2. Les codes hydrodynamiques
2.2. Les codes fluides mono-dimentionnels
2.2.1. Les équations fluides
Un fluide en mouvement est décrit par un ensemble de variables reliées entre elles par une équation d’état. De façon générale, ces variables ont une dépendance spatiale et temporelle. Ainsi, dans la description fluide classique, le plasma est décrit par six variables macroscopiques : les densités électronique ne et ionique ni, les vitesses fluides électronique vre et ionique
i
vr , et les températures électronique Te et ionique Ti (on supposera que les
électrons et les ions sont faiblement couplés : le déséquilibre entre ions et électrons se manifestent alors par l’existence de deux températures). Toutefois, le plasma est supposé quasi-neutre à l’échelle hydrodynamique (ne≅Zni). De plus, dans une géométrie monodimentionnelle, la quasi-
neutralité entraîne l’égalité des vitesses vre=vri =vr. Il reste donc seulement quatre variables fluides principales : ni, vr, Te, Ti.
Les équations qui régissent l’hydrodynamique du système se résument à la conservation du nombre de particules (eq II-1), de l’impulsion
(eq II-2) et de l’énergie interne de chaque espèce de particules (eq II-3 et eq II- 4).
Puisque le plasma est considéré comme quasi-neutre, seule l’équation donnant l’évolution de la densité ionique (ou électronique) est nécessaire pour rendre compte de la conservation du nombre de particules. Elle s’écrit :
( )
=0 ⋅ ∇ + ∂ ∂ v n t n i i r r (eq II-1)Les équations du mouvement des électrons et des ions se combinent pour n’en former qu’une moyennant quelques hypothèses. En effet, on néglige l’inertie des électrons (m ppe mi) d’une part et d’autre part, en travaillant dans une géométrie monodimentionnelle la densité de courant est nulle et la force de Laplace disparaît. Ainsi, l’équation régissant la conservation de l’impulsion s’écrit :
(
e i)
i i m vt P P n =−∇ + ∂ ∂r r (eq II-2)où Pe et Pi sont les pressions électronique et ionique.
Enfin, les deux dernières équations sont celles décrivant l’évolution de l’énergie interne de chaque particule et donc l’évolution des températures : l ei e e e B ek Tt P v q w w n =− ∇⋅ −∇⋅ − + ∂ ∂ r r r r 2 3 (eq II-3) ei i i i B i t P v q w T k n =− ∇⋅ −∇⋅ + ∂ ∂ r r r r 2 3 (eq II-4) e
qr et qri sont les flux de chaleur électronique et ionique.
l
w est la puissance par unité de volume cédée aux électrons du fait de l’absorption de l’énergie laser.
) ( 2 3 i e B e ei ei n k T T
w = υ − correspond aux échanges d’énergie entre électrons et ions. Il introduit un couplage entre les températures électronique et ionique, υei étant la fréquence de relaxation pour l’échange d’énergie lors des collisions électrons-ions.
Enfin, pour fermer ce système d’équations, il est indispensable de connaître l’équation d’état Pe/i = f
(
ne/i,Te/i)
du milieu. Il existe deuxpossibilités pour y accéder, d’une part, la librairie SESAME [1] élaborée au Laboratoire National de Los Alamos, USA, d’autre part, le calcul en ligne par le modèle QEOS [2] par exemple.
2.2.2. Le code FILM
FILM est un code hydrodynamique lagrangien 1D½. Dans ce code le plasma est traité comme un fluide à deux espèces de particules -ions et électrons- caractérisées par leur densité, température et vitesse fluide. FILM résout les équations fluides d’évolution du plasma mais n’inclut pas le transfert radiatif. Il possède néanmoins l’avantage d’avoir en interne un modèle de physique atomique hors-ETL détaillé.
FILM laisse le choix quant à la description du flux de chaleur que l’on désire introduire dans le calcul. Il présente l’option du flux de Spitzer, du flux limite mais aussi de la théorie plus récente du flux délocalisé [3], décrite au chapitre 1.
Dans la version nanoseconde du code, l’absorption est collisionnelle (i.e. par Bremsstrahlung inverse) et l’énergie laser est convertie en énergie thermique électronique.
FILM version 1D½
Une version auto-semblable de FILM existe. Ce modèle permet de tenir compte de l’expansion du plasma dans la direction perpendiculaire à l’axe laser. La détente latérale du plasma est calculée par un modèle self- similaire. L’intérêt majeur de cette version est de prendre en compte le refroidissement du plasma dû à l’expansion latérale. L’énergie dans la détente est répartie dans un plus grand volume : la température chute donc par rapport à une description monodimensionnelle qui ne considère que l’expansion le long de l’axe laser.
FILM version femtoseconde : FILM-fs
Pour simuler l’interaction d’une impulsion laser ultra-brève avec la matière, nous avons utilisé le code FILM version femtoseconde dans lequel le calcul du dépôt d’énergie a été modifié par rapport à sa version originelle. La version « femto » tient compte des conditions d’interaction spécifiques aux impulsions courtes et de la description de la force pondéromotrice [4].
