Le problème des Conditions aux Frontières Ouvertes

p

_k

=p

_k+1

−(∆˜p)

_k+1

(2.36)

On ne rentre pas dans le détail du calcul de cette épaisseur de couche minimale qui compare

(∆p)k+1

2

, la moitié de l’épaisseur initiale de C

k+1, et une épaisseur basée sur un calcul similaire à

(2.31) appliqué avec la donnéeδ

_k+1

(c’est en général cette épaisseur qui fournit l’épaisseur minimale).

On a alors, par conservation de H

_tot

:

˜

α

_k

= ^α

^k+1

^(˜p

^k

−p

_k

) +α

_k

(p

_k

−p

_k−1

)

˜

p

_k

−p

_k−1

(2.37)

Si la condition isopycnale n’est pas vérifiée, un traitement itératif dans lequel on ne rentrera pas

est alors utilisé selon les conditions dans lesquelles on se trouve.

- Cas particulier avec α

_k

>αˆ

_k

où C

_k

touche le fond de la colonne d’eau (s’il y a des couches

sous C

k, elles sont d’épaisseur nulle) :

Comme on ne peut pas déplacer I

_k

, on va déplacer I

_k−1

. On doit alors changer la conception

précédente de la densité au sein des couches : on accepte ici que la densité varie verticalement au

sein d’une couche. Du fait que α

_k−1

> α

_k

> αˆ

_k

on va regarder C

_k

comme la superposition de

deux sous couches, l’une de volume spécifiqueα

_k−1

et l’autre de volume spécifique αˆ

_k

, séparée à la

profondeur pˆ

_k−1

(on ne détaille plus les calculs, mais ils sont similaires aux précédents). La

sous-couche supérieure peut alors être fusionnée avec C

_k−1

puisqu’elle a même densité, laissant C

_k

à la

densité voulue, puisque finalement uniquement composée de sa sous couche initiale inférieure.

Le déplacement deI

_k−1

ne doit pas être trop important pour ne pas dépasser p

k. On fixe donc

cette interface à la pressionp˜

_k−1

telle que

(∆˜p)

_k

=max((∆ˆp)

_k

,^(∆p)

^k

2 ⁾ (2.38)

Certains éléments de l’algorithme que l’on vient d’illustrer ne suivent pas rigoureusement ce qui

est réellement fait dans le code du modèle HYCOM, mais ils donnent l’idée générale de son

fonc-tionnement. On ne montre pas comment est traitée la redistribution de la quantité de mouvement et

des variables thermodynamiques (autre que la densité) que l’on considère comme variables d’état du

modèle. Essentiellement, on veut conserver la valeur de leur moyenne sur la verticale, et respecter

les contraintes de densité. Certains problèmes sont spécifiques à l’emploi simultané de T etS dans

le vecteur d’état et ne concernent pas notre configuration.

2.4 Le problème des Conditions aux Frontières Ouvertes

Les limites d’un modèle régional en mer ouverte sont appelées frontières ouvertes. La définition

de conditions aux limites sur ces frontières ouvertes (les CFO, Conditions aux Frontières Ouvertes)

est un problème complexe qui est encore l’objet de nombreuses études et qui a donné lieu à

l’utili-sation de méthodes très diverses dont on va introduire ici quelques exemples classiques. En général,

ces conditions sont imposées à l’aide des données fournies par des modèles du bassin océanique

complet dans lequel le modèle régional est imbriqué, où à l’aide de données climatologiques, sur

la frontière ouverte et souvent aussi dans son voisinage. De ce fait, ces données, qu’on appellera

données extérieures, sont normalement fournies à une résolution plus faible que celle des données du

modèle régional (en espace et en temps), ce qui peut être la source d’incompatibilités entre ces deux

types d’information. Idéalement, l’état du modèle régional doit être influencé par les données

exté-rieures lorsque celles-ci sont “entrantes” et les informations “sortantes” du modèle régional doivent

être correctement évacuées au niveau des frontières. C’est le fait que la solution doive être influencée

par les données extérieures qui nous interdit de se contenter de décentrer les équations du modèle

afin de les appliquer sur les frontières ouvertes avec les seules données régionales. Cependant cette

technique de décentrage peut être employée pour évacuer l’information sortante et compléter les

conditions imposées par l’extérieur quand elles conduisent à un problème sous déterminé.

