Fonctionnement de la coordonnée hybride

Le fonctionnement de la coordonnée hybride repose sur la procédure d’ajustement “grid

gene-rator” dont on va présenter le principe. Du fait que le mode d’évolution de la coordonnée hybride

ne concerne réellement que les variables baroclines du modèle HYCOM, par souci de simplification

d’écritures, on utilisera le termep pour parler des profondeurs des couches baroclines dans la suite

de cette section sur le fonctionnement de la coordonnée hybride, sans qu’il y ait de confusion

pos-sible. Il faut noter de toute façon que la faiblesse des différences entre p etp

^′

est toujours vérifiée

(η << 1), et que le problème de la rediscrétisation verticale posé ici ne fait pas intervenir de

dé-rivées de pression qui seraient très différentes selon l’emploi de p ou de p

′

. On parlera ici comme

on l’a déjà fait précédemment de profondeur ou d’épaisseur de couches en terme de pression (on

rappelle que la pression dans HYCOM est mesurée relativement à la surface) et de différence de

pression. Cependant, du fait de la prise en compte des effets de compressibilité par le modèle, la

pression de fond n’évolue pas comme la hauteur d’eau H

tot

=H+hà proprement parler (calculée

en profondeurs réelles), que l’application du “grid generator” doit conserver. L’estimation de H

_tot

pour le modèle HYCOM est réalisée à l’aide de l’équation (2.15).

Comme on l’a vu, la coordonnée hybride s ne peut pas être utilisée pour l’application des

équations : elle ne fait qu’obéir à un mode d’évolution lié, dans la représentation du modèle en

couches (C

_i

)

_i∈[1,nc]

, à des contraintes d’épaisseurs minimales sur ces couches, et à la donnée de

densités (potentielles) cibles ρˆ

_i

=

_αˆ¹

i

pour chaque couche, ces densités potentielles cibles étant

croissantes en parcourant les couches de la colonne d’eau vers le fond

14

.

Le but de la procédure d’évolution de la coordonnée hybride est premièrement, comme on l’a

introduit, tout en maintenant l’équilibre hydrostatique, de gérer les flux de masse verticaux ( ˙s

^∂p_∂s

) à

travers les interfacesI

_i

de démarcation entre les couches(C

_i

)du modèle, qui définissent les niveaux

de discrétisation de la coordonnées (ce sont les interfaces I

_i

qui permettent de définir des surfaces

s=csteet non l’inverse). Les flux de masse verticaux sont en fait modélisés par des épaississements

ou des rétrécissements des couches qui ne doivent pas violer les contraintes d’épaisseurs minimales

près de la surface

15

. Deuxièmement, cette procédure doit au mieux (l’expression “au mieux” prenant

toute son importance dans les zones de transition) faire en sorte

(i) que la coordonnée s soit liée à des niveaux de profondeur p en zone peu stratifiée ou près

de la surface, c’est à dire, plus précisément ici, que les portions d’une interface I

_i

qui se trouvent

dans des zones peu stratifiées ou près de la surface soient fixées à une profondeur p

ml

i

(les p

ml i

sont

croissants en parcourant les couches de la colonne d’eau vers le fond),

(ii) que la coordonnées soit liée à des niveaux σ(p) dans les zones peu profondes, c’est à dire,

plus précisément ici, que les portions d’une interfaceI

_i

qui se trouvent dans des zones peu profondes

soient fixées à un niveau σ(p)

^sw_i

(les σ(p)

^sw_i

sont croissants en parcourant les couches de la colonne

d’eau vers le fond),

(iii) que la coordonnéessoit liée à des niveaux de profondeur pen zone trop peu profonde pour

qu’elle soit liée à des niveaux σ(p) suffisamment écartés, c’est à dire, plus précisément ici, que les

portions d’une interface I

_i

qui se trouvent dans des zones trop peu profondes pour que les σ(p)

^sw_i

14

Elles sont fixées par l’utilisateur du modèle HYCOM.

