l'intermédiaire d'une combinaison de jeux de coordonnées - vitesses de points terrestres issus de mesures de Géodésie Spatiale.
Tandis que les données s'améliorent et que les modèles s'affinent, des problèmes nouveaux dans l'analyse des divers jeux intervenant dans la combinaison apparaissent.
L'un d'entre eux concerne la pondération utilisée lors des compensations par moindres carrés effectuées en vue de réaliser le système international de référence terrestre. Ce texte présente les méthodes d'estimation des composantes de la variance utilisées pour remédier aux problèmes nouveaux évoqués plus haut.
I ntrod u c t i o n
Le Système International de Référence Terrestre, appelé ITRS, est élaboré à l'Institut Géographique National, dans le cadre de I'IERS (International Earth Rotation Service), sur la base d'une combinaison par moindres carrés de jeux coordonnées cartésiennes et de vitesses de points issus de mesures de Géodésie Spatiale. La réalisation du système terrestre s'opère à un rythme approximativement annuel depuis la fin des années 1 980.
Lors de l'élaboration de la dernière réalisation (ITRF94) qui a été l'occasion, pour la première fois, d'utiliser des matrices de variance complètes pour chaque jeu de coordonnées-vitesses, de nombreux problèmes d'origine statistique sont apparus. L'un des plus immédiats concerne l'estimation des composantes de la variance des observations Oeux de coordonnées) .
Le système international de référence terrestre
L'IERS est un service scientifique international qui a en charge l'élaboration de références utiles aux domaines de l'astrométrie et de la géodésie. Ces références concernent en particulier, le système céleste, la rotation de la Terre et le système terrestre. Le système terrestre est réalisé annuellement par combinaisons de jeux de coordonnées de géodésie spatiale obtenus par les techniques de positionnement les plus précises existant actuellement : Global Positioning System (GPS), télémétrie laser sur satellite, interférométrie à très longue base et le système français DORIS. Concrètement, les jeux de coordonnées individuels sont calculés par des laboratoires participant à I'IERS et spécialistes de calculs de géodésie spatiale. Les jeux de coordonnées obtenus sont des sous-produits de calcu ls beaucoup plus vastes (cf. figure 8.1 0.2) : calculs d'orbitographie satellitaire pour DORIS, GPS et télémétrie laser sur satellite et détermination de position de radio-sources extragalactique pour l'interférométrie à très longue base.
Observation de Géodésie Spatiale Technique T
Ajustement Paramètres
externes+internes
éalisation d'un Système de éférence terrestre combiné
Réduction
Combinaison
J eu de coordonnées
figure 8. 10. 1 : processus d'obtention de jeux de coordonnées et combinaison
Les jeux ainsi obtenus concrétisent des systèmes de référence différents à des époques variées, de sorte que l'information complète comprend les positions de stations terrestres à des époques données ainsi que leur évolution temporelle estimée.
L'évolution temporelle est, à l'heure actuelle, considérée comme linéaire dans le temps.
L'ITRF94, dernière réalisation en date de I'ITRS [BOUCHER et al 96] comprend 201 sites terrestres renseignés (cf. figure 8.1 0.2) .
1 80° 21 oo 240° 270° 300° 330° oo 30° 60° 90° 1 20° 1 50° 1 80°
figure 8. 10.2 : sites de I'ITRF94
Mathématiquement, la combinaison de jeux de coordonnées peut s'exprimer de la façon suivante :
Le modèle de combinaison correspond à une similitude dans R3.
Pour le point physique p auquel se rapporte une obseNation dans le jeu de coordonnées i, on écrit, sachant que le modèle complet est d'emblée linéaire pour des jeux de Géodésie Spatiale (rotation de quelques dizaines de mas, échelle de quelques 1 0-?) :
xP = xiP +
[�:: J
+[::
�: },
Tlz -1.jJI Ei ki )
où xip = (xiP' yiP' zipl . et sa dérivée temporelle : Xp = xip +
[�:: J
+[�;;
-:,
;�
k;1'J
xipTlz -1.jJI Ëi
Les inconnues du problème sont : ( Xp , Xp , T�, . ..