Les modèles de grands bassins, régionaux du fait qu’ils ne couvrent pas l’ensemble des océans,

sont en général forcés par des données climatologiques à leurs frontières ouvertes, généralement

choisies éloignées des principaux courants, et en sorte qu’il n’y ait pas d’échanges trop importants,

ou du moins trop variables, à travers elles. Mais ce type de données est peu adapté au forçage

de modèles réellement locaux, sur lesquels les fortes variations de courants en entrée du domaine

peuvent avoir une grande influence.

Le concept d’emboîtement de modèle naît de l’emploi de modèles englobant les modèles

régio-naux pour forcer ceux-ci à leurs frontières ouvertes. Si les informations ne passent que du modèle

global au modèle régional, on parle d’emboîtement “one-way”. Le modèle régional fournissant

nor-malement une meilleure représentation des phénomènes ayant lieu sur son domaine que les modèles

de bassin complet à plus basse résolution, il est fréquent d’utiliser en retour ses données pour forcer

un modèle global qui le recouvre totalement, en partie, ou qui l’entoure : on parle alors

d’emboî-tement “two-way”. En général de tels emboîd’emboî-tements sont réalisés en intégrant les modèles régional

et global simultanément (le pas de temps du modèle global est normalement supérieur au pas de

temps du modèle régional, et est un facteur limitant le renouvellement des données aussi bien pour

le forçage du modèle régional par le modèle global que pour la rétro action du modèle régional sur le

modèle global). Une telle configuration d’emboîtement de modèle peut mener à l’usage d’un modèle

unique possédant un raffinement de maillage localement. Le modèle HYCOM ne permettant pas de

réaliser des emboîtements de modèles en mode “two-way”, on ne s’intéressera ici qu’à la question de

la formulation des CFO en mode “one-way”, dont on présente les principaux types.

Dans la suite, le domaine régional est notéΩetΓest l’union de ses frontières ouvertes (cf la figure

2.6). φ désigne selon les cas une variable de l’état modèle ou le vecteur des variables d’état pour

lesquelles une CFO doit être appliquée (certaines variables sont exemptées de CFO du fait de l’emploi

de grilles décalées ou de relations physiques existant entre les différentes variables du modèle). On

suppose la donnée de φ fournie par la solution extérieure au moins sur Γ et si nécessaire dans un

voisinage de Γ à l’extérieur ou à l’intérieur de Ω. Cette donnée, après interpolation temporelle et

spatiale pour la résolution régionale est notée φ

^ext

. La valeur de φ fournie par le modèle régional

surΩ est notéeφ

reg

.

On distingue les principaux types de CFO suivants (cfBroquet 2003) :

Les méthodes de relaxation (Davies, 1976)

Elle consistent à rappeler φ

^reg

vers φ

^ext

au voisinage de Γ. Ce voisinage Ω

_α

est appelé couche

de relaxation. A chaque instant t, cela s’écrit sur Ω

_α

:

φ

^reg

(t) =α

_relax

φ

^ext

(t) + (1−α

_relax

) ˆφ

^reg

(t) (2.39)

où_φˆ

reg

est la solution fournie pas le modèle régional à l’intérieur strict (sansΓ) du domaine régional

au pas de tempstavant l’application de la CFO de relaxation.α

_relax

est le paramètre de relaxation

Mer Terre

Ω

α

Ω

φ

ext

φ

reg

n

τ

Γ

Fig. 2.6 – Domaine régional Ω.

qui décroit de la valeur 1 sur Γ à 0 à la limite entre Ω

_α

etΩ\Ω

_α

.

SurΓcette méthode conduit à imposer brutalementφ

^ext

àφ

^reg

. SiΩ

_α

se réduit àΓ, la méthode

est une simple condition de Dirichlet, et Γ est une sorte de mur pour l’information sortante du

modèle. Elle donne ainsi lieu à des phénomènes de réflexions sur Γ d’autant plus importants que

φ

^reg

à l’intérieur du domaine régional tend à être incompatible avecφ

^ext

.

C’est pourquoi l’emploi d’unΩ

_α

important permet de dissiper l’information sortante avant qu’elle

n’arrive à Γ. Il est d’ailleurs parfois combiné avec l’usage d’une couche éponge similaire sur laquelle

on augmente les paramètres de viscosité. L’information sortante n’est cependant pas réellement

évacuée hors du modèle avec cette méthode.