15

introduits précédemment y soient suffisamment écartés, soient fixées à une profondeur p

^sw_i

(les p

^sw_i

sont inférieurs aux p

^ml_i

et toujours croissants en parcourant les couches de la colonne d’eau vers le

fond),

(iv) que la coordonnée s soit isopycnale dans l’océan intérieur bien stratifié, c’est à dire, plus

précisément ici, que la densité ρ

_i

dans les portions d’une couche C

_i

qui se trouve dans l’océan

intérieur bien stratifié ait atteint la valeur cible ρˆ

i.

Quoiqu’il en soit, la pression est utilisée pour repérer la profondeur des interfaces I

i

et les

épaisseurs des couches C

_i

.

Suivant les options prises par l’utilisateur, il est possible que certaines couches du modèle

HY-COM ne peuvent pas adopter un mode de fonctionnement hybride, c’est à dire un mode de

fonc-tionnement où leurs interfaces ne sont pas fixées à leur profondeur minimale, et où leur densité cible

n’est pas atteinte

16

: ces couches sont alors forcément isopycnales et sont forcément les couches

in-férieures de l’océan. Une couche isopycnaleC

i

a en chaque point une épaisseur nulle ou une densité

fixée à sa densité cible : ρ

_i

= ˆρ

_i

. Dans notre cas, toutes les couches pourront adopter un mode de

fonctionnement hybride. On voit, d’après les objectifs (i)-(iv) fixés précédemment, que quoi qu’il

en soit, les problèmes de faible stratification ne sont gérés que vers la surface de l’océan et que les

questions d’épaisseurs de couches minimales ne concernent que les couches supérieures de l’océan.

Les couches du fond peuvent avoir une épaisseur nulle (cela permet d’éviter certains problèmes

spécifiques liés à l’emploi de la coordonnée p près de la topographie de fond).

Le schéma d’ajustement de la coordonnée hybride est appliqué à la fin de chaque pas de temps

barocline (cette dernière procédure ajustant les déséquilibres créés par les autres procédures).

L’ap-plication des objectifs précédents ne doit pas violer des contraintes physiques comme la positivité

des épaisseurs de couche ∆p

_i

, la constance de la pression de fond barocline qui est la somme des

épaisseurs de couches, et la conservation de la hauteur de la colonne d’eau H

_tot

qui a été

diag-nostiquée par l’application des équations (2.19), (2.20), (2.21), (2.22) et (2.23) et des procédures

associées autres que le “grid generator” (afin de préserver l’équilibre géostrophique sur l’ensemble

de la colonne d’eau). L’ajustement consiste à faire échanger des masses d’eau entre les couches pour

conserver, quand c’est possible, le caractère isopycnal de certaines zones des couches, ou du moins

pour faire en sorte que la densité des couches se rapproche de leur densité cible. Si les échanges

ne sont pas permis du fait des contraintes d’épaisseurs minimales de couches et donc indirectement

de la faible stratification du modèle, les zones isopycnales des couches perdront ce caractère et

deviendront à proprement parler hybrides (les zones hybrides le resteront), si elles ne voient pas

leurs interfaces atteindre leur profondeur minimale et donc devenir des niveaux p (ou σ(p) dans

des cas extrêmes où la configuration permet à des couches suivant cette coordonnée de reposer sur

des couches à proprement parler hybrides). Inversement, la restratification de l’océan permettra à

certaines couches d’échanger des masses d’eau pour transformer des portions de couches fixées à

des niveaux p en portions de couche hybrides, et à des portions de couches hybrides de devenir

isopycnales, et donc de rétablir au mieux les conditions isopycnales.

L’algorithme choisi fonctionne localement sur la verticale (on ne considère même que trois

couches successives à chaque opération d’ajustement des épaisseurs de couche). Les échanges de

masse entre les couches sont directement calculés à partir des écarts entre les densités des couches

et la densité cible associée. On illustre le fonctionnement de cet algorithme à travers l’exemple

particulier de l’ajustement local de l’épaisseur d’une couche initialement isopyncale et d’épaisseur

non nulle (un traitement particulier est donné aux couches d’épaisseur nulle que l’on peut trouver

au fond de la colonne d’eau) au point considéré, exemple par ailleurs présenté dans l’annexe C de

16

Dans notre terminologie, le mode de fonctionnement hybride s’oppose à l’ensemble des modes de fonctionnement

en coordonnéez,σou isopycnale.

