Les diérentes échelles du système

Pour expliquer les mécanismes du déplacement, la théorie de la reptation se fonde sur des lois de puissance pour décrire les prols d'interface ou les évolutions des barrières de potentiel en fonction des forces appliquées sur le système. On parle alors d'universalité dans le sens où la dynamique du système n'est pas reliée à la dynamique interne mais qu'elle est reliée à la dimension du système ; plusieurs systèmes de natures diérentes et appartenant à la même classe d'universalité peuvent ainsi avoir des dynamiques similaires.

Par exemple, pour décrire la rugosité statique C d'une paroi de domaines dans la limite 2D, on peut utiliser la relation suivante :

C²(L) =< [u (x)− u (x + L)]² >= u_c L lc

2ζ

(4.1) Où dans notre cas, pour une paroi de domaines dans un lm ultra-mince avec des défauts localisés, l'exposant de rugosité ζ est égal à 2/3. u (x) est déni dans la gure4.2. lc est la longueur de Larkin.

4.1.1 Les diérentes échelles du système

Cette description (equ.4.1) n'est valable que pour des échelles susamment grandes par rapport à lc. Plusieurs autres échelles interviennent dans ces systèmes :

 La longueur d'inuence d'un défaut ξ, qui dans le cas d'une paroi de domaines, est comparable à la largeur de la paroi.

 La longueur de Larkin lcqui est dénie comme la longueur limite au delà de laquelle l'élasticité ne domine plus.

4.1 RAPPEL SUR LA REPTATION DE PAROI 61  La taille des sauts Lopt, qui est utilisée pour exprimer les hauteurs de barrière de

potentiel à franchir.

L_opt l_c

~ξ

u(x)

Figure 4.2  Diérentes échelles présentes. Le prol de paroi u(x) est rugueux sauf pour des longueurs inférieures à la longueur de larkin lc. Les déplacements se font par des sauts thermiquement activés de longueur Lopt. Image adaptée de la référence [89] .

ξ sera discuté plus en détail dans le chapitre6.

4.1.1.1 Longueur de Larkin

Pour estimer la longueur de Larkin dans notre cas, il est nécessaire d'introduire les diérentes énergies du système, notamment celle due au piégeage et celle due au coût énergétique de la paroi (c'est-à-dire son élasticité).

Les diérents centres de piégeage ont une répartition et une amplitude aléatoires. Leur amplitude de piégeage est indépendante des autres centres de piégeage. Pour une paroi d'une longueur L les forces de piégeage donnent lieu à une énergie de piégeage (en J) égale à :

Epin= fpinξ (niξL)¹2 (4.2) La racine vient de l'amplitude des centres de piégeage qui est indépendante entre chaque centre de piégeage. fpinξ correspond à l'énergie d'un centre de piégeage et (niξL) est le nombre moyen de centres de piégeage pour une longueur de paroi L avec une densité de défauts égale à ni (pour nous en m−2).

L'énergie de paroi (en J) est directement proportionnelle à la longueur de la paroi par un terme d'élasticité : E_el= Z _el 2 s 1 + ∂u ∂x 2 (x)dx (4.3)

elle peut être réduite pour des faibles déplacements en utilisant le développement limité suivant : _s 1 + ∂u ∂x 2 (x)≈ ¹₂^{ ∂u}_∂x 2 + 1 (4.4)

ξ

2L

Figure 4.3  Déformation induite par un défaut pour calculer le gain en energie lors-qu'une paroi est piégée.

Dans le cas qui nous intéresse (gure 4.3) le surcoût en terme d'énergie de paroi peut être écrit en fonction du déplacement induit par un centre ayant une inuence sur une longueur ξ comme : ∆Eel ≈ el  ξ L 2 L (4.5)

On peut tout de suite remarquer que ∆Eelest décroissante en fonction de L alors que Epin

croît en fonction de L. Il existe une taille lc au dessus de laquelle il n'est pas favorable de déformer la paroi pour la piéger sur un défaut. La longueur de Larkin lcest donc égale à :

l_c= ^ 2 elξ² f_pin² niξ !1 3 (4.6) Ce segment de longueur lcpermet d'estimer le champ de dépiégeage Hdep. C'est le champ nécessaire à appliquer pour surpasser l'énergie associée au piégeage de ce segment. On dénit aussi l'énergie associée à ce segment comme Uc= Epin(L = lc). Lorsque le champ appliqué se rapproche du champ de dépiégeage on quitte le régime de reptation :

H_dep= ^elξ l_c 1 µ₀M_st ^{= fpin}  n_iξ l_c 1 2 1 µ₀M_st (4.7)

4.1 RAPPEL SUR LA REPTATION DE PAROI 63 4.1.1.2 Dimension des sauts et hauteur de barrière

Le champ extérieur va modier le paysage de potentiel pour une paroi de domaines. L'énergie de Zeeman s'écrit comme :

EZee= Z L

0

2µ0MsHztu (x) dx∼ Lζ+d (4.8)

Cette loi de puissance sur EZee est déduite en utilisant l'équation 4.1 : une paroi de longueur L va explorer le milieu sur une distance ∼ uc(L/lc)^ζ qui sera d fois. d correspond à la dimensionalité de l'interface, pour une paroi de domaines : d = 1. Les énergies de paroi et de piégeage quant à elles croissent comme :

Epin∼ L2ζ−2+d (4.9)

En minimisant Epin− EZee on retrouve une longueur optimale, Lopt, pour la propagation des parois : L_opt ∼ lc  H_dep Hz  1 2−ζ (4.10) Cette longueur donne une barrière de potentiel à franchir EB(H_z) qui va dépendre du champ extérieur appliqué. dans la limite où Hz Hdep. Elle correspond à l'évolution des énergies de piégeage et d'élasticité qui évoluent comme L2ζ−2+d; on trouve :

E_B∼ Uc  H_dep H_z 2ζ−2+d 2−ζ (4.11) Pour une paroi de domaines cette barrière de potentiel croit en fonction de H−1/4

z . Une loi d'Arrhénius sur la vitesse de transition entre deux positions de la paroi séparées par un saut de paroi d'une dimension Lopt va alors donner la relation suivante pour la vitesse de déplacement de paroi dans le régime de reptation :

V (Hz) = V0e Uc kBT  Hz Hdep 1 4 (4.12) Le préfacteur V0 reste mal connu. Il doit dépendre de l'amortissement du système [88]. Il a récemment été proposé qu'il puisse dépendre de la chiralité de la paroi [90], mais d'autres études n'ont pas montré d'eet similaire [91].