Cette condition de relaxation, si Ω

α

n’est pas resteint à Γ, n’est pas vraiment une condition

limite surΓ. On peut la considérer comme l’inclusion, dans l’équation d’évolution deφd’un terme

de rappel. En effet, si l’équation d’évolution de φdans le modèle s’écrit :

∂φ

∂t ^{+F(φ) = 0} (2.40)

On la reformule de la façon suivante :

∂φ

∂t ^{+F(φ) +}

1

τ

_carac

^(φ−φ

^ext

) = 0 (2.41)

où le temps caractéristique τ

_carac

de rappel de φvers φ

^ext

dépend deα

_relax

et du schéma de

discré-tisation temporelle employé pour l’étude du modèle (si F(φ) = 0, φ=φ

^ext

+ (φ

₀

−φ

^ext

)e

⁻τcarac^t

).

Par exemple si

∂φ

∂t

≈

^φt−_∆t^φt−∆t

, on peut poserτ

_carac

=

^∆t(1−αrelax)

αrelax

pour retrouver (2.39).

Les méthodes de radiation (Orlanski, 1976)

Ces méthodes assez classiques reposent sur l’hypothèse suivant laquelleφse comporte au passage

deΓcomme une onde se propageant dans la direction de n, vecteur normal sortant àΓ.φdoit alors

vérifier sur Γune équation du type :

∂φ

∂t ^+c

∂φ

∂n = 0 (2.42)

Cette condition imposée à φ a été suggérée par Sommerfeld en 1949. Elle est exacte pour une

onde vérifiant

∂

²

φ

∂t

2

−c

²

^∂

2

φ

∂n

²

= 0 (2.43)

au sens où elle annule sa partie entrante et laisse intacte sa partie sortante si l’on supposec >0. La

condition (2.42) appliquée lorsquec >0impose donc un sens de propagation sortant àφà traversΓ,

ce qui permet a priori d’évacuer l’information sortante. Il reste à déterminer cpour qu’effectivement

on puisse appliquer ce type de condition en respectant à peu près les propriétés de φ au voisinage

de Γ.

Orlanski utilise l’hypothèse que la condition de Sommerfeld est encore valable au voisinage de

Γ pour déterminer cette vitessec, de manière adaptative, suivant plusieurs méthodes différentes en

pratique que l’on ne détaillera pas ici. On notera que ce calcul repose en général sur la discrétisation

du modèle et mène à des conditions non linéaires surφ, conditions qui ne peuvent être pertinentes

dès lors que φ est composée de plusieurs longueurs d’onde. La prise en compte de la composante

tangente àΓ de la direction de propagation deφa été proposée par Raymond et Kuo 1984.

Usuellement, le traitement de telles conditions revient dans la pratique, si c < 0, à imposer la

solution extérieure à l’aide d’une condition de Dirichlet φ=φ

ext

surΓ ou à imposer un fort rappel

vers cette solution, et si c > 0, à normalement ne pas utiliser φ

^ext

et laisser se propager φ vers

l’extérieur à l’aide de l’équation (2.42). En pratique, sic >0, on applique cependant un fort rappel

vers la solution extérieure sur Γ pour assurer l’applicabilité des méthodes de radiation.

La condition de Flather (Flather, 1976)

Dans le cas des écoulements barotropes, Flather a proposé de combiner la condition de

Sommer-feld appliquée à la hauteur d’eau(h+H)(ou à la hauteur de la surface libreh, la condition obtenue

finalement étant la même) en utilisant la vitesse des ondes gravitationnelles de surface ^√gH) :

∂(h+H)

∂t ⁺

p

gH ^∂(h+H)

∂n = 0 (2.44)

et une approximation unidirectionnelle (suivant la normalenàΓ) à la frontière ouverte de l’équation

de conservation de la masse (2.8) :

∂(h+H)

∂t ^+H

∂(u

_h

·n)

∂n = 0 (2.45)

où (u

_h

·n) est la composante de la vitesse barotrope normale à la frontière ouverte. Ceci donne sur

Γ

∂

∂n

(u

_h

·n)−

r

g

H ^(h+H)

= 0 (2.46)

soit, par intégration à travers Γ, la condition de Flather :

(u

_h

·n)−

r

g

H ^{(h+H) = (u}

^h

·n)

^ext

−

r

g

H ^(h+H)

ext

(2.47)

Comme(h+H)

^ext

=h

^ext

+H on voit qu’on aurait obtenu la même condition en appliquant la

condition de Sommerfeld à h :

(u

_h

·n)−

r

g

H ^{h= (u}

^h

·n)

^ext

−

r

g

H ^h

ext

(2.48)

Méthodes fondées sur la définition des variables caractéristiques

La définition des quantités caractéristiques repose sur une simplification des équations du modèle