Bleck (2002) :

On considère sur une verticale, trois couches successives,C

_k−1,

C

_k

etC

k+1, où l’on suppose que

C

_k

était isopycnale à la fin de la dernière mise en oeuvre du “grid generator”, ces couches étant de

volume spécifique α

_k−1

, α

_k

et α

_k+1

(après traitement des équations du modèle au pas de temps

considéré) et de volume spécifique de référence (cible) αˆ

_k−1,

αˆ

_k

et αˆ

k+1. L’interface

I

_i

désigne

l’interface inférieure de la couche C

i, et elle repérée par la pression

p

i. L’épaisseur de la couche

C

_k

est non nulle : (∆p)

_k

>0. Du fait du traitement spécial apporté à la couche C

₁

au sommet de la

colonne d’eau, on doit en fait considérer k >2.

p

C

_k+1

C

_k−1

C

k

I

k+1

I

k

I

_k−1

I

k−2

Fig. 2.5 – Position de C

_k−1,

C

_k

etC

_k+1

sur la verticale considérée

On suppose queα

_k

devienne différent deαˆ

_k

(suivant les effets de l’application des transports

laté-raux de (2.19) et/ou des conditions aux limites). Afin de restaurer la condition isopycnale (α

_k

= ˆα

_k

)

tout en préservant la hauteur totale de la colonne d’eau, donnée parH

_tot

=

¹_g

R

αdp, on va

rediscré-tiser celle-ci en déplaçant sur les niveaux de pression une ou plusieurs interfaceI

_i

(de la profondeur

p

i

à la profondeurpˆ

i). Si la condition isopycnale ne peut être atteinte du fait de l’amincissement trop

important d’une des trois couches, elle ne sera pas restaurée mais seulement approchée en fixant α

_k

à α˜

_k

et les I

_i

aux profondeursp˜

i.

La méthode la plus simple (du type “donor cell”) consiste à ne déplacer qu’une interface deC

_k

dans le sens de son épaississement : si C

_k

est trop dense, on déplacera I

_k−1

vers la surface, si C

_k

n’est pas assez dense, on déplacera I

_k

vers le fond. Cette méthode pose problème si la couche de

fond n’est pas assez épaisse.

1er cas :α

_k

<αˆ

_k

La masse est échangée entre les couches C

_k

et C

_k−1

et l’on déplace I

_k−1

vers la surface. La

conservation de H

_tot

nécessite

α

_k−1

(p

_k−1

−p

_k−2

) +α

_k

(p

_k

−p

_k−1

) =α

_k−1

(ˆp

_k−1

−p

_k−2

) + ˆα

_k

(p

_k

−pˆ

_k−1

) (2.28)

ce qui donne

ˆ

p

_k−1

= ^p

^k−1

^(α

^k−1

−α

_k

) +p

_k

(α

_k

−αˆ

_k

)

α

_k−1

−αˆ

_k

(2.29)

Le terme (α

_k

−αˆ

_k

) étant négatif, on ne peut imposer avec ce calcul que pˆ

_k−1

> p

_k−2

. Afin

d’assurer une épaisseur minimale à C

_k−1

on déplace en réalité I

_k

à la profondeurp˜

_k−1

telle que :

˜

p

_k−1

=p

_k−2

+ (∆˜p)

_k−1

(2.30)

où (∆˜p)

_k−1

est fonction de la différence (∆ˆp)

_k−1

= ˆp

_k−1

−p

_k−2

. Si p˜

_k−1

6= ˆp

_k−1

,C

_k

aura alors un

volume spécifique α˜

_k

différent de αˆ

_k

et la condition isopycnale ne sera plus respectée.

