algorithme devra alors explorer des trajectoires plus variées, ce qui conduira à un arbre d’exploration plus étendu. On voit ici l’importance de tester l’algorithme et d’étudier son comportement dans des conditions de charge différentes.

ƒ Les caractéristiques des trajectoires déjà présentes

D’une manière schématique on peut écrire que la valeur de _{π représente l’étalon ou la f} maille auquel on va comparer les trajectoires que l’on construit au cours de l’algorithme : aucune trajectoire avec un coût supérieur à cette valeur ne sera conservée. Ainsi plus la valeur de π_f est élevée et plus le nombre de trajectoires valides augmente, pénalisant ainsi toute recherche exhaustive. Or la valeur de π est directement liée aux trajectoires déjà présentes _f dans le problème maître restreint et le nombre et la variété de celles-ci dépendent de la phase de la génération de colonnes dans laquelle on se situe. En effet lors de la première phase il n’y a que les trajectoires initiales et éventuellement certaines trajectoires remarquables. Dans les phases suivantes il faut y ajouter toutes celles qui ont déjà été calculées lors des précédents appels du sous problème de tarification. La nature et la difficulté du problème vont donc changer en fonction du nombre de passages déjà effectués dans la boucle de génération de colonnes : les expériences doivent donc évaluer l’algorithme dans ces différentes conditions.

II.1.b) Scénarios étudiés et démarche de tests

i) Scénarios étudiés

Dans l’architecture globale du régulateur court terme, le processus d’optimisation n’est appelé que lorsque des saturations ont été détectées dans l’horizon de prévision (voir Figure 7

p.27). On peut alors supposer que le maximum de moyens de contrôle a été mis en œuvre et que les centres de contrôle ont dégroupé au maximum la zone de l’espace aérien située sous leur responsabilité¹¹. Pour ces raisons l’instance de test principale choisie représente l’espace aérien européen le jeudi 10 septembre 2003 à midi. Cette instance représente 1112 vols commandables. Afin de faire varier la charge des secteurs, les tests ont été effectués pour trois valeurs de la capacité des secteurs-périodes : 100% de la capacité annoncée, puis 90% et enfin 75%. On réduit artificiellement la capacité en gardant la même instance afin de bien pouvoir évaluer les conséquences de la charge du réseau sur l’algorithme sans interférence due à un changement d’instance de test.

ii) Démarche des tests

Lorsque l’on a déterminé une trajectoire, l’effort de calcul nécessaire pour en trouver de nouvelles est faible du fait de toutes les trajectoires partielles qui ont déjà été partiellement étendues et qui sont en attente d’être étendues si possible jusqu’à l’aéroport. D’un point de vue du temps de calcul, il est bien plus efficace de calculer à chaque appel du sous problème de tarification un nombre conséquent de trajectoires plutôt que d’appeler souvent le sous problème pour peu de trajectoires. Etant donné le temps de calcul irréductible à chaque appel du sous problème de tarification, la résolution ne devrait pas appeler celui-ci plus de 5 ou 6 fois. Chaque appel est donc spécifique et peut être étudié en détail.

La démarche suivie est alors la suivante : on effectue une batterie de tests de manière à déterminer les paramètres à choisir pour la première recherche de trajectoires. On effectue ensuite le même travail de tests et de détermination des paramètres à la deuxième étape de la génération de colonnes en supposant que les trajectoires de la première étape ont été calculées avec la combinaison de paramètres choisie lors de la première phase de tests. On effectue le même travail pour la troisième phase. Les tests pour la quatrième phase peuvent être beaucoup plus légers que dans les phases précédentes du fait des enseignements qu’on peut tirer des tests précédents. On trouvera dans la Figure 34 un résumé de cette démarche.

La manière dont les paramètres sont considérés ainsi que les indicateurs permettant d’évaluer une combinaison de paramètres sont traités dans le paragraphe suivant.

