Entre les deux lectures : quadratures par diff´ erences et transformationset transformations

Avant de venir aux notes qui accompagnent la deuxi`eme lecture de l’Arithmetica infi-nitorum, il faut rendre compte bri`evement de quelques notes que Whiteside a s´epar´ees des pr´ec´edentes et dat´ees du d´ebut 1665, bien qu’il me semble plus raisonnable de les faire re-monter `a une p´eriode ant´erieure<sup>39</sup>. L’int´erˆet de ces notes tient au fait que Newton s’appuie directement, sans aucune justification, sur l’algorithme exprim´e par l’´egalit´e (4.33). Dans ces notes, il explore mˆeme la possibilit´e d’appliquer cet algorithme g´en´eral, grˆace `a des transformations ou `a des comparaisons convenables, `a la quadrature de courbes exprim´ees par des ´equations enti`eres non reconductibles `a la forme y =

n

P

i=0

a_ixi. La tentative de New-ton n’eut pourtant pas de suites, et celui-ci se tourna bientˆot vers d’autres directions de recherches.

Des quatre exemples qu’il consid`ere, les deux premiers<sup>40</sup>exposent une m´ethode g´en´erale qu’on peut formuler comme suit. Supposons que deux courbes sont exprim´ees, par rapport au mˆeme syst`eme de coordonn´ees, par des ´equations w = f (x) et z = g(x) de la forme y =

n

P

i=0

aixqi (les qi´etant des exposants rationnels quelconques, que l’on peut supposer plus grands que−1). Si on pose y = z − w (avec z > w), il s’ensuit, quels que soient κ et ξ, que

Xξ

κ[z]−^Xξ

κ[w] =^Xξ

κ[y] (4.37)

Il suffira alors de carrer s´epar´ement les courbes d’´equation w = f (x) et z = g(x) pour obtenir la quadrature de la courbe exprim´ee par l’´equation y− g(x) + f(x) = 0.

Le premier exemple est parlant. En posant w =√ ax z =√ bx y = z− w (4.38)

(avec b > a), on obtient

y⁴− 2y2(a + b) x + (b− a)²x²= 0 (4.39) et, en accord avec l’´egalit´e (4.33) :

s  Xξ 0[y]  =² 3^ξ p ξh√ b−^√aⁱ (4.40)

Dans le troisi`eme et le quatri`eme exemple41, Newton consid`ere des courbes d´efinies par rapport `a des coordonn´ees non orthogonales, dont les ordonn´ees sont d´efinies en termes

39Cf. Newton (MP), I, 2, 3,§ 4, 242-244. La section 3 de la partie 2 du volume I des Mathematical Papers, contient les notes que Whiteside a ordonn´ees sous le titre “Miscellaneous Problems in Analytical Geometry and Calculus” [cf. ci-dessus, p. 163]. L’argument que Whiteside avance pour justifier sa datation [cf. ibid ., note 1, 242] est obscure et semble mˆeme sugg´erer une datation ant´erieure.

40Cf. Newton (MP), I, 2, 3,§ 4, [1] et [2], 242-243. 41Cf. Newton (MP), I, 2, 3,§ 4, [3] et [4], 243-244.

d’ordonn´ees orthogonales d’autres courbes. Dans le premier cas, il s’arrˆete bientˆot42, dans le deuxi`eme, il parvient `a carrer une courbe qu’il aurait pu ais´ement carrer par la m´ethode usuelle.

Bien qu’ing´enieuses, les proc´edures pr´ec´edentes ne pouvaient pas amener tr`es loin. En s’appuyant sur l’algorithme exprim´e par l’´egalit´e (4.33), elles posaient de surcroˆıt le probl`eme de la justification d’un tel algorithme. Lorsqu’il reprend, au d´ebut de 1665, la lecture de l’Arithmetica infinitorum, pour s’int´eresser `a la quadrature du cercle y obtenue par Wallis, Newton cherche d’embl´ee `a reformuler la m´ethode de ce dernier de telle sorte `

a qu’il ne soit amen´e qu’`a employer la version restreinte de cet algorithme exprim´e par l’´egalit´e (4.32).

