L’application du théorème de l’énergie cinétique entre l’instant où la goutte d’eau quitte le nuage, sans vitesse initiale et celui où elle atteint le sol avec la vitesse v

recherchée donne dans le cadre du modèle où seul le poids travaille :

1

2mv²−0=mgh,

avec h la hauteur de chute de la goutte. Simplifiez par m et multipliez par 2 des deux membres, vous obtenez alorsv= 2gh, soit numériquement

v=√

2×10×4 500=√

90 000=300 m.s⁻¹

3. La poussée d’Archimède qui s’exerce sur la goutte est opposée au poids du volume de fluide (en l’occurence, l’air) déplacé, soit P = −4

3pR³rairg. Donc, sa norme

La loi horaire proposée en 1. serait correcte avec un axe vertical orienté vers le haut, or d’après la définition de g que l’énoncé donnait, il était clair que l’orientation de cet axe dans le sens de g, donc vers le bas, était choisie.

Si vous avez la certitude d’avoir obtenu la loi horaire, la question 2. peut être résolue à partir des lois horaires. En effet, la durée de la chute t0 est donnée par la relation h = 1

2gt₀² soit t0 = 2h/g et la vitesse au sol est alorsv=gt0= 2gh, expression identique à celle donnée par application du théorème de l’énergie cinétique.

Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit

Corrigés _{1 Mécanique}

11

a. b. c. d.

V V V V

a. Le référentiel est supposé galiléen, donc vous pouvez appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre l’instant de lancement (v = v0) et celui où la balle atteint son altitude maximale à une hauteur h et avec une vitesse nulle et vous obtenez :

0− 1

2mv₀²=−mgh,

où−mgh est le travail, résistant donc négatif, du poids de la masse. Il en découle que l’altitude h vaut h=v₀²/(2g), soit, numériquement : h=12²/2/10=144/20 =7,2 m.

b. L’équation aux dimensions donne [ f ]=[k]·[v] d’où

[k]=[ f ]/[v]=M · L · T⁻²/ L · T⁻¹ =M · T⁻¹; son unité dans le Système International s’en déduit : kg.s⁻¹.

c. La balle est soumise dans le référentiel supposé galiléen à son poids mg et à la force de frottement −kv. Le principe fondamental de la dynamique appliqué au centre d’inertie de la balle permet d’affirmer que :

mdv

dt =mg−kv.

Or, à son altitude maximale, la vitesse de la balle est nulle, ce qui annule le second terme du membre de droite. L’accélération de la balle à cet instant particulier vaut donc g.

d. En supposant que la chute soit suffisamment longue pour que la balle puisse atteindre sa vitesse limitevl, vous obtiendrez cette dernière en écrivant que, la vitesse ne variant plus, l’accélération est nulle dans l’équation exprimant le principe fonda-mental de la dynamique. Ainsi, 0 = mg −kvl, soitvl = mg/k ; d’où, numérique-ment :vl = vl =0,1×10/0,1=10 m.s⁻¹

12

a. b. c. d.

F F F F

a. Dire qu’il n’y a pas de frottement, c’est dire que la réaction est orthogonale (ou normale) au déplacement, donc normale au plan incliné, de sorte qu’elle ne travaille pas, mais elle n’est pas nulle.

1 Mécanique Corrigés

b. Elle équilibre la composante du poids perpendiculaire au plan incliné et elle vaut donc mg cosa.

c. La résultante de ces forces n’est pas nulle : la composante du poids parallèle au plan incliné n’est pas compensée. La résultante des forces est ainsi constante, non nulle et l’accélération est donc constante : le mouvement est uniformément varié.

Figure 1.18

d. L’application du principe fondamental de la dynamique au centre d’inertie du mobile donne

mdv

dt =mg + R,

soit en projection sur la direction du mouvement :m ¨x(t)=mg sina, d’où l’accéléra-tion ax =g sina; numériquement, ax ≈10×0,17=1,7 m.s⁻²et non 1,4 m.s⁻².

13

Le solide est soumis à trois forces : son poids P =mg, vertical, la réaction R du plan incliné, orthogonale au plan et la force de frottement f , de sens opposé à la vitesse.

Figure 1.19

Dans le référentiel d’étude supposé galiléen, le théorème de l’énergie cinétique appli-qué au centre d’inertie du solide entre l’instant initial où le solide est lancé vers le haut de la ligne de plus grande pente du plan incliné avec une vitessev₀et l’instant où

Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit

Corrigés _{1 Mécanique}

il est arrêté en fin de montée après un parcours de longueur L le long du plan incliné donne ainsi :

0−1

2mv²₀=W P +W R +W f .

Or, la réaction du plan incliné, normale au déplacement, ne travaille pas : W R = 0 ; le travail du poids, W P , est égal −mg · L ·sina, L · sina représentant la hauteur dont monte le centre d’inertie du solide, et celui de la force de frottement, W f , vaut −f · L. Ainsi, le théorème de l’énergie cinétique se transforme en :

Considérez le référentiel dans lequel se déroule l’expérience comme gali-léen, même si ce caractère n’est souvent pas mentionné dans les énoncés.

Dans ce type d’exercice, il vous faut assez fréquemment résoudre complè-tement le problème posé pour examiner les différentes propositions. Par application du principe fondamental de la dynamique au centre d’iner-tie, vous pourrez vérifier que l’accélération ax, lors de la montée, vaut g·sina+ f/m, soit ax = 10×0,1 + 0,1/0,2 = 1,5 m.s⁻²et, pendant la descente, a_x =g·sina− f/m, soit a_x =10×0,1−0,1/0,2=0,5 m.s⁻², l’axe (Ox) étant orienté vers le bas du plan incliné dans les deux phases du mouvement. Les proposition C et D sont de la sorte infirmées.

Il est clair, à cause du frottement, que la vitesse au passage par O à la des-cente sera plus faible quev0 : le théorème de l’énergie cinétique appliqué entre l’instant où le solide est au zénith de sa trajectoire et l’instant où il repasse par le point O à la descente, donne

1 ce qui invalide la proposition E.

1 Mécanique Corrigés

14

1. 2. 3. 4.

V F V F

1. L’objet est soumis aux trois forces suivantes : son poids, vertical, mg, la réac-tion normale du plancher de la benne R et le frottement f entre le plancher et l’objet, dirigé suivant la pente de la benne, vers le haut. Au moment où l’objet se met en mouvement, le frottement mstatR devient inférieur à la composante du poids dirigée suivant la pente de la benne. D’où, à la limite du mouvement m_statmg ·cosu = mg·sinu, soit, après simplification par m et g, m_stat = tanu.

Numériquementmstat =tan 30^◦≈0,5. La proposition est donc vraie.

2. L’objet ayant une accélération uniforme, le mouvement de son centre d’inertie suivant la ligne de plus grande pente (Ox) est gouverné par l’équation ¨x =a=cte ; vous en déduirez, après intégration par rapport au temps et en tenant compte de ce que la vitesse initiale de l’objet est nulle, ˙x =a·t et, après une seconde intégration par rapport au temps et en faisant coïncider l’origine O avec la position initiale de l’objet dans la benne, la loi horaire x = 1

2a·t². Ainsi l’accélération est donnée par la relation a=2x/t², soit numériquement a=2×2/2² =1 m.s⁻². La proposition 2. est ainsi fausse.

3. D’après l’énoncé, la quantité d’accélération ma est égale à la différence de la