Le système d’équations décrivant l’expansion du plasma vers le vide est identique à celui de la version nanoseconde, hormis l’équation de la conservation de l’impulsion qui inclut désormais l’expression de la force pondéromotrice Frp , tenant compte des collisions. Cette équation s’écrit
(
e i)
p i i t P P F v m n r r r + + ∇ − = ∂ ∂ (eq II-5)Dans l’équation eq. II-3, le terme de dépôt d’énergie laser wl tient
compte des différents mode d’absorption existant en régime femtoseconde. La fréquence de collision est donnée par le modèle T.K.N. [5]. Cette fréquence de collision correspond à l’amortissement par déferlement des ondes plasma excitées par l’absorption résonnante.
En régime d’impulsions courtes, FILM calcule la force pondéromotrice et le terme décrivant les échanges entre les électrons et les ions wei par un modèle électromagnétique. La fonction diélectrique du plasma est calculée d’après le modèle de Drude [4].
2.2.3. MULTI : transfert radiatif
Le code MULTI (pour MULTIgroup radiation transport in MULTIlayer foils) est un code hydrodynamique lagrangien à géométrie plane monodimentionnelle. Développé par Ramis et al. [6], il résout les équations hydrodynamiques 1D couplées au transfert radiatif. Le traitement du transfert radiatif est assuré par la méthode dite de diffusion multi-groupe en fréquence. La stabilité numérique est garantie par l’emploi d’une méthode de calcul totalement implicite. La physique atomique de MULTI est simplifiée par l’utilisation de tables d’émissivités et d’opacités calculées par un modèle d’atome moyen hydrogénique écranté, présenté au paragraphe § 2.3.1.
Définition d’un groupe
L’étendue et la richesse des spectres de rayonnement X d’éléments de numéro atomique Z élevé nécessite certaines simplifications. Le traitement du spectre se fait en divisant l’espace des fréquences en plusieurs groupes adjacents. A l’intérieur d’un groupe, l’intensité radiative est constante. On notera νk et νk+1 les bornes du groupe « k ».
Les équations hydrodynamiques
électronique est traité de façon classique (flux donné par Spitzer) avec un facteur limitatif du flux thermique.
MULTI permet d’utiliser différentes sources de chauffage. Le rayonnement sur cible peut être un laser, avec une durée, une intensité et une certaine longueur d’onde. Mais la source peut aussi être une source X ou encore une source avec un spectre Planckien. Dans nos cas d’expérience, le laser est l’unique source de chauffage. Un terme qui tient compte du transfert de rayonnement vient s’ajouter à l’équation qui régit l’évolution de l’énergie interne des électrons :
∑
≤ ≤ − + − ⋅ ∇ − ⋅ ∇ − = ∂ ∂ NG k k l ei e e e B ek Tt P v q w w Q n 1 2 3 r r r r (eq. II-6) kQ est le flux d’énergie rayonnée par unité de volume pour chaque groupe de fréquence k (il y a NG groupes).
La version première du code décrit l’absorption de l’énergie laser par Bremsstrahlung inverse. Les mécanismes d’absorption non-linéaires sont modélisés par un dépôt à la densité critique. La version femtoseconde du code prend en considération d’autres processus d’absorption.
Description du transfert de rayonnement
Le code MULTI prend en compte l’effet du rayonnement sur l’hydrodynamique (émission et réabsorption de l’énergie radiative) en l’incluant dans le bilan énergétique des électrons (voir eq. II-6) et en résolvant l’équation de transfert radiatif, donnée au chapitre 1, (eq I-15). Cette équation est très complexe car l’intensité dépend de quatre variables distinctes : r,nr,υ,t, position, direction, fréquence et temps. C’est ici que la notion de groupes prend tout son sens. On va intégrer en fréquence et en angle l’équation de transfert. Après quelques arrangements mathématiques, on aboutit à l’expression du flux radiatif et de l’énergie radiative du groupe de fréquence k.
La cible est discrétisée spatialement en cellules de tailles variables. A chaque pas de temps successif, l’algorithme calcule l’expansion des cellules spatiales, les différents phénomènes physiques et la distribution du rayonnement dans les groupes.
Multi version femtoseconde : MULTI-fs
Le code MULTI a été étendu pour modéliser les interactions en régime femtoseconde pour lequel le mode d’absorption de l’énergie laser est différent -code MULTI-fs [7]-. Les principales modifications qui ont été apportées concernent la résolution des équations de Maxwell dans le cas de gradients raides et l’élaboration d’un modèle pour la conductivité thermique et électrique pour une grande gamme en température (du solide froid au plasma chaud). Le troisième changement concerne la prise en compte du déséquilibre entre les ions et les électrons : dans la version femtoseconde, MULTI utilise des tables SESAME séparées et individualisées pour les électrons et les ions.