4.3 Au d´ebut de 1665, la deuxi`eme lecture de

l’Arithmetica infinitorum : la quadrature par s´erie

du cercle et de l’hyperbole

Les notes accompagnant cette deuxi`eme lecture de l’Arithmetica infinitorum<sup>43</sup> se pr´esentent d’abord sous la forme d’un r´esum´e du trait´e de Wallis — et en particulier de sa deuxi`eme partie consacr´ee `a la quadrature du cercle (et de l’ellipse) —, mais elles se transform`erent tr`es vite en une occasion pour mettre `a l’´epreuve cette nouvelle version de la m´ethode de Wallis. Sans doute plus g´en´erale et plus agile que celle employ´ee une ann´ee auparavant pour carrer deux paraboles, la nouvelle m´ethode de Newton n’est pas sans s’appuyer sur des id´ees que ce dernier avait exploit´ees `a cette occasion.

4.3.1 Un court r´esume de l’Arithmetica infinitorum

Consid´erons d’abord, le r´esum´e de l’Arithmetica infinitorum44. Bien que Newton suive de tr`es pr`es le parcours du trait´e de Wallis, sa reconstruction porte les traces ´evidentes d’une attitude nouvelle.

En laissant de cˆot´e toute justification que Wallis avait donn´e pour ces r´esultats, Newton se concentre sur l’aspect algorithmique de la m´ethode, sur la structure et sur les propri´et´es formelles de celles qu’il semble interpr´eter comme des v´eritables op´erations non Alg´ebriques. Il souligne par exemple comment les s´eries de Wallis sont univoquement d´etermin´ees par des indices entiers, fractionnaires ou sourds45, comment les indices des s´eries compos´ees se trouvent en composant les indices des s´eries ´el´ementaires46, et comment les quadratures de Wallis s’obtiennent en op´erant sur les indices47. Toute la premi`ere partie du trait´e de Wallis est ainsi r´eduite `a un simple algorithme op´erant sur des indices et est r´eexpos´ee tr`es rapide-ment. Newton est ainsi tr`es vite `a mˆeme conditions d’aborder la deuxi`eme partie de ce trait´e qui s’ouvre, comme on l’a vu dans le chapitre 2, avec la pr´esentation du r´esultat exprim´e par l’´egalit´e (2.38), que Newton consid`ere comme relevant des “surfaces [...] compos´ees par

42Cf. Newton (MP), I, 2, 3,§ 4, note (11), 243. 43Cf. la note (4), ci-dessus. 44Cf. Newton (MP), I, 1, 3,§ 3, [1], 96-104. 45Cf. Newton (MP), I, 1, 3,§3, [1], 96-97. 46Cf. Newton (MP), I, 1, 3,§3, [1], 97-98. 47Cf. Newton (MP), I, 1, 3,§3, [1], 98.

deux ou plusieurs [...] s´eries” telles queP

r, et comme ´etant susceptible de donner les “aires” de ces surfaces48.

Parmi ces surfaces, Newton ne consid`ere que celles d´elimit´ees par les courbes qu’il ex-prime par les ´equations49 :

y = (a²− x2)⁰= u y = (a²− x2)¹= a²− x2 y = (a²− x2)²= a⁴− 2a2x²+ x⁴ y = (a2 − x2)3= a6 − 3a4x2+ 3a2x4 − x6 &c. (4.41)

Et il rappelle que ces surfaces ont respectivement les rapports de 1 `a 150, de 2 `a 3, de 8 `

a 15, de 48 `a 105, avec les parall´elogrammes circonscrits. Si on interpole cette succession d’´equations, en introduisant les “termes”

y = (a²− x2)⁰√ a2− x2=√ a2− x2 y = (a²− x2)¹√ a2− x2= (a²− x2)√ a2− x2 y = (a²− x2)²√ a2− x2= a⁴− 2a2x²+ x⁴
√a2− x2 &c. (4.42)

respectivement, entre le premier et le deuxi`eme terme, entre le deuxi`eme et le troisi`eme, entre le troisi`eme et le quatri`eme, etc., on obtient, selon Newton, une nouvelle succession d’´equations exprimant des courbes qui “observent une progression g´eom´etrique”. De l`a il s’ensuit que les aires de ces courbes “doivent observer quelque type de progression”, en particulier elles doivent former la progression51

 1, ,²₃,∗, ⁸ 15^,∗, ⁴⁸ 105^,∗,³⁸⁴ 945^,∗, ³⁸⁴⁰ 10395^{, . . .}  (4.43) On en conclut que le deuxi`eme terme de cette progression, donne “l’aire de la courbe y = √

a2− x2, [c’est-`a-dire] le cercle”52.

