Les échelles caractéristiques

Après avoir décrit les mécanismes permettant l’accélération des protons, il est important de donner quelques ordres de grandeur afin de mieux comprendre la dynamique de cette accélération. Des échelles de longueurs et de temps caractéristiques vont ainsi être données et permettront une meilleure représentation des mécanismes d’accélération.

5.1. Quelques échelles caractéristiques.

 Températures électroniques.

Comme nous avons pu le voir plus haut, la température des électrons chauds dépend de l’intensité laser. Ainsi dans les gammes d’intensités explorées ici dans ce manuscrit, ces

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températures sont de l’ordre de plusieurs centaines de keV et peuvent aller jusqu’au MeV (Beg, 1997).

La population d’électrons froids, chauffée par les électrons chauds, est quant à elle de l’ordre de l’eV jusqu’à plusieurs dizaines d’eV sur les temps caractéristiques d’accélération des protons (Eidmann et al., 2000). On a ainsi un rapport de 5 ordres de grandeur entre la température de ces deux populations (Thot~105Tcold).

 Densités caractéristiques.

La densité électronique du plasma dépend du degré d’ionisation de la cible et donc de la température de celle-ci et plus particulièrement de la température de la population d’électrons froids (Antici, 2007). Dans la gamme de température rencontrée le degré d’ionisation moyen est de l’ordre de 3 et permet d’obtenir une densité électronique de 3,5 1023 cm-3 pour la densité des électrons froids d’une cible d’aluminium.

La mesure de la densité des électrons chauds, en face arrière d’une cible de 9 μm d’épaisseur et dans le cadre d’une expérience sur le laser 100 TW (400 fs, 30 J, I=5.1019 W.cm-2) du LULI (Antici, 2007), montre que celle-ci est de l’ordre de 4.1019 cm-3. On obtient ainsi un rapport d’environ 4 ordres de grandeur entre la densité électronique de ces deux populations (nhot=10- 4_n

cold).

Le calcul de la densité critique, s’exprimant en fonction de l’angle d’incidence laser (θ) suivant l’expression nc = 1,1.1021*λ-2μm(1-sin2(θ)) est quant à elle de l’ordre de 1.1021 cm-3 en

incidence normale et pour une longueur d’onde de 1,057 μm.

 Longueur de Debye et épaisseur de peau.

La plus importante des longueurs caractéristiques est bien évidemment la longueur de Debye, car elle définit la longueur d’écrantage et donc la distance sur laquelle les électrons chauds sont capables de s’écarter de la cible. Nous avons vu que celle-ci s’exprime suivant l’expression λd0=(ε0kbTe/(nee2))1/2 et dépend de la température des électrons chauds Thot et de leur densité nhot.

En utilisant les données reportées dans (Antici, 2007) et obtenues sur le 100 TW du LULI (Thot =

0,85 MeV et nhot = 4.1019 cm-3) on obtient λd0 = 1,1 μm. Ainsi, en deçà d’une épaisseur de cible de

1 μm la dilution longitudinale des électrons s’opère principalement dans les gaines électroniques qui se développent sur les faces de la cible.L’épaisseur de peau s’exprimant suivant ls = c/ωpe vaut

quant à elle 16 nm pour un plasma de densité électronique totale de 3,5 1023 cm-3.

 Champs caractéristiques.

Au cours de l’interaction laser-plasma un courant électronique de l’ordre de quelques 1.106 A est accéléré vers l’intérieur de la cible. Celui-ci conduirait dans le vide à générer un champ magnétique de l’ordre de 1.104 T, sans la présence d’un courant de retour qui vient écranter ce champ. Le très grand rapport de densité entre la population chaude et la population froide permet un écrantage rapide nécessitant une faible vitesse des électrons froids (nhot*vhot = ncold*vcold).

Cependant, des champs de l’ordre de la centaine de Teslas peuvent exister dans une cible après interaction. Ces électrons, qui débouchent sur la face arrière de la cible avec une densité et une température exprimées ci-dessus, permettent l’établissement d’un champ quasi électrostatique de l’ordre de 1012 V.m-1 en l’absence de préplasma.

5.2. Temps et vitesses caractéristiques.

 Fréquence plasma électronique.

La fréquence plasma électronique de la population froide, définissant le temps de réponse du plasma à une perturbation s’exprime par ω2pe = nee2/(meε0). On a ainsi τneut ~ 1/ωpe = 5,6.10-2 fs qui

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3,5 1023 cm-3. La fréquence plasma ionique vaut quant à elle, 1/ωpi = 3,85 ps pour de l’aluminium

ionisé 3 fois en moyenne.

 Temps de transfert de l’énergie des électrons vers les protons.

La vitesse de transfert de l’énergie des électrons vers les protons dépend de l’épaisseur de cible et donc de la fréquence des rebonds sur les faces de la cible (Carrié, 2011). En effet, comme nous avons pu le voir plus haut, l’énergie perdue au cours de la propagation des électrons dans la cible peut être négligée dans le cas d’une cible mince (quelques microns d’épaisseur). Ainsi, la majorité de l’énergie perdue par les électrons et transférée aux protons se fait au cours des rebonds au niveau de l’interface cible-vide. Cette énergie perdue au cours des rebonds peut être approchée par l’étude analytique décrite dans la référence (Mora and Grismayer, 2009). On obtient ainsi un temps de refroidissement électronique de l’ordre de 100 fs pour une cible de 1,2 μm d’épaisseur et de 250 fs pour une cible de 3,5 μm d’épaisseur (Carrié, 2011). Ceci permet d’estimer que les protons perdent environ 10 % de leur énergie à chaque rebond, en considérant qu’ils se déplacent à la vitesse de la lumière.

 Vitesse acoustique ionique.

La vitesse acoustique ionique peut s’exprimer selon l’expression suivante cs = (ZkbT/(mi))1/2

dans le cas où le plasma est constitué d’une seule population électronique de température T. Dans le cas réel d’un plasma constitué de 2 populations électroniques, il est possible de calculer cette vitesse acoustique en considérant uniquement la population chaude dans la mesure où celle-ci est 5 ordres de grandeur plus chaude que la population froide. On peut de cette manière calculer cs=2,6

μm.ps-1 pour une température électronique chaude de 0,85 MeV et un degré d’ionisation moyen de l’aluminium Z=3, soit environ un pourcent de la vitesse de la lumière. Au début de l’accélération des protons, le front ionique avance à 2 fois cette vitesse suivant l’expression vfront ~

2cs*ln(τ+(τ2+1))1/2 (Mora, 2003). Avec τ= ωpi*tacc/√2 définissant le temps d’accélération

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