établie en sorte que φvérifie un système linéaire hyperbolique de type

∂φ

∂t ^+A

∂φ

∂d = 0 (2.49)

où d est un vecteur unitaire de l’espace. Si φ est un vecteur de dimension n, A est une matrice

constante de dimension n×n diagonalisable. Soitv

_i

le i

ème

vecteur propre à gauche de A, associé

à λ

i, la

i

ème

valeur propre à gauche de A.

v

_i

A=λ

_i

v

_i

(2.50)

Les quantités caractéristiques sont définies par

w

_i

=v

_i

φ (2.51)

et on a

∂w

_i

∂t ^+λ

ⁱ

∂w

_i

∂d = 0 (2.52)

On voit donc que les w

_i

sont conservées sur les courbes caractéristiques qui sont les droites

~

OM .d−λ

_i

t=cste où _OM~ est le vecteur position d’un point M considéré.

Selon le signe deλ

_i

, la quantité caractéristiquew

_i

se propage selon le sens ded(λ

_i

≥0) ou dans

le sens inverse (λ

_i

< 0). Si d =n, on peut donc mettre en évidence les quantités caractéristiques

entrantes et sortantes par rapport au franchissement de Γ. La principale méthode liée aux

quanti-tés caractéristiques consistera donc à fixer à leur valeur de référence les quantiquanti-tés caractéristiques

entrantes, et à étudier l’évolution des autres à l’aide d’une discrétisation décentrée (discrétisation

rendue possible par leur sens de propagation). Cela permet de respecter la proposition fondamentale

selon laquelle dans le cas d’un système hyperbolique, imposer autant de conditions limites qu’il y

a de caractéristiques entrantes est une condition nécessaire au caractère bien posé du problème. La

mise en évidence des quantités caractéristiques permet donc de séparer correctement l’information

entrante et l’information sortante sur la frontière ouverte. On ne considèrera que la partie

hyperbo-lique du système régissant l’évolution de φpour arriver à cette analyse.

On peut prendre un cas d’exemple sur le modèle shallow water (les équations du mode barotrope

du modèle HYCOM, bien qu’elles sous-tendent l’existence des mêmes quantités caractéristiques et

qu’elles aient mené à l’utilisation des résultats obtenus ici, ne permettent pas de mettre en évidence

ces quantités caractéristiques du fait que le terme d’advection de vitesse soit incorporé au terme

∂u^∗_h ∂t

) :

On reprend les équations (2.8) et (2.9) où sont supprimés les termesD

uh

etE

uh

de

paramétrisa-tion sous maille et de sources et où on a isolé le terme constantg∇

h

H. SurΩ(et donc au voisinage

de Γ) :

∂u

_h

∂t ^{+ (u}

^h

· ∇

h

)u

_h

+fk∧u

_h

+g∇

h

(h+H)−g∇

h

H= 0 (2.53)

∂(h+H)

∂t ⁺∇

h

·[(h+H)u

_h

] = 0 (2.54)

La linéarisation de ces équations autour de la valeurφ

_l

= (u

_l

, v

_l

, H)

T

à laquelle le vecteur d’état

φ = (u, v, h+H)

^T

est approximativement égal (la difficulté est de fixer u

_l

: la valeur au pas de

temps précédent est souvent choisie) donne en notant u

_l

= (u

_l

, v

_l

) :

∂u

_h

∂t ^{+ (u}

^l

· ∇

h

)u

_h

+fk∧u

_h

+g∇

h

(h+H)−g∇

h

H = 0 (2.55)

∂(h+H)

∂t ^+u

^l

· ∇

h

(h+H) +H∇

h

·u

_h

= 0 (2.56)

ou, suivant les directions tangente et normale à Γ, en notant n = (n

_x

, n

_y

)

^T

le vecteur sortant

unitaire normal àΓ etτ = (−n

_y

, n

_x

)

^T

(vecteur unitaire tangent à Γ) :

∂u

∂t ^{+ (u}

^l

·n)^∂u

∂n +n

_x

g^∂(h+H)

∂n + (u

_l

·τ)^∂u

∂τ −n

_y

g^∂(h+H)

∂τ −f v−g^∂H

∂x ^{= 0} (2.57)

∂v

∂t ^{+ (u}

^l

·n)^∂v

∂n +n

_y

g^∂(h+H)

∂n + (u

_l

·τ)^∂v

∂τ ⁺ⁿ

^x

^g

∂(h+H)

∂τ ^{+f u}−g^∂H

∂y ^{= 0} (2.58)

∂(h+H)

∂t ⁺ⁿ

^x

^H

∂u

∂n +n

_y

H^∂v

∂n + (u

_l

·n)^∂(h+H)

