4 Physique atomique et nucléaire Corrigés
4. Il suffit de montrer que le défaut de masse est négatif et donc que la réaction libère de l’énergie. Le défaut de masse Dm est la différence entre la somme des masses des
4.2 Désintégrations radioactives 7
1. 2. 3. 4.
V V V V
1. Les particules asont des noyaux d’hélium 42He, avec deux protons et deux neu-trons ; l’équation-bilan de la capture est :
2713Al + 42He → 3015P + 10n.
Le bilan de charges est bien 13 + 2 =15 + 0, celui des masses 27 + 4 =30 + 1. La réaction est donc plausible.
2. Le radiophosphore ainsi créé peut effectivement se désintégrer et transmuter en l’isotope 30 du silicium,3014Si, en émettant un positon. Les bilans des charges et des masses l’autorisent. L’équation de la réaction est :
3015P → 3014Si + 01e.
3. En effet, la très longue période de l’uranium et l’âge approximatif de la Terre (4,5 milliards d’années), fait qu’on peut estimer qu’il reste environ exp(−4,5) ≈ 0,01, soit 1 %, de l’uranium 238 originel.
4. En effet, sa demi-vie, T12 de 1 600 ans implique que sa constante de désintégration lsoit alors de ln 2/T12, soit numériquement environ 4,3.10−4an−1. Cette constante de désintégration peut alors effectivement s’interpréter comme une probabilité de désintégration sur une année d’environ 4 pour 10 000.
L’étude des radioactivités naturelles ou artificielles ( X∗→ Y + rayonnement a oub) conduit à une loi cinétique de désintégration du premier ordre de constante l. La vitesse de la réaction élémentaire est donnée par :
v(t)=−d N dt =lN
4 Physique atomique et nucléaire Corrigés
où N est le nombre de noyau radioactifs X∗ à un instant t. Par intégration, on obtient immédiatement la loi cinétique classique de la radioactivité :
N(t)= N0exp (−lt)
N0étant le nombre de noyaux radioactifs à l’instant choisi comme instant initial t=0.
La demi-vie est la durée T12 comptée à partir de t =0 au bout de laquelle la moitié des noyaux X∗s’est désintégrée. Ainsi,
N0
2 =N0exp −lT12 soit T12 = ln 2 l . Nous pouvons écrire la loi de désintégration en fonction de la demi-vie :
N(t) =N02−T1/2t .
Nous pouvons aussi interpréter ce qui se produit lors de la désintégration en terme de probabilité. Pour cela, appelons dp la probabilité que possède un atome de se désintégrer entre l’instant t et l’instant t + dt. Si le nombre de noyaux est suffisamment grand, cette probabilité peut s’évaluer par le rapport du nombre de noyaux désintégrés entre t et t+dt au nombre de noyaux encore présents à l’instant t. Ainsi, dp peut être définie par la relation :
dp= N(t)−N(t + dt)
N(t) ,
que l’on peut transformer, si l’on accepte la loi cinétique de la désintégration, donnée ci-dessus, en :
dp= exp (−lt)−exp (−l(t + dt))
exp (−lt) =1−exp (−ldt).
Sildt est petit devant 1, c’est-à-dire si on considère un intervalle de temps dt petit devant l’inverse de la constante de désintégration, donc devant la demi-période, alors exp (−ldt) ≈ 1−ldt et la probabilité dp devient alors convenablement approchée par
dp =ldt ou l= dp
dt.
Cette dernière relation définit ainsi clairement la constante de désintégration comme étant la probabilité de désintégration d’un noyau par unité de temps.
Ce qui précède se fonde uniquement sur l’acceptation de la loi cinétique du pre-mier ordre et donne donc un guide d’interprétation pour penser ce qui se produit dans un processus chimique élémentaire en cinétique chimique.
Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit
Corrigés 4 Physique atomique et nucléaire
La réaction dont il est question en 1 est celle par laquelle de 1933 à 1935, Irène et Frédéric Joliot-Curie découvrirent la radioactivité artificielle ce qui leur valut de recevoir en 1935 le prix Nobel de chimie.
L’assertion de la question 4 peut être vraie mais elle n’en est pas moins ambiguë sans précision de la durée sur laquelle on évalue cette possibilité.
Ainsi faudrait-il préciser « ... a quatre chances sur dix mille de se désinté-grer dans l’année qui vient ». En effet, si on considère un atome isolé de radon, ce dernier possède alors (cf. les rappels théoriques) la probabilité énoncée dans les termes qui précèdent de se désintégrer.
8
a. b. c. d.
F F F F
a. Le bilan des masses est correct 230=206 + 6×4 + 2×0 ; en revanche, le bilan des charges ne l’est pas 90=82 + 6×2 + 2×(−1). Il faut quatre électrons pour que le bilan soit convenable.
b. La demi-vie du thorium est donnée par l’expression : T12 =ln 2/l, soit, numéri-quement, T12 ≈0,7/8,7.10−6≈8,0.104ans.
c. L’interprétation probabiliste (cf. Rappels théoriques de l’exercice précédent) rend l’assertion acceptable uniquement lorsque la durée t est petite devant la demi-vie, mais pas dans le cas général sur les longues durées pour lesquelles il faut revenir à la loi cinétique.
d. La composition de l’échantillon, à supposer qu’il ne contenait originellement que du thorium, est telle qu’il y avait alors 1 mmol de thorium à l’origine et que les trois-quarts se sont déjà désintégrés. Il ne reste plus à l’instant où l’on étudie l’échantillon qu’un quart du nombre de noyaux originels. Ainsi, 1/4=exp (−lt) soit t =ln 4/l; numériquement l’age de l’échanitllon est donc ln 4/8,7.10−6≈16.104ans.