Pour avoir une transition lisse des épaisseurs de couches non isopycnales aux épaisseurs de

couches isopycnales, l’épaisseur finale (∆˜p)

_k−1

de la couche C

_k−1

est définie comme une fonction

continûment différentiable de(∆ˆp)

_k−1. C’est la cas avec la définition suivante que l’on utilisera dans

notre configuration :

(∆˜p)

_k−1

=



































(∆ˆp)

_k−1

si

^(∆ˆp)k−1 δk−1

>4

δ

_k−1

1 +

¹₃

^(∆ˆp)k−1 2δk−1

+ 1

²

si ₋2<

^(∆ˆp)k−1 δk−1

<4

δ

_k−1

si ₋2>

^(∆ˆp)k−1 δk−1

(2.31)

où les δ

_i

sont les épaisseurs des couches C

_i

quand leurs deux interfaces sont fixées à leurs niveaux

minimauxp

^ml_i

,σ(p)

^sw_i

oup

^sw_i

qu’on (l’utilisateur) leur a assigné (soit, pour reprendre les expressions

usuelles, lorsque les couches sont, sous-entendu localement, “en mode de coordonnéez” ou “en mode

de coordonnée σ” même si a priori une couche peut atteindre cette épaisseur minimaleδ

_i

sans suivre

l’un de ces modes, en ayant au dessus d’elle au moins une couche qui n’a pas atteint son épaisseur

minimale). Ainsi, en zone d’eau profonde, δ

_i

=p

^ml_i

−p

^ml_i−1

.

HYCOM estime en fait lors de l’initialisation du modèle lesδ

_i

en fonction des positions

horizon-tales de la façon suivante : en appellantp[σ(p)]la profondeur locale d’un niveauσ(p), la profondeur

minimale d’une interfaceI

_i

est donnée parmin(p

^ml_i

, max(p

^sw_i

, p[σ(p)

^sw_i

])). Ainsi, en zone d’eau

pro-fonde,p[σ(p)

^sw_i

]> p

^ml_i

et les épaisseurs minimales de couchesδ

_i

sont fixées par les pressionsp

^ml_i

. En

zone d’eau peu profonde ou les niveaux σ(p)

sw

i

sont suffisamment espacés, p

sw

i

< p[σ(p)

sw

i

]< p

ml i

et les δ

_i

sont fixées par les niveaux σ(p)

^sw_i

. Enfin, lorsque les niveaux σ(p)

^sw_i

tendent à être trop

resserrés, p

^sw_i

> p[σ(p)

^sw_i

]et lesδ

_i

sont fixées par les niveaux p

^sw_i

.

L’utilisateur peut déclarer qu’un certain nombre des couches ne pourront pas passer en mode

σ (ce sera notre cas) et que dans ce cas les couches inférieures sont soit en mode z (c’est le cas

le plus fréquent), soit en mode hybride, soit en mode isopycnal. Dans ce cas ou dans le cas ou les

niveaux p

ml

i

etσ(p)

sw

i

ont des valeurs importantes, il est possible que des effets de la circulation ou

de la géométrie de la configuration amènent à une situation où des couches en modeσ reposent sur

des couches en mode hybride ou isopycnal. Mais dans le cas général, les déplacements d’interface

évoqués ici n’apparaissent qu’en eau profonde, à la verticale de couches en mode z. Dans les zones

peu profondes ou la coordonnée sest identifiable à la coordonnée z ou σ sur toute la verticale, on

peut écrire s˙= 0 et donc ( ˙s

^∂p_∂s

) = 0 et l’algorithme “grid generator” n’a rien à gérer.

Entre la portion où (∆˜p)

_k−1

est constante à la valeur minimale δ

_k−1

(ce qui est normalement

lié au fait que l’on impose àC

_k−1

d’être en mode de coordonnée zou σ) et celle où cette épaisseur

vaut en fait (∆ˆp)

_k−1

(la couche C

_k

restant donc isopycnale), (∆˜p)

_k−1

est fonction parabolique de

(∆ˆp)

_k−1

(etC

_k

entre alors en mode à proprement parler hybride). Toute cette mise au point est

in-dépendante de la nature du voisinage latéral. On n’évoque pas ici l’usage en pratique d’algorithmes

supplémentaires pour assurer, par exemple, que l’écart _|α˜

_k

−αˆ

_k

|ne dépasse pas certains seuils de

tolérance (ce problème est lié à la réactualisation des autres variables thermodynamiques,

réactua-lisation évoquée dans la suite). On peut noter cependant qu’il n’y a qu’un pas de temps sur deux

où l’on traite notre cas 1α

_k

<αˆ

_k

combiné avec le cas où C

_k−1

n’est pas assez dense (α

_k−1

>αˆ

_k−1

)

et n’est pas en mode z pour éviter certains problèmes.

