Le théorème de l’énergie cinétique devient 1

F F F F

1. Désignons parvsla vitesse de la masse au niveau du sol, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le théorème de l’énergie cinétique donne alors, en l’absence de frottement,

1

2.m.v_s²−1

2.m.v²₀ =m.g.h,

m.g.h étant le travail du poids de la masse pendant sa chute. Ainsi, après multiplica-tion des deux membres par 2, simplificamultiplica-tion par m, passage dev²₀dans le membre de droite de la relation et prise de racine carrée, il vient :

vs = 2.g.h +v²₀, soit, numériquement :vs = 2×10×50 + 10² =√

1 100≈33 m.s⁻¹, ce qui rend l’assertion 1 fausse.

2. Au sol l’énergie cinétique sera, toujours d’après le théorème de l’énergie cinétique, Ec=m.g.h+1

2.m.v²₀. Soit, numériquement,Ec =1×10×50+0,5×1×10² =550 J, invalidant la proposition.

3. Le théorème de l’énergie cinétique devient 1

2.m.v²_s −1

2.m.v₀²=m.g.h−F.h,

m.g.h étant toujours le travail du poids de la masse pendant sa chute et−F.h le travail de la force de frottement de l’air, supposée constante, durant la chute. La vitesse au sol est alors ce qui ne correspond pas à la valeur proposée.

4. Au sol l’énergie cinétique sera, toujours d’après le théorème de l’énergie cinétique, Ec=m.g.h−F.h + 1

2.m.v²₀.

Soit, numériquement,Ec=1×10×50−1×50 + 0,5×1×10²=500 J, invalidant à nouveau la proposition.

Songez à utiliser le théorème de l’énergie cinétique lorsqu’il n’y a pas de lois horaires demandées.

1 Mécanique Corrigés

Le référentiel dans lequel est étudiée la chute devait être supposé galiléen, précision sans laquelle le théorème de l’énergie cinétique que vous connais-sez ne saurait être appliqué.

Par ailleurs, ceux qui seraient génés par l’absence d’indication sur l’orien-tation de la vitesse initiale, à savoir, vers le haut ou vers le bas dans le cas d’un mouvement unidimensionnel (ce qui, au passage, n’est pas explici-tement annoncé) examineront les deux situations. Ils constateront qu’elles conduisent, en l’absence de frottement de l’air, au même résultat final : en effet, après la phase de montée, la masse repasse au niveau de son point de lancement avec une vitesse de même norme que celle qu’elle possédait au moment de son lancement vers le haut, mais avec une orientation oppo-sée, désormais dirigée vers le bas. En revanche, en présence du frottement de l’air, il n’y a plus équivalence des deux situations : si la vitesse est ini-tialement orientée vers le haut, après sa montée, elle repassera au niveau de son point de lancement avec une vitesse inférieure en norme à celle de son lancement ; en effet, une partie de l’énergie cinétique initiale a déjà été dissipée par frottement dans l’air à ce moment-là.

Les demandes sur les valeurs de l’énergie cinétique auraient dû être expli-citement complétées par la précision des instants auxquels on souhaitait obtenir ces quantités, par exemple « lorsque la masse touche le sol » ou tout autre.

Enfin, il faut toujours se demander si l’unité dans laquelle une donnée est présentée est l’unité légale.

9

a. b. c. d.

F V F F

a. Observez sur la courbe de l’altitude z en fonction du temps que z(t) est approxi-mativement linéaire à partir de t =8 s : son mouvement est donc rectiligne uniforme à partir de cet instant. La proposition a. est donc fausse.

b. La dimension de la force est M.L.T⁻²; d’après l’expression qui en est don-née, sa dimension [ f ] = [h] · [R]· [v] conduit à [h] = [ f ]/([R]·[v]), d’où [h] = M · L · T⁻²/ L · L · T⁻¹ = M · L⁻¹ · T⁻¹ et son unité s’en déduit : kg.m⁻¹.s⁻¹, validant la proposition b.

c. La différence d’altitude entre les instants t1 = 8 s et t2 = 16 s, Dh vaut z₂−z₁≈ −8 m, donc la vitesse limite est égale àDh/(t₂−t₁)≈ −8/8≈ −1 m.s⁻¹. La valeur de la vitesse limite atteinte par la goutte est ainsi−1 m.s⁻¹ce qui invalide l’affirmation.

Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit

Corrigés _{1 Mécanique}

d. La goutte d’eau tombe sous l’effet de son poids, mg = 4

3pR³rg et de la force de freinage f . Une fois le régime transitoire achevé, la goutte possède une vitesse constante et en supposant le référentiel galiléen, l’application du principe fondamen-tal de la dynamique au centre d’inertie de la goutte donne pendant cette phase du mouvement

L’assertion est donc fausse, puisque la vitesse limite est proportionnelle au carré du rayon de la goutte.

En toute rigueur, il faudrait aussi tenir compte de la poussée d’Archimède de la goutte dans l’air, Pa = −4

3pR³rairg dans le bilan des forces et la vitesse limite deviendrait alors :

vl = 2 9

R²

h (r−rair) g.

Cela ne modifie en rien la dépendance de la vitesse limite en fonction du rayon de la goutte.

Pour répondre à l’assertion c. vous deviez faire attention à l’échelle données pour l’axe des ordonnées. Par ailleurs, l’expression « la valeur de... » est imprécise : s’agit-il de valeur algébrique, c’est-à-dire de la projection du vecteur vitesse sur le vecteur unitaire, orienté vers le haut d’après les valeur des ordonnées, ou de la norme, c’est-à-dire la valeur absolue lorsqu’on est à une dimension ?

10

1. 2. 3. 4.

F F F F

1. Dans ce premier modèle, la goutte tombe sous l’effet de son seul poids mg. Si on suppose le référentiel terrestre comme galiléen, le principe fondamental de la dyna-mique appliqué au centre d’inertie de la goutte donne mdv

dt =mg soit une accéléra-tion dv

dt =g. Posez O M =x(t)x + y(t)y + z(t)z, comme d’après l’énoncé g =gy,

1 Mécanique Corrigés

la projection du principe fondamental de la dynamique sur les vecteurs de la base conduit à ¨x(t)=0, ¨y(t)=g et ¨z=0. En supposant que la vitesse tombe sans vitesse initiale, vous intégrez chacune de ces trois équations par rapport au temps et vous obtenez : ˙x(t) = 0, ˙y = gt et ˙z = 0. Enfin, une nouvelle intégration par rapport au temps vous conduit aux équations horaires suivantes, en tenant compte de l’ori-gine du repère de projection prise à l’endroit où la goutte quitte le nuage : x(t) =0, y(t) = 1

2gt² et z(t) = 0. Il y a donc un signe «−» en trop à l’équation horaire proposée , qui de ce fait est fausse.

2. L’application du théorème de l’énergie cinétique entre l’instant où la goutte d’eau