9
1. 2. 3. 4.
V V F F
1. La courbe observée ln A = f (t) est effectivement une droite de pente négative, elle peut donc correspondre à une loi de décroissance radioactive.
4 Physique atomique et nucléaire Corrigés
2. D’après ce qui précède, la pente de la droite est égale à l’opposée de la constante radioactive. La droite passe par les deux points (0 h,6,45) et (200 h,4,95) ; la pente
−l=(4,95−6,45)/(200−0)=−7,5.10−3h−1. La constante radioactive possède donc la valeur annoncée.
3. La demi-vie de l’isotope 222 du radon est ln 2/l, soit, numériquement, T12 =ln 2/7,5.10−3≈93 h soit environ 3 jours 21 h.
4. Le seuil de détection du radon pour cet échantillon, avec l’appareil utilisé, est atteint lorsque le logarithme de l’activité est égal à 3,2. Cela survient à l’instant tdtel que 3,2=−ltd+ 6,45, soit, td =3,25/l; numériquement, td ≈433 h.
10
a. b. c. d.
F V V V
a. Deux noyaux de même nombre de masses sont isobares. L’isomérie, en chimie, est la propriété pour deux corps composés d’avoir la même formule brute, mais des formules développées différentes.
b. Le bilan des masses indique que la masse de la particule émise est nulle (les noyaux père et fils sont isobares) : il s’agit donc d’une émissionb. Le bilan du nombre de charges indique que la particule émise doit avoir une charge égale à 48−49 =−1.
La particule éjectée du noyau est donc un électron. Le cadmium107Cd est donc un émetteurb−.
c. Cette constante de temps est l’inverse de la constante radioactive t = 1/l.
N(t)=N0exp (−lt)=N0exp(−1).
d. L’opposé de la pente de la droite donnant ln A= f (t) est la constante radioactive.
D’après la question précédente, la mesure de son inverse peut être déterminée par la durée correspondant à une diminution de 1 du logarithme de l’activité, par exemple en prenant les instants t1 auquel ln A = 16,5 et t2auquel ln A = 15,5. Cette durée t2−t1=1/lest ainsi égale à environ 10 h. Il en résulte que la demi-vie du cadmium 107 est ln 2×(t2−t1), soit, numériquement, T12 =0,7×10=7 h.
11
1. 2. 3. 4.
V V F F
1. La nature de la particule a, les bilans des charges et des masses sont cohérents avec ce qui est annoncé.
Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit
Corrigés 4 Physique atomique et nucléaire
2. Le nombre N0 de noyaux de plutonium initialement introduits dans le pacema-ker cardiaque est mPu NA/MPu, où mPu désigne la masse de plutonium intro-duite, NA le nombre d’Avogadro et MPu la masse molaire du plutonium. Ainsi, N0=0,119×6.1023/238 =3.1020.
3. L’activité initiale (cf. rappel théorique ci-après) est égale à N0l= N0ln 2/T12, soit numériquement, 3.1020×0,7/(84×365×24×3600)≈7,9.1010Bq.
4. Au bout de quarante ans, il ne reste plus que N = N0exp −ln 2t(an) T12 , soit numériquement
N ≈3.1020×exp −0,7×40
84 =3.1020×exp −1/3
≈3.1020×0,7=2,1.1020 noyaux de plutonium 238.
L’activité radioactive A(t) d’une source, à un instant t, est le nombre de désin-tégration par seconde que produit cette source à cet instant. Elle est par essence égale au produit du nombre de noyaux susceptibles de se désintégrer à l’instant t, N(t), par la probabilité que possède chaque noyau de le faire par unité de temps, égale à, d’après les rappels théoriques de l’exercice 7,l. Ainsi,
A(t)=lN(t)=lN0exp (−lt),
où l’on pose l’activité initiale A0=lN0. L’activité s’exprime en becquerel (sym-bole (Bq), un becquerel correspondant à une désintégration par seconde.
12
Réponse : C.L’activité de la substance sera à l’instant t :
A(t)= A0I exp (−lIt) + A0Cs exp −lCst ,
où A0I et A0Cs désignent respectivement les activités initiales de l’iode et du césium etlIetlCs les constantes radioactives de chacune des deux substances. Ainsi, numé-riquement, A=200×2−30/8+ 50×2−1/(12×30) ≈64,8 kBq.
13
Réponse : B.Le bilan de masses et de charges au cours de la désintégration montre que la par-ticule émise est sans masse (90 = 90) et porte une charge négative élémentaire (38−39=−1). Il s’agit donc d’une radioactivitéb−.
4 Physique atomique et nucléaire Corrigés
14
Solution : B.Corrigé :
La source de strontium est supposée ponctuelle, ce qui implique que le rayonne-ment émis est isotrope, c’est-à-dire uniformérayonne-ment réparti dans toutes les directions de l’espace. Soit s la surface de la fenêtre d’entrée du compteur Geiger de 2007 et S celle du compteur utilisé lors du compte rendu, soit d la distance à la source.
Appelons A2007 l’activité totale de la source en 2007 et A0 son activité totale à la date du compte rendu. Chaque compteur a reçu respectivement s A2007/(4pd2) et S A0/(4pd2) électrons par seconde aux instants respectifs auxquels les mesures ont été faites. Les activités mesurées sont donc Am 2007 = s A2007/(4pd2) = 100 Bq et
soit, numériquement, A2007/A0 = (100/50) ×(100/400) = 1/2. L’activité de la source a donc été réduite de moitié entre les deux mesures. Il s’est donc écoulé une demi-vie entre elles. Le compte rendu date donc de 2007−29=1978.