John Wallis começou a estudar ainda muito jovem, em 1625, quando entrou em uma escola de gramática em Tenterden, Kent, no Reino Unido, onde desfrutou de uma formação aprofundada em latim. Além de latim, ele aprendeu grego, hebraico e, apesar de estudar em uma escola de gramática, logo se interessou pelos elementos da lógica. Wallis graduou-se bacharel em artes no início de 1637, estudando também teologia, anatomia, física, astronomia, geografia e matemática.
Por alguns anos ele foi capelão privado e ministro em Londres. Por desempenhar serviços valiosos como o de secretariar para a Assembléia de Teólogos, ele foi nomeado professor de geometria em Oxford, em 1649. Para muitos foi uma surpresa, pois suas realizações até então, tinham pouco a ver com a matemática.
Uma das obras mais importantes escritas por ele é o tratado Mechanica, sive de
motu tractatus geometricus (1669 - 1671). Nele ele realizou estudos sobre o cálculo de
centros de gravidade, além de investigações acerca do movimento de corpos sob a ação da gravidade, e alguns problemas de impacto. Wallis estendeu suas investigações, estudando o comportamento dos corpos elásticos e inelásticos. Esta obra representou um grande avanço na matematização da mecânica, antecedendo os Principia de Newton. (SCRIBA, 2008)
A discussão feita por Wallis sobre o impacto dos corpos, em seu tratado, inicia com algumas considerações sobre da natureza dos corpos. No trabalho são apresentadas definições que diferenciam os corpos perfeitamente duros dos corpos macios e daqueles elásticos. Os corpos perfeitamente duros eram aqueles que não sofriam alterações em sua forma, nem perdiam nenhuma de suas características em qualquer momento de um impacto. Os corpos macios eram corpos do tipo da cera, argila, etc, que ao sofrerem algum impacto, se deformam, perdendo as características da sua forma original. A partir dessa caracterização, ele afirma que parte da força aplicada aos corpos dessa natureza, durante o choque, é usada para provocar essa deformação, por isso, a força não atua completamente no obstáculo que o corpo encontra. Como esse era um comportamento que se compreendia em termos de energia, era possível afirmar que a energia interna do corpo pode depender da sua deformação. A força viva perdida durante o impacto é equivalente ao calor provocado pelo mesmo.
A última categoria, os corpos elásticos, eram compreendidos como corpos que perdem a sua forma original no impacto, mas espontaneamente recuperam. Exemplo destes são as molas de aço que, logo após sefrerem uma deformação, se restituem.
No seu texto é possível encontrar algumas proposições acerca do impacto dos corpos macios. Por exemplo: um corpo, digamos um corpo A que se move ao longo da linha AA (esta linha une os corpos que entram em contato pelos seus centros de massa), colide com outro, o corpo B, que
se encontra em repouso (este não se move nem é impedido de se mover por nenhuma força externa), conforme apresentado na Figura 8. As velocidades e o peso de cada um dos corpos estão expressos em
Figura 8: Representação dos o choque entre os corpos A e B, e a marcação da linha AA, localizada exatamente no centro de gravidade dos corpos.
seguida:
𝒑 = 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝑨
𝒗 = 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒂 𝒑′= 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒃
𝒗′ = 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒃 = 𝟎
Depois do impacto, os dois corpos se moverão juntos com uma velocidade que é dada pela divisão do momentum pelo peso dos corpos juntos. O momentum é dado pelo produto do peso pela velocidade do corpo que se movem.
Assim, a velocidade comum aos corpos depois do impacto é dada por:
𝐕 = 𝒑𝒗
𝒑 + 𝒑′ (𝟏𝟎)
Um conceito importante utilizado por Wallis é o de vis impellens, ou força de impulsão, ou de impulso, que pode ser expressa exatamente pelo produto do peso do corpo pela velocidade do mesmo, (no caso do corpo A, 𝑝𝑣), o que ele também chama de
momentum. Dessa forma, a velocidade final encontrada anteriormente também pode ser a
razão entre a vis impellens do corpo A, que experimenta a velocidade 𝑣 e a soma dos pesos dos dois corpos. (DUGAS, 1988, p. 173)
É importante frisar que Wallis não fazia nenhuma distinção entre peso e massa dos corpos. Isso nos induz a tentar encontrar alguma semelhança com os conceitos de quantidade de movimento que vigora até os dias atuais.
