Chapitre 4 -‐ La sélection et la reconstruction des événements
4.3 La reconstruction des événements
4.3.1 Les algorithmes de reconstruction
Avant de décrire plus en détail les deux algorithmes de reconstruction développés par la collaboration ANTARES, qui sont la stratégie de Aart et BBFit, il convient de rappeler les variables utilisées pour décrire la trace d’un muon se propageant dans le détecteur.
4.3.1.1 Trajectoire d’un muon
La trajectoire d’un muon peut être caractérisée par sa position à un instant t0 et sa direction, selon la paramétrisation :
où c est la vitesse du muon supposé relativiste, p!(t0)sa position à l’instant t0 définie par ces trois coordonnées (x0, y0, z0) et u!la direction de sa vitesse déterminée en fonction du zénith θ et de l’azimut φ, selonu!=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ). La reconstruction de trace dépend donc de cinq paramètres. Si l’on connaît la position q! d’un module optique, selon l’illustration donnée sur la Figure 4.15, alors les photons Cherenkov reçus sur le module optique sont parfaitement caractérisées par les trois quantités suivantes :
• le temps d’arrivée attendu
€
tγ du photon, • le chemin parcouru par le photon
€
dγ entre la trace et le module optique, • l’angle d’incidence
€
θγ du photon sur le module optique.
Figure 4.15
Description de la géométrie de la trace d’un muon se propageant du point P selon la direction u.
u t t c t p t p ! ! !() ( ) ( ) 0 0 + − = (4.13)
En définissant la quantité :
dont les composantes parallèle et perpendiculaire à la trace sont
€
l =!
v .!
d
et k= v2−l2 , alors le temps d’arrivée attendu de la lumière Cherenkov sur le module optique est:où θC est l’angle Cherenkov et vg est la vitesse de groupe qui doit être prise en compte pour la propagation de la lumière Cherenkov [271]. Le chemin que parcours le photon jusqu’à sa détection sur le module optique s’exprime alors comme :
et le cosinus de l’angle d’incidence du photon sur le module optique est donné par :
où w! est la direction normale au module optique.
4.3.1.2 La stratégie de Aart
La stratégie de Aart [272] porte le nom de son concepteur, et est basée sur un ensemble de quatre ajustements consécutifs. La stratégie de reconstruction de Aart est globalement basée sur le principe du maximum de vraisemblance, dont la vraisemblance est exprimée en termes de densité de probabilité des résidus en temps
€
r
i= t
i− t
γi. Mais auparavant, dans le but de s’affranchir d’une partie des hits dus au bruit de fond, et donc de rendre plus robuste l’algorithme de reconstruction, une présélection des hits est appliquée, à partir de laquelle seront réalisées les sélections ultérieures.La présélection des hits consiste à rechercher le hit du snapshot ayant la plus grande amplitude, en admettant qu’il s’agisse toujours d’un hit signal. Les hits sélectionnés sont ceux pour lesquels leur différence en temps par rapport à ce hit de référence est compatible avec la distance entre les deux modules optiques, à 100 ns près, soit :
ns v d t g 100 + ≤ Δ (4.18)
La première étape de la reconstruction consiste en un préfit linéaire. En effet, l’estimateur de maximum de vraisemblance étant très sensible aux conditions d’initialisation de la trace, le prefit linéaire représente un bon point de départ. Les hits sélectionnés sont les hits de large amplitude (>3pe) et les coïncidences de deux hits sur deux OM d’un même étage, à 20 ns près.
