1 Mécanique Corrigés
5. La dimension de la constante de l’attraction universelle est :
[G] =[F]·[d2]/[m2] soit [G] =M L T−2L2/M2 =L3/ M T2 . L’unité de la constante en découle m3.s−2.kg−1.
6. L’expression désirée correspond à celle de l’accélération centripète dans le repère de coordonnées polaires : aL =− v2L/dT L ·u.
7. La Lune est soumise à la seule force de gravitation universelle ; ainsi, mLaL =F, soit, en utilisant l’expression de la force donnée à la question 4. et en simplifiant par mL, aL =− GmT/dT L2 u.
8. Voir sur le schéma ci-dessus. La vitesse est tangente à la trajectoire et orthogo-nale à la force. L’égalité des deux expressions de l’accélération de la lune conduit à v2L/dT L = GmT/dT L2 d’où v2 = GmT/dT L, soit vL = GmT/dT L; numérique-ment,vL = 6,67.10−11×5,980.1024/3,872.108≈1 015 m.s−1.
La période de révolution de la lune est donnée par le rapport de la longueur de la trajectoire de la lune 2pdT L par la vitessevL à laquelle elle est parcourue :
Tr = 2pdT L
vL = 2pdT L3/2 (GmT)1/2. Numériquement,
Tr =2×p×(3,872.108)(3/2)/(6,67.10−11 ×5,98.1024)(1/2)≈2,397.106s, ce qui donne 27 j 17 h 50 mn 7 s.
20
a. b. c. d.
V F V V
a. Le point, en mouvement circulaire, n’est soumis qu’à la force d’attraction univer-selle : son accélération est normale ; or, dans le repère de Frenet, cette accélération a= dv
dt t + v2
R n, oùvest la vitesse du point, R le rayon de courbure de la trajectoire et t le vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens de celle-ci, se
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Corrigés 1 Mécanique
réduit à a = v2
R n = GMT
R2 n où n est le vecteur unitaire de même direction et de même sens que la force d’attraction. Comme la trajectoire est de plus circulaire, alors R est constant etvest donc constante : le mouvement circulaire est nécessairement uniforme.
b. Dans l’expression de l’accélération, le rayon de courbure est R =RT+h et non RT. Comme la vitesse est égale à la circonférence de la trajectoire divisée par la période, v=2p(RT + h)/T et ainsi, c. L’application de la troisième loi de Kepler donne
T2= 4p2(RT + h)3
d. Un satellite géostationnaire orbite autour de la Terre en 24 h et possède donc une vitesse angulaire 2p/T inférieure à celle de la navette spatiale.
21
a. b. c. d.
F F V V
1. Le module de la force d’attraction exercée par MT sur m est F = GmMT
(R + h)2.
En effet, c’est la distance entre l’objet et le centre de la Terre qui intervient au déno-minateur.
2. L’accélération de la pesanteur à la surface de la Terre est à peu près égale au module du champ de gravitation au point considéré. À savoir g ≈ GMT/R2 soit MT ≈gR2/G ; numériquement, MT ≈10× 6,7.106 2/6,7.10−11 ≈6,7.1024kg.
1 Mécanique Corrigés
3. L’énergie mécanique Em de l’objet en l’absence de frottements est conservée ; or, par définition, cette énergie est égale à la somme des énergies cinétique et potentielle, soit Em =Ec+ Ep. À l’altitude h et sans vitesse initiale, l’énergie mécanique vaut :
Em =−GmMT
(R + h) ; au sol, elle devient :
Em =−GmMT
R +1
2mv2. Ainsi, au sol, la vitesse atteinte est-elle donnée par la relation
−GmMT/(R + h)=−GmMT/R + (1/2)mv2; en simplifiant par m et en remplaçant GMT par gR2, on obtient
(1/2)v2−gR =−gR2/(R + h)
puis v2 = 2gR−2gR2/(R + h) et, en mettant 2gR en facteur dans le membre de droite de la dernière relation
v2=2gR 1− R (R + h) ,
enfin, en prenant la racine carrée des deux membres, on retrouve l’expression donnée, qui est donc vraie.
4. L’énergie mécanique de l’objet à l’altitude h qui permet la libération doit être posi-tive car la libération signifie que l’objet va à l’infini, donc que son énergie potentielle devient nulle, et, qu’à l’infini, sa vitesse soit encore non nulle. Ainsi, à la limite, Em =−GmMT/(R + h) + (1/2)mv2l =0 soit, en simplifiant par m et en isolantvl, la relation donnée par l’énoncé qui de ce fait est vraie.
Il convient de se rappeler la distinction entre champ de pesanteur et champ de gravitation. Le champ de gravitation créé en un point Q par une masse M située au point P est le rapport de la force d’attraction universelle qu’exercerait la masse M sur une masse m située en Q à la masse m en question. La force d’attraction universelle que M en P exerce sur m en Q est
FP→Q =−GmM P Q P Q 3.
Ainsi, notéG(Q), le champ de gravitation en Q est défini par la relation FP→Q =mG(Q).