Le mˆeme raisonnement s’applique aussi — observe Newton, en continuant `a reconstruire `

a sa mani`ere l’argument de Wallis — aux courbes d’´equations y = (ax− x2)⁰2 = u y = (ax− x2)¹2 =√ ax− x2 y = (ax− x2)²2 = a²− x2 y = (ax− x2)³2 = (ax− x2)√ ax− x2 &c. (4.44)

48Cf. Newton (MP), I, 1, 3,§3, [1], 99. Les termes “surfaces [superficies]” et “aires [area]” sont naturel-lement de Newton. Je suppose que le premier se r´ef`ere `a une figure plane quelconque et le second ait la signification que je lui assign´ee ci-dessus [cf. pp. 176 et suiv.].

49Bien qu’il la consid`ere implicitement, Newton n’´ecrit pas, en v´erit´e, la premi`ere de ces ´equations. 50_{Evidemment, Newton n’indique pas ce rapport [cf. la note (49), ci-dessus].}´

51On remarque que, apr`es avoir identifi´e les rapports2 3, 8

15, 48

105, avec les rapports des aires des courbes consid´er´ees avec les parall´elogrammes circonscrits, Newton les identifie maintenant avec ces aires elles-mˆemes, en supposant que l’aire des parall´elogrammes circonscrits est `a chaque fois donn´ee par les segment unit´e. On remarque aussi que, pour la fa¸con dont il est utilis´e, le symbole “” indique ici le rapport r´eciproque au rapport que Wallis indique par ce mˆeme symbole [cf. la note 62 du chapitre 2].

dont les aires forment la progression  1, ,¹₆,∗, ¹ 30^,∗, ¹ 140^,∗, ¹ 630^{, . . .}  (4.45) qui est telle que son deuxi`eme terme nous donne aussi l’aire du cercle, car il indique le rapport entre un demi-cercle et le carr´e construit sur son diam`etre53.

Apr`es avoir observ´e que les successions (4.43) et (4.45) peuvent ˆetre r´eduites `a des suc-cessions plus simples, en les multipliant terme `a terme par des successions g´eom´etriques convenables, ou en les additionnant ou les soustrayant entre elles terme `a terme (ce que Wallis n’avait pas remarqu´e) — , Newton compl`ete la succession (4.43) en remplissant les places vides avec les multiples rationnels de  donn´es par la troisi`eme ligne de la ma-trice (2.59). Enfin, en passant aux inverses54, il retrouve, en appliquent le mˆeme argument appliqu´e par Wallis, l’encadrement (2.72), et, en s’appuyant sur un argument diff´erent et plus simple que celui de Wallis, un autre encadrement de , qui converge n´eanmoins plus lentement que l’encadrement (2.72)55.

4.3.2 La quadrature du cercle

Cette reconstruction, assez libre en v´erit´e, du parcours de Wallis est d’autant plus int´eressante qu’elle pr´econise la nouvelle m´ethode de quadrature que Newton pr´esente tout de suite apr`es, en l’appliquant d’embl´ee `a la quadrature du cercle et de l’hyperbole⁵⁶.

Le premier probl`eme que Newton aborde57, d`es qu’il a termin´e de r´ediger son r´esum´e, est le suivant :

Having the signe [le sinus] of any angle to find the angle or to find the content of any segment of a circle.58

Comme on le voit d’embl´ee, il s’agit d’un probl`eme tr`es diff´erent de celui que Wallis avait abord´e dans la deuxi`eme partie de l’Arithmetica infinitorum : Newton ne se limite pas `a ajouter au probl`eme de la quadrature du cercle le probl`eme de la d´etermination de

53Il est donc clair que le symbole “” n’a pas la mˆeme signification dans les successions (4.43) et (4.45). 54Cf. la note (51) ci-dessus.

55Cf. Newton (MP), I, 1, 3,§ 3, [1], 102-104. Aujourd’hui on exprimerait le nouvel encadrement trouv´e par Newton par le biais des in´egalit´es suivantes :

j−1 Y i=1 (2i + 1)² (2i)(2i + 1)^< 4 π ^< 2j + 1 2j j−1 Y i=1 (2i + 1)² (2i)(2i + 1) valables pour tout nombre entier positif diff´erent de z´ero.