La seconde étape de la reconstruction est constituée d’un M-estimateur, qui maximise une fonction g(r) relativement robuste aux hits marginaux. Cette fonction, qui permet d’obtenir une estimation de la trace, est donnée par :
€
g(r) = ∑
iκ −2 1+ A
(
iri2/2)
− 1 −(
κ)
fang( )
ai (4.19) où le premier terme a un comportement respectivement linéaire et quadratique en r pour les grandes et les petites valeurs des résidus en temps r pondérés de l’amplitude Ai du hit, et où le second terme permet d’introduire la réponse angulaire du module optique. Le facteur de pondération κ a été optimisé sur les événements Monte Carlo et vaut κ=0.05 [272]. Relativement insensible à l’initialisation des paramètres de l’ajustement, le M-estimateur demeure moins précis que les méthodes du maximum de vraisemblance, mais plus précis que l’ajustement par préfit linéaire. Néanmoins une bonne sélection des hits signal est requise pour une bonne performance. C’est pourquoi les hits utilisés pour cet ajustement sont en€ ! v =! q −p ! (4.14) € tγ = t0+1 c l − k tanθC % & ' ( ) * + 1 vg k sinθC % & ' ( ) * (4.15) € dγ = k sinθC (4.16) € cosθγ = v −! u l −! k tanθC % & ' ( ) * % & ' ( ) * .w ! (4.17)
4.3 La reconstruction des événements 95 partie issus du résultat du préfit. Les hits d’un même module optique, lorsqu’ils proviennent des deux ARS, sont fusionnés dès qu’ils sont temporellement en coïncidence à 20 ns près. Ils sont sélectionnés dès que leur résidu en temps par rapport à la trace reconstruite par le préfit est inférieur à 150 ns et que leur distance est inférieure à 100 m. De plus, tous les hits d’amplitude supérieure à 2.3 pe sont automatiquement sélectionnés. Enfin, l’ajustement requière au moins 15 hits.
Le résultat de cet M-estimateur sert de point départ pour le premier ajustement du maximum de vraisemblance, qui représente la troisième étape de la procédure de reconstruction. Le principe de cet ajustement est de maximiser la probabilité d’obtenir les événements observés, en ne prenant en compte que la probabilité du temps des hits, qui peut s’exprimer en termes de densité de probabilité des résidus en temps ri. La fonction de densité de probabilité (PDF) considérée dans cette étape n’inclut pas les hits de bruit de fond. La sélection des hits pour cette étape consiste à conserver tous les hits dont le résidu en temps est compris entre –R/2 et R, où R est l’écart type de la distribution des résidus en temps issue du M-estimateur, et dont leur distance est inférieure à 300 m par rapport à la trace reconstruite, ainsi que l’ensemble des hits de coïncidence et les hits d’amplitude supérieure à 2.5 pe, parmi les hits utilisés par le M-estimateur.
La deuxième et la troisième étape de la procédure de reconstruction sont répétées 9 fois, une tentative pour la direction donnée par le préfit linéaire, quatre tentatives après une rotation de la trace du préfit d’un angle de 25° et quatre tentatives après une translation de la trace de ± 50 m dans deux directions données. Ce processus est interrompu seulement si le résultat de la vraisemblance est excellent29. Puis, parmi ces au plus neuf tentatives, la trace avec la meilleure vraisemblance est conservée, et le nombre de traces compatibles (Ncomp) à mieux que 1° par rapport à la trace préférée est calculé.
Enfin la dernière étape de la reconstruction est constituée par un maximum de vraisemblance utilisant une fonction de densité de probabilité améliorée qui tient compte d’un bruit de fond aléatoire fixé à 60 kHz. La sélection des hits pour ce dernier ajustement est basée sur la présélection initiale des hits. Les hits sont retenus s’ils proviennent d’une coïncidence, s’ils ont une amplitude supérieure à 2.5 pe ou si leur résidu en temps par rapport à la meilleure trace reconstruite est compris entre ± 250 ns, avec une distance d’approche inférieure à 100 m. La performance de ce dernier ajustement est très bon, avec une erreur de reconstruction de 0.3° si l’ajustement commence à moins de 1° de la vraie trace, justifiant toutes les étapes intermédiaires nécessaires à la procédure complète. Finalement, à peu près 20% des événements sont reconstruits avec une erreur inférieure à 0.1°. Le paramètre réduit de qualité de l’ajustement est défini par :
(
1)
* 1 . 0 − + − = Λ comp DOF N N Lik (4.20) où Lik est la vraisemblance du dernier ajustement, NDOF est le nombre de degré de liberté et Ncomp le nombre de traces compatibles défini plus haut.La description de la stratégie de Aart, et en particulier la sélection des hits, est celle telle qu’appliquée dans le soft d’analyse CalReal [273] v2r5.