As considerações apresentadas anteriormnte também foram utilizadas para compreensão da situação em que o corpo B agora se move com uma determinada velocidade, ainda muito menor do que a de A, na mesma direção. Assim, escrevemos a velocidade comum dos dois corpos depois do impacto assim:
𝐕 = 𝒑𝒗 + 𝒑′𝒗′
𝒑 + 𝒑′ (𝟏𝟏)
O que se obtém sempre pela divisão entre os momentos dos corpos pela soma dos seus pesos. Neste caso, temos que:
𝒑 = 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝑨
𝒗 = 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒂 𝒑′= 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒃
𝒗′ = 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒃
𝐨 𝐦𝐨𝐦𝐞𝐧𝐭𝐮𝐦 𝐝𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐫𝐩𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐦𝐨𝐯𝐞𝐦 = 𝐩𝐯 + 𝐩′𝐯′
A terceira situação que ele pretende explicar é a referente ao impacto quando o corpo B agora se se move com uma dada velocidade na direção oposta. Isto é, se a velocidade de B é igual a −𝑣’, a velocidade comum dos dois corpos é dada por:
𝐕 =𝒑𝒗 − 𝒑′𝒗′ 𝒑 + 𝒑′
É fácil perceber que as três equações apresentadas podem ser escritas se tomarmos o que atualmente chamamos de conservação da quantidade de movimento no caso dos corpos elásticos.
Quanto à magnitude do impacto Wallis também elenca várias considerações, dentre elas, podemos destacar a seguinte:
i. asumindo que em uma dada colisão, o corpo que colide possui a maior quantidade de momento, o corpo que recebe o impacto, recebe um momento tão grande quanto o que é perdido por este primeiro. Como os momentos perdido e recebido são produtos do impacto, é correto afirmar que o impacto é igual a duas vezes o decréscimo experimentado pelo maior momento (já que ele é igual ao ganho pelo outro corpo). (DUGAS, 1988, p. 175)
No caso dos corpos elásticos, Wallis se utilizou de um conceito de força elástica (vis elástica) para justificar o comportamento observado experimentalmente. A situação descrita por ele é a que segue:
ii. “Se um corpo colide com um obstáculo diretamente e se os dois corpos – ou apenas um deles – são elásticos, o primeiro corpo terá uma velocidade igual àquela que ele tinha antes do impacto e seguirá na mesma direção.”(DUGAS, 1988, p. 175)
A justificativa para a utilização do conceito de força elástica foi de que se a elasticidade não existe em um corpo, ele deve se comportar como os corpos macios, e as explicações já apresentadas são satisfatórias, no entanto, neste caso, a elasticidade do corpo provoca a mudança na direção do seu movimento, uma vez que ele sofre um recuo e não continua a se mover junto ao outro corpo com uma velocidade comum. Diante dessa observação Wallis afirma que “a força elástica não resiste como um simples
impedimentum, mas preferencialmente como uma força contrária reagindo com a mesma
energia que a compressão exige” (DUGAS, 1988, p. 175)
Dessa forma, como a energia é a mesma tanto na compressão quanto na reação, é óbvio afirmar que o impacto para um corpo que possui velocidade 𝑣 e um peso 𝑝 é dado por:
𝒏𝒐 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒊𝒔ã𝒐(𝟐): 𝒑𝒗 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒖𝒂(𝟑): 𝒑𝒗
𝑨 𝒎𝒂𝒈𝒏𝒊𝒕𝒖𝒅𝒆 𝒅𝒐 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒄𝒕𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 é 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂: 𝟐𝒑𝒗
A figura 9 expressa graficamente a situação.