56Il est ais´e de noter que les ´equations 4.41, 4.42 et 4.44 ne sont pas, en g´en´eral, homog`enes. On peut pourtant les consid´erer comme ´etant des sch´emas d’´equations, exprimant des courbes `a la rigueur diff´erentes selon le choix du segment unit´e. Comme il ne s’agit que de carrer ces courbes, il suffira alors de supposer que l’aire de ces courbes est calcul´ee relativement au mˆeme segment unit´e. Ceci vaut aussi pour la m´ethode de quadrature propos´ee par Newton. Les courbes que ce dernier consid`ere sont pourtant toutes exprim´ees en termes d’un segment unit´e, de sorte que l’on peut supposer que ce mˆeme segment unit´e sert de facteur d’homog´en´eisation, lorsque les ´equations exprimant ces courbes ne sont pas homog`enes. Comme les aires que Newton parvient `a d´eterminer seront exprim´ees par des s´eries enti`eres non homog`enes, on devra alors supposer que les produits intervenant dans ces s´eries sont r´ef´er´es `a ce mˆeme segment.

57Cf. Newton (MP), I, 1, 3,§ 3, [2], 104-111. 58Cf. Newton (MP), I, 1, 3,§ 3, [2], 104.

l’arc-sinus d’un sinus donn´e ; en introduisant une nouveaut´e bien plus profonde par rapport `

a l’approche de Wallis, il con¸coit d’embl´ee le probl`eme de la quadrature du cercle comme ´etant le probl`eme de la d´etermination de l’aire (“the content ”, comme dit Newton) d’un secteur circulaire quelconque. Cela signifie non seulement que pour lui carrer une courbe revient `a en d´eterminer l’aire, mais aussi qu’il imagine la possibilit´e de d´eterminer non pas une aire constante, telle que celle d’un quart de cercle, d’un demi-cercle, ou d’un cercle, mais une aire variable, comme celle d’un secteur circulaire. C’est justement ce que Wallis n’avait pas su faire, et qu’il n’avait mˆeme pas eu le courage de chercher `a faire.

Naturellement, il ne faut pas penser ici le sinus et l’arc-sinus comme ´etant des fonctions transcendantes, dont le domaine est un sous-ensemble de l’ensemble des nombres r´eels. Ceux-ci ne sont qu’un rapport et un angle variables, dont les valeurs d´eterminent le secteur circulaire qu’il s’agit de carrer. Si on suppose que le rayon du cercle en question est le segment unit´e, ou est de toute fa¸con un segment connu, alors on peut identifier le sinus avec un segment variable. C’est ce segment que Newton choisi comme ´etant la variable ind´ependante de ses deux probl`emes. Quant `a la relation entre ces deux probl`emes (qui du point de vue de Wallis et de la g´eom´etrie classique sont essentiellement distincts), elle devient ´evidente d`es que l’on pense le premier probl`eme comme consistant `a d´eterminer l’aire d’un secteur angulaire variable.

En suivant l’ordre choisi par Newton, consid´erons d’abord le premier de ces probl`emes. Soit BMN1C (fig. 3) l’arc d’un quart de cercle de rayon unitaire d´etermin´e par l’angle BbAN1, qu’on va concevoir comme ´etant une valeur de l’angle variable BbAM correspondant au point courant M<sup>59</sup>. Les segments variables AP et PM, seront alors respectivement le sinus et le cosinus de ce dernier angle. Si on r´ef`ere l’arc de cercle BMN1C `a l’axe AH d’origine A et que l’on prend, `a partir de cet axe, des ordonn´ees orthogonales, alors on peut poser AP = x et PM = y, ce qui donne pour l’arc de cercle BMN1C l’´equation⁶⁰

y =^pu− x2 (4.46)

Si on pose AQ = ξ, il s’ensuit que le trap´ezo¨ıde BN1QA est constitu´e par la totalit´e des ordonn´ees y d´etermin´ees par cette ´equation, prise entre les valeurs x = 0 et x = ξ de x. Pour en trouver l’aire en suivant la m´ethode que Newton avait mis au point apr`es sa premi`ere lecture de l’Arithmetica infinitorum, il faudrait chercher une autre grandeur g´eom´etrique ´equivalente `a cette totalit´e, dont on connaˆıt la mesure dans le domaine des segments. Cette recherche semble pourtant destin´ee `a l’´echec, et cela explique que Newton essaie de r´esoudre le probl`eme par une autre voie, une voie qui lui est sugg´er´ee par le r´esum´e pr´ec`edent du trait´e de Wallis.