11 L’espace aérien européen est divisé en FIR (Flight Information Region) dont dépendent les centres assurant le contrôle dans chacune de ces régions. La France est par exemple divisée en 5 FIR (Bordeaux, Paris, Brest, Marseille, Reims). Ces espaces sont eux-mêmes divisés en secteurs de contrôles dont la responsabilité est dévolue à une équipe de contrôle aérien. La division des espaces de contrôle en secteurs aériens est variable en fonction du temps, dépendant de la charge de trafic et du nombre de contrôleurs disponibles : la liste des secteurs activés à un moment donné est appelée configuration. La nuit lorsque le trafic est faible la configuration adoptée ne contient qu’un ou deux grands secteurs alors qu’en période de pointe les configurations contiennent de nombreux secteurs plus petits.

Figure 34) Démarche expérimentale de détermination des combinaisons de paramètres

Deuxième passage

Trajectoires obtenues par la meilleure combinaison Espace aérien 10/09/2003 midi

Paramètres Capacité 100% 90% 75% Combinaison 1 ^Combinaison 2 ^…. TESTS Combinaison n

Résolution RMP par CPLEX

Trajectoires initiales Résolution RMP par CPLEX

Paramètres Capacité 100% 90% 75% Combinaison 1 Combinaison 2 …. TESTS Combinaison n

Trajectoires obtenues par la meilleure combinaison Résolution RMP par CPLEX

Paramètres Capacité 100% 90% 75% Combinaison 1 ^Combinaison 2 ^…. TESTS Combinaison n Premier passage Troisième passage

Résolution finale à partir de tests ciblés non exhaustifs

Trajectoires obtenues par la meilleure combinaison

II.1.c) Les paramètres de l’algorithme

Dans le programme codant l’algorithme de résolution du sous problème de tarification il existe des paramètres internes concernant l’implémentation technique et des paramètres externes influençant directement l’algorithme. Les paramètres internes, concernant principalement la gestion mémoire des nombreuses listes dynamiques que l’algorithme doit gérer, ont été déterminés empiriquement lors de la phase de correction et de validation du programme et ne seront désormais plus évoqués ici. Les paramètres externes de l’algorithme vont principalement jouer sur l’exploration de l’arbre des possibilités.

i) Paramètres d’exploration

Les deux premiers paramètres, la structure de données utilisée pour stocker les feuilles d’espace en attente d’être examinées et le label utilisé pour comparer deux feuilles entre elles, changent le mode d’exploration du graphe (plutôt en largeur, en profondeur, mixte etc.). On les appellera dans la suite paramètres d’exploration. Il y a 2 structures de données différentes

(que l’on nomme piles) et 6 labels possibles, plus une structure de données ne prenant pas en compte les labels. Cela fait au total 13 combinaisons différentes.

ii) Paramètres d’arrêt

Les deux paramètres suivants, le nombre limite de trajectoires recherchées et le temps maximal de calcul alloué à l’algorithme pour un vol donné, représentent les conditions d’arrêt de l’algorithme. On les nommera donc paramètres d’arrêt. Il est important de remarquer que

l’arrêt se fait toujours après avoir traité toutes les trajectoires partielles d’une feuille. L’algorithme peut donc trouver plus de trajectoires que le nombre limite et parfois beaucoup plus (de l’ordre du millier de trajectoires pour un vol avec une limite de 50 trajectoires).

Le nombre de possibilités pour ces paramètres est illimité entre une et toutes les trajectoires possibles et entre une seconde et un temps de calcul illimité. Aussi, pour limiter l’explosion combinatoire des tests, il a été décidé de déterminer empiriquement et intuitivement un critère d’arrêt (50 trajectoires et 50 secondes de temps de calcul pour la première phase) avec lequel on a effectué les tests pour les 13 combinaisons de paramètres d’exploration. Une fois ces tests effectués, un premier tri est effectué parmi les combinaisons et une nouvelle batterie de tests est réalisée en changeant les critères d’arrêt et en ne considérant que les meilleures combinaisons précédemment identifiées. De cette manière on détermine une combinaison performante de tous les paramètres.

II.2. Résultats et temps de calcul