∂n −n

_y

H^∂u

∂τ ⁺ⁿ

^x

^H

∂v

∂τ ^{+ (u}

^l

·τ)^∂(h+H)

∂τ ^{= 0}

(2.59)

ce qui peut être réécrit sous la forme :

∂φ

∂t ^+A

∂φ

∂n +B^∂φ

∂τ ^=Cφ+F (2.60)

où

A=





u

_l

·n 0 n

_x

g

0 u

_l

·n n

_y

g

n

_x

H n

_y

H u

_l

·n





Les quantités caractéristiques de l’équation (2.60) dans la direction den sont obtenues à partir

du calcul des vecteurs propres à gauche deA. Le polynôme caractéristique deA étant

P

_A

(X) = (u

_l

·n−X)^h(u

_l

·n−X)

²

−c

²

ⁱ

où c=√

gH est la vitesse des ondes gravitationnelles de surface, les vecteurs propres à gauche de

•v

₁

=

n

x

, n

y

,−

r

g

H

pour la valeur propre λ

1

=u

_l

·n−c

•v

₂

=

n

_x

, n

_y

,

r

g

H

pour la valeur propre λ

₂

=u

_l

·n+c

•v

₃

= (−n

_y

, n

_x

,0) pour la valeur propre λ

₃

=u

_l

·n

Et on a donc les quantités caractéristiques suivantes de l’équation (2.60) dans la direction de~n:

•w

1

=v

₁

φ soit w

1

=u

_h

·n−

r

g

H^(h+H) pour la valeur propre λ

1

•w

₂

=v

₂

φ soit w

₂

=u

_h

·n+

r

g

H^(h+H) pour la valeur propre λ

₂

•w

₃

=v

₃

φ soit w

₃

=u

_h

·τ pour la valeur propre λ

₃

Classiquement, la méthode dite des caractéristiques consiste à imposer surΓles quantités

carac-téristiques entrantes (dans la direction normale à Γ) à l’aide des données de référence et à évaluer

les quantités caractéristiques sortantes en transportant leur valeur de l’intérieur du domaine vers

Γ :

Pouri∈[1,3] ,w

_i

=w

_i^ext

si λ

_i

<0 (2.61)

On aura toujours, pour un mode barotrope réaliste, _|u

_l

.n|< cet donc la méthode des

caracté-ristiques consiste alors à poser :







w

₁

= w

₁^ext

w

₃

= w

₃^ext

si u

_h

·n<0

(2.62)

et à calculer les valeurs de w

₃

si u

_l

·n ≥ 0 et de w

₂

à l’aide des valeurs des variables barotropes

estimées surΩ. Avec la conditionw

₁

=w

₁^ext

on retrouve en fait la condition de Flather (l’équation

(2.47 ) ou (2.48)). Le choix de u

_l

·n est critique pour l’évaluation de w

₃

, mais la valeur de_|u

_l

·n|

est en général suffisamment grande devant les variations spatiales et temporelles de u

_l

·n pour ne

pas que la détermination de son signe suivant la linéarisation opérée soit inadaptée.

On peut réécrire les conditions (2.62) de façon plus simple pour les configurations classiques

d’océans pour lesquelles les frontières sont uniquement des frontières qui suivent les axes du

sys-tème de coordonnées(x, y). Par exemple dans le cas d’une frontière méridionale Est (avec un système

de coordonnées (x, y) qui suit les directions zonale et méridionale).















u−

r

g

H^{(h+H) = u}

ext

−

r

g

H^(h+H)

ext

v = v

^ext

si u

_l

<0

(2.63)

Dans le cas des équations primitives, le calcul des quantités caractéristiques nécessite une

dé-composition en modes verticaux. La difficulté tient, les problèmes de calcul mis à part, au plus

grand poids du choix de la vitesse linéarisée, car on retrouve des valeurs propres de type u

_i

·n,

u

_i

·n−c

i

et u

_i

·n+c

i

mais cette fois, pour un bon nombre de modes, avec des c

i

de l’ordre des

u

_i

et la fiabilité du choix de la direction de propagation des quantités caractéristiques n’est plus du

tout assurée.

On peut retrouver dansBlayo et Debreu 2005 et 2006une description plus complète des méthodes

d’emboîtement de modèles et des conditions aux frontières usuelles. Il y est en particulier montré

que la plupart de ces conditions se ramènent à un traitement de variables caractéristiques.

Dans le document Caractérisation des erreurs de modélisation pour l'assimilation de données dans un modèle océanique régional du Golfe de Gascogne (Page 62-69)