L’´equation (4.46) peut ˆetre pens´ee comme ´etant le deuxi`eme terme d’une succession

59La notation avec indices n’est naturellement pas due `a Newton. Newton ne distingue non plus explici-tement entre le point courant M et le point N1.

60En suivant la suggestion de Descartes, Newton note directement le segment unitaire donnant le rayon du cercle consid´er´e par la chiffre “1” [cf. la note (65) du chapitre 1]. Pour ´eviter toute confusion entre deux objets, un nombre et un segment, qui du point de vue de Newton ne peuvent que rester bien distincts entre eux, je pr´ef`ere noter ce segment par la lettre “u”, comme dans le chapitre 1.

d’´equations analogue `a la succession (4.44) : y₀= (u− x2)⁰2 = u y1= (u− x2)¹2 =√ u− x2 y₂= (u− x2)²2 = u− x2 y3= (u− x2)³2 = (u− x2)√ u− x2 y4= (u− x2)⁴2 = u²− 2ux2+ x⁴ &c. (4.47)

exprimant respectivement, par rapport au mˆeme syst`eme de coordonn´ees, les courbes BN₀D, BN₁C, BN₂C, BN₃C, BN₄C, &c. Or, observe Newton61,

since all the ordinately applyed lines in these figures BDCQ, BN1CQ, BN2CQ, BN3CQ &c. are geometrically proportionall their areas BN0QA, BN1QA, BN2QA , BN3QA, BN4QA, &c. will observe some proportion amongst one another. Le probl`eme sera alors celui de d´eterminer de quelle “proportion” il s’agit.

Pour ce faire, Newton commence par carrer les courbes exprim´ees par les ´equations de place impaire62 : s [BN₀QA] = s  Xξ 0[y₀]  = ξ s [BN2QA] = s  Xξ 0[y2]  = ξ−¹ 3^ξ 3 s [BN₄QA] = s  Xξ 0[y₄]  = ξ−² 3^ξ 3+¹ 5^ξ 5 s [BN6QA] = s  Xξ 0[y6]  = ξ−³ 3^ξ 3+³ 5^ξ 5 −¹ 7^ξ 7 s [BN₈QA] = s  Xξ 0[y₈]  = ξ−⁴ 3^ξ 3+⁶ 5^ξ 5 −⁴ 7^ξ 7+¹ 9^ξ 9 &c. (4.48)

Il ne fournit aucun argument pour justifier ces r´esultas. Il est n´eanmoins clair qu’il les obtient en appliquant l’algorithme exprim´e par l’´egalit´e (4.32)⁶³, qu’il ne fait ainsi que supposer.

61Cf. Newton (MP), I, 1, 3,§3, [2], 104-105. Je corrige une erreur d’´ecriture ´evidente de Newton [cf. ibid., note (46), 105].

62Les symboles “s [BN2iQA]” (i = 0, 1, 2, ...) ne sont ´evidemment pas de Newton, qui se limite `a ´egaliser les polynˆomes

i P j=0 1 2j+1  i j 

x^2j+1aux trap´ezo¨ıdes BN2iQA [cf. Newton (MP), I, 1, 3,§ 3, [2], 105-106]. 63Si η, µ et m sont des nombres entiers positifs, d’apr`es cet algorithme, on obtient en v´erit´e

s  Xξ 0[ηu^µx^m]  = ^η m + 1uµξ^m+1

mais, conform´ement `a la d´efinition de la multiplication dans l’Alg`ebre des Descartes, on a uµξm+1: u = u^µ−1ξm+1: u

En partant de ces pr´emisses, tr`es diff´erentes de celles de Wallis, l’argument de Newton est de loin plus simple et direct que celui de ce dernier, et il est `a mˆeme de conduire d’embl´ee `a une conclusion plus g´en´erale. Au lieu de chercher une double interpolation de la matrice donnant le triangle de Pascal — pens´ee comme une matrice donnant les valeurs du rapport (2.49) pour les diff´erentes valeurs de p et de λ —, en visant la d´etermination d’un rapport constant, Newton va chercher `a interpoler une seule fois, et seulement entre les colonnes, cette mˆeme matrice — en la pensant plutˆot comme une matrice donnant les (valeurs absolues des) num´erateurs des coefficients num´eriques des polynˆomes intervenant dans les ´egalit´es (4.48) —, en visant la d´etermination des coefficients num´eriques d’autres polynˆomes de la mˆeme forme, donnant les aires des courbes exprim´ees par les ´equations de place paire dans la succession d’´equations (4.47). Les polynˆomes exhib´es par les ´egalit´es (4.48) sont en fait tous de la mˆeme forme : ils ne comprennent que des puissances impaires de ξ et leurs coefficients sont des nombres fractionnaires `a signes altern´es, dont le d´enominateur est ´egal `a l’exposant de la puissance de ξ qu’ils affectent. Si l’on suppose que les aires des courbes exprim´ees par les ´equations de place paire dans la succession d’´equations (4.47) sont exprim´ees par des polynˆomes de la mˆeme forme, il suffit, pour d´eterminer enti`erement ces polynˆomes, de d´eterminer les num´erateurs de ses coefficients num´eriques, en exploitant la loi qui lie entre eux les num´erateurs des coefficients num´eriques des polynˆomes exhib´es par les ´egalit´es (4.48).