4.3.1.3 La stratégie BBFit
La stratégie BBFit [274] a été développée dans l’objectif d’être robuste, en particulier vis-à-vis du bruit de fond, mais au détriment d’une reconstruction précise, sans l’utilisation d’un positionnement calibré.
En pratique, seules les positions spatiales des pieds de ligne sont issues du positionnement acoustique, et les distances entre étages proviennent des longueurs des câbles. Mais les lignes sont supposées verticales pendant les procédures d’ajustement, et les trois modules optiques d’un même étage sont présumés se situer au niveau de la ligne.
Comme pour la stratégie de Aart, une présélection des hits est appliquée avant ajustement. Les hits d’un même étage sont fusionnés dès qu’ils sont en coïncidence temporelle à moins de 20 ns. Si cette coïncidence provient de deux modules optiques différents, alors un bonus de 1.5 pe est ajouté à leur charge totale, dans la limite d’une fois. Puis est effectuée une sélection de l’ensemble des hits d’amplitude supérieure à 2.5 pe, ce qui revient à retenir la plupart des coïncidences locales : cette condition est appelée L130. Dès que deux hits L1 sont en coïncidence temporelle sur deux étages adjacents (resp. deux étages voisins d’un même étage) à 80 ns (resp. 160 ns), alors un cluster T3 est défini. C’est à partir de cette condition T3 qu’est définie la sélection finale des hits utilisés pour les ajustements. Seules les lignes contenant un cluster T3 sont considérées par la suite. Tous les hits contribuant à un cluster T3 sont sélectionnés par défaut, puis une recherche des hits L0 reliés causalement aux clusters T3 est opérée sur les étages voisins. On recherche un hit L0 sur les +/- deux étages adjacents par rapport à l’étage où se situe un des hits d’un cluster T3. Si un hit L0 répond aux critères de causalité, alors il est sélectionné et est utilisé pour poursuivre la recherche d’autres hits L0 sur les étages suivants. Cependant, le critère de causalité ne repose pas sur la distance entre étages, mais sur l’extrapolation qu’aurait le temps du hit s’il provenait de la même onde plane que les hits des étages voisins. Dès que deux étages adjacents n’ont pas de hits sélectionnés, la recherche s’interrompt, pour reprendre à partir d’un autre étage contenant un hit T3.
Les différents ajustements qui suivent se font à partir de la sélection des hits décrite ci-dessus, avec un minimum de 5 hits. La fonction principale d’ajustement est basée sur une minimisation des moindres carrés, en tenant compte des temps d’arrivées des hits et de l’amplitude attendue en fonction de la distance de la trace reconstruite. En pratique, la quantité minimisée s’exprime comme [274]:
Où σi est l’incertitude sur le temps ti, imposée à 10 ns pour les hits d’amplitude supérieure à 2.5 pe et 20 ns sinon, f(Ai) représente l’amplitude modifiée du hit i permettant d’introduire une saturation à 10 pe, <f> est la moyenne des amplitudes corrigées et où d0=50 m et d1=5 m.
En plus de cette fonction d’ajustement, qui comprend une version simplifiée sans préfit linéaire si une seule ligne contient des hits T3, est appliqué un deuxième ajustement pour lequel la lumière est supposée provenir, de façon isotrope, d’un point fixe. Ce dernier ajustement, qui s’applique parfaitement à la lumière émise par les Led Beacons, permet aussi de discriminer les gerbes hadroniques et électromagnétiques.