, ci.Ji hsisn ;
n correspond au nombre de jeux utilisés dans la1spss
combinaison et s est le nombre total de stations terrestres renseignées dans au moins un jeu. Le problème global de combinaison se résume en un système linéaire de la forme :
0 où E, est l'erreur commise sur la valeur exacte de la mesure notée Yi .
Le modèle stochastique de base est :
E(E
i
) = 0T
j
E(E jE i ) = Ô j OjLj
avec
oi
E R : ,ô/
: Symbole de Kronecker; E désigne l' espérance mathématiqueLe problème délicat concerne la qualité de l'estimation de la variance };; dans le calcul amont. Il est fréquent que son estimateur soit à modifier de façon à vérifier certaines propriétés incontournables dans l'estimation par moindres carrés. Les modifications les plus simples qui puissent être apportées consistent à estimer un facteur de variance o; pour chaque population, une population correspondant à un jeu de coordonnées.
Il est parfaitement clair que ce modèle est le plus élémentaire qui soit : en particulier, il ne permet pas de prendre en compte d'éventuelles corrélations entre jeux de coordonnées qui peuvent physiquement exister.
Par exemple, il est fréquent que plusieurs jeux de coordonnées soient obtenus à partir de lots de données semblables mais analysés différemment. Dans ce cas, il existe une corrélation physique évidente non prise en compte dans le calcul de combinaison.
Dans ce texte, on se limite à des techniques d'estimation de composantes de la variance, dans le cas d'une variance diagonale par bloc (indépendance statistique postulée des diverses populations) .
Principe de !•estimation des composantes de la variance
0Le problème général d'estimation s'écrit, en variables aléatoires
( Yi
=Yi + Ei)
0
t> E
(Yj )
=Y
n> var
(Yf .... , Y; {
=diag(o1 "Lt
, . . . , On "Ln)où
A,
est la matrice modèle liant les paramètres globauxX
aux observations regroupées par populationscohérentes Yi.
La variance des groupements d'observations Yi est connue à un facteur de variance près réel ai, de sorte que var (Yi) = ai Li.
La matrice de pondération associée aux équations d'observations du problème précédent ne tient pas compte
des ai.
n n
Le système normal associé s'écrit donc :
(I A! Lj1Ai)X
=I A! r;-1Yi
i=1
i=1
On notera v la matrice inverse de la matrice normale. On cherche à estimer les facteurs de variance a; à partir de
critères à définir, lors du calcul de compensation.
Les deux méthodes proposées ci-après permettent d'obtenir des résultats satisfaisants et cohérents.
En particulier, lors de simulations numériques basées sur des reconstitutions de populations suivant une loi gaussienne, les facteurs de variance sont estimés à quelques pourcents près (moins de 1 0% dans tous les cas) .
Estimation par la méthode du degré de liberté
La première méthode d'estimation utilisée à I'IGN est inspirée de [PERSSON 82] et est basée sur une analogie de l'estimation du facteur unitaire de variance a0, pour lequel le facteur de redondance f de l'ensemble du calcul de moindres carrés est nécessaire :
•
vTL-11J
ao = f
vTL.-1v.
Par analogie, on cherche à construire un estimateurôi
des a; de la forme :ôi
= 1 1 1i
et f1 est un "estimateur" du degré de liberté associé au jeu i à construire.
Pour ce faire, on passe par l'étape intermédiaire qui consiste à identifier les Oi au facteur unique global a0 et à
construire, par population, un estimateur du a0 global, dans l'hypothèse restrictive où pour tout couple (i, j) , a; = ai = a0.
Concrètement, on pose var {Y ;) = a0 L;.
L'intérêt d'une telle approche est qu'elle permet d'associer à une population un estimateur du a0 et donc
d'effectuer un test d'hétéroscédasticité des diverses populations [ROCHE 96].
I l est alors aisé de modifier les facteurs multiplicatifs o1 afin de se rapprocher du cas où le test d'égalité des variances des populations devient positif.
On désigne par n; le nombre d'observations renseignées dans le jeu i (i.e. rg (Li) = n;).
On peut vérifier que :