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Corrigés 1 Mécanique
Le champ de pesanteur g(Q) en un point Q est la somme du champ de pesanteur en Q et de l’effet centrifuge en ce point dû à la rotation de la Terre sur elle-même ; cet effet est traduit par une accélération d’entraînement aie(Q)=−v2H Q, oùv est la vitesse angulaire de la Terre dans sa rotation propre et H le projeté orthogo-nal du point Q sur l’axe de rotation. Par conséquence,
g(Q)=G(Q)−aie(Q)=G(Q) +v2H Q.
Le terme correctif est nul aux pôles, puisque Q et H sont alors confon-dus et maximum sur l’équateur où le terme correctif v2 H Q est v2R, R étant le rayon équatorial terrestre, soit, numériquement de l’ordre de (2p/(24× 60×60))2×6,4.106≈3,4.10−2m.s−2.
1.6 Pendule simple 22
a. b. c. d.
F V V V
a. La masse n’intervient pas dans l’expression de la période des oscillations du pen-dule qui est égale à T0=2p l
g.
b. Le système est conservatif, donc, à tout instant, son énergie mécanique est égale à son énergie mécanique initiale. Or, celle-ci est égale à l’énergie potentielle initiale puisque la vitesse initiale du pendule est nulle. Ainsi, en désignant par Ec l’énergie cinétique et Ep l’énergie potentielle de pesanteur, Em = Ec + Ep = Ep0. Or, à l’instant initial, l’énergie potentielle vaut mgh0, h0représentant l’altitude initiale du pendule par rapport à son point le plus bas, soit h0=l (1−cosa). Numériquement, Em =10−2×10×1×(1−0,99)=10−3J=1 mJ.
c. La vitesse maximale est atteinte lorsque l’énergie cinétique de la masse est elle-même maximale et donc lorsque son énergie potentielle est minimale. Or, la constitu-tion du pendule et le niveau de référence choisi pour l’énergie potentielle font que sa valeur minimale est égale à 0 J ; alors l’énergie cinétique est égale à l’énergie méca-nique, soit Em = 1
2mvmax2 , d’oùv2max=2Em/m etvmax = 2Em/m.
d. D’aprés l’expression qui précède, lorsque la vitesse vaut vmax/2, l’énergie ciné-tique devient à 1
1 Mécanique Corrigés
L’énergie mécanique du pendule à l’instant t est la somme de son énergie ciné-tique et de son énergie potentielle à cet instant, soit : Em = 1
2mv2 + Ep. Or l’énergie potentielle à l’instant t est égale à mgh(t) où h(t) est l’altitude de la masse par rapport au plan horizontal de référence choisi à l’instant t, soit h =l (1−cosu(t)), avecu(t) écart angulaire du pendule à l’instant t par rapport à la verticale descendante (cf. schéma ci-dessous).
Figure 1.21
À l’instant t, la vitesse de la masse est égale l ˙u(t) et son énergie cinétique s’exprime par 1
2ml2u˙2(t). Ainsi, Em = 1
2ml2u˙2(t) + mgl (1−cosu(t))
L’énergie se conserve au cours du temps puisque les phénomènes dissipatifs sont négligés ; sa dérivée par rapport au temps est donc égale à 0.
d Em
dt =0= 1
2ml2·2˙u(t)·u(t) + mgl ˙¨ u(t) sinu(t), en factorisant ml ˙u(t), il vient
0=ml ˙u(t) l ¨u(t) + g sinu(t) .
Or, au cours du mouvement,uvarie et donc ˙u=0 sauf aux instants particuliers où le pendule atteint son altitude maximale. Il en résulte que la nullité de l’expression n’est satisfaite à tout instant que si
0=l ¨u(t) + g sinu(t)
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Corrigés 1 Mécanique
soit 0=u(t) +¨ g
l sinu(t).
Pour les anglesuexprimés en radians et petits en valeur absolue par rapport à 1, sinu≈uet l’équation différentielle du mouvement devient
0=u(t) +¨ g lu(t).
On reconnaît dans cette expression l’équation différentielle d’un oscillateur har-monique de pulsation proprev0= g/l et donc de période
T0=2p/v0=2p l/g.
23
1. 2. 3. 4.
V F V V
1. La situation est identique à celle de l’exercice précédent. L’altitude de la masse m par rapport au plan de référence, lorsque sa position estu(t), est donc positive et égale à l (1−cosu) ; l’énergie potentielle dans la positionu(t) est ainsi mgl (1−cosu(t)).
2. L’expression est inhomogène puisque le membre de droite de la relation proposée a pour dimension M L2T−1 et non M L2T−2 comme il le faudrait. I’expression
3. L’énergie mécanique totale, E, somme des énergies cinétique Ecet potentielle Ep
au même instant t, est constante puisque les frottements sont supposés inexistants.
Elle peut donc être déterminée à n’importe quel instant et donc en particulier à l’ins-tant initial pour lequelu0 = 0 et du
dt 0 = a g
l ; l’énergie potentielle initiale est donc nulle et l’énergie cinétique Ec = 1
2mv20 avecv0 =l du