Raisonner de cette mani`ere signifie concentrer son attention seulement sur ces derniers polynˆomes, en consid´erant ceux-ci ind´ependamment des courbes dont ils expriment les aires. Lorsque ces polynˆomes sont consid´er´es de cette mani`ere, pour interpoler la succession `a laquelle ils appartiennent il faut comprendre la raison qui fait qu’ils s’arrˆetent apr`es un certain nombre de termes comme ´etant une cons´equence d’une r`egle qui ne fait r´ef´erence ni `

a la nature des courbes dont ils expriment les aires, ni `a leur place dans cette succession. En effet, la r`egle ´evidente N_ν = 2ν− 1 (ν = 1, 2, 3, . . .) — o`u Nν est l’ordre du ν-i`eme polynˆome dans la succession de polynˆomes exhib´es par les ´egalit´es (4.48), exprimant l’aire du trap´ezo¨ıde BN_2(ν−1)QA — donne, lorsqu’elle est appliqu´ee `a des valeurs interm´ediaires de ν entre 1 et 2, 2 et 3, . . . (c’est-`a-dire aux valeurs 3

2,5 2,7

2, . . . ), des valeurs paires de N_ν, ce qui est incompatible avec l’hypoth`ese que les polynˆomes qu’il faut d´eterminer aient la mˆeme forme que les polynˆomes intervenant dans les ´egalit´es (4.48).

L’id´ee de Newton est simple et g´eniale : apr`es avoir observ´e que les num´erateurs des coefficients num´eriques des polynˆomes exhib´es par les ´egalit´es (4.48) constituent les entr´ees successives de la matrice de nombres figur´es d´ej`a ´etudi´ee par Wallis — ce qui pour nous est le triangle de Pascal —, il compl`ete cette matrice avec l’introduction d’une infinit´e de z´eros ; il pense, en d’autres termes, les polynˆomes exhib´es par les ´egalit´es (4.48) comme des polynˆome infinis dont les coefficients s’annulent au-del`a d’une certaine puissance de ξ. Si on forme une matrice dont les entr´ees G_[i,j] (i, j = 0, 1, 2, . . .) sont respectivement les coefficients qui affectent les produits (−)i 1

2i+1ξ²ⁱ⁺¹ (i = 0, 1, . . .) dans ces polynˆomes, on obtient la matrice suivante :

et de l`a il s’ensuit ´evidemment que :

j 0 1 2 3 4 5 6 7 . . . i 0 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 1 0 1 2 3 4 5 6 7 . . . 2 0 0 1 3 6 10 15 21 . . . 3 0 0 0 1 4 10 20 35 . . . 4 0 0 0 0 1 5 15 35 . . . 5 0 0 0 0 0 1 6 21 . . . 6 0 0 0 0 0 0 1 7 . . . 7 0 0 0 0 0 0 0 1 . . . .. . .._. .._. .._. .._. .._. .._. .._. .._. . ._. (4.49)

dont tous les termes sont donn´es, `a partir des termes G_[0,j]= 1 (j = 0, 1, 2, . . .) et G_[i,0]= 0 (i = 1, 2, . . .), par la loi r´ecursive

G_[i,j]= G_[i,j−1]+ G_{[i−1,j−1]} (4.50) qui caract´erise le triangle de Pascal64. Pour connaˆıtre l’ordre du ν-i`eme polynˆome, il suffit alors de chercher, selon cette loi, les entr´es de la colonne j = ν− 1 et de v´erifier `a partir de quelle ligne ces entr´ees prennent la valeur 0.

`

A partir de ce point, les notes de Newton deviennent lapidaires. Celui-ci ´ecrit, sans