Deux cas de figure se présentent :

-p˜

_k−1

≤p

_k−1

I

_k−1

est bien déplacée vers la surface et on apporte de l’eau moins dense à C

_k

dont le nouveau

volume spécifique α˜

_k

est plus proche deαˆ

_k

que son volume spécifique de départ α

_k

(quand il n’est

pas tout simplement égal à αˆ

_k

). La conservation deH

tot

donne :

˜

α

_k

= ^α

^k

^(p

^k

−p

_k−1

) +α

_k−2

(p

_k−1

−p˜

_k−1

)

p

_k

−p˜

_k−1

(2.32)

-p˜

_k−1

> p

_k−1

Ce cas de figure se traduit également de la façon suivante :(∆˜p)

_k−1

[(∆ˆp)

_k−1

]>(∆p)

_k−1

ce qui

n’est possible que si₋2<

^(∆ˆp)k−1

δk−1

<4soit donc en particulier siC

_k−1

n’était pas isopycnale et que

(∆p)

_k−1

n’est que très faiblement supérieure à (∆ˆp)

_k−1.

Ici le phénomène inverse à ce qu’on espérait se produit et C

_k

fournit de l’eau plus dense à

C

_k−1

. Le volume spécifique de C

_k

n’est alors pas modifiée à l’inverse de celui de C

_k−1

(ce qui est

souhaitable puisqueC

_k−1

n’était pas isopycnale) qui devient en suivant la conservation deH

_tot

:

˜

α

_k−1

= ^α

^k

^(˜p

^k−1

−p

_k−1

) +α

_k−1

(p

_k−1

−p

_k−2

)

˜

p

_k−1

−p

_k−2

(2.33)

On devra ajuster p˜

_k−1

pour que la couche C

_k

ait une épaisseur minimale si C

_k+1

n’est pas

d’épaisseur nulle (les couches d’épaiseurs nulles se trouvent toutes au fond de la colonne d’eau). La

détermination de l’épaisseur minimale et dep˜

_k−1

est alors un peu plus complexe (on n’en donne pas

le détail), peut appeler au déplacement deI

_k

, et donc également à veiller à ce que cette couche, si

elle n’est pas au fond, conserve une épaisseur minimale. Cela nécessite la combinaison de

comparai-sons avec les quantités δ

k,

(∆p)

_k+1

/2et une fonction de lissage similaire à celle donnée en équation

(2.31) appliquée en couche C

_k+1

avec la donnée δ

_k+1

.

2e cas : α

_k

>αˆ

_k

On suppose d’abord que C

_k+1

n’est pas d’épaisseur nulle et qu’on ne touche pas le fond de la

colonne d’eau avec C

k. La masse est échangée entre les couches

C

_k

etC

_k+1

et l’on déplace I

_k

vers

le fond. La conservation de H

tot

nécessite

α

_k

(p

_k

−p

_k−1

) +α

_k+1

(p

_k+1

−p

_k

) = ˆα

_k

(ˆp

_k

−p

_k−1

) +α

_k+1

(p

_k+1

−pˆ

_k

) (2.34)

ce qui induirait le déplacement de I

_k

vers :

ˆ

p

_k

= ^p

^k−1

^(ˆα

^k

−α

_k

) +p

_k

(α

_k

−α

_k+1

)

ˆ

α

_k

−α

_k+1

(2.35)

Ici encore on déplace en fait I

_k

à p˜

_k

telle qu’une épaiseur de couche minimale soit assurée à

˜

p

_k

=p

_k+1

−(∆˜p)

_k+1

(2.36)

On ne rentre pas dans le détail du calcul de cette épaisseur de couche minimale qui compare

(∆p)k+1

2

, la moitié de l’épaisseur initiale de C

k+1, et une épaisseur basée sur un calcul similaire à

(2.31) appliqué avec la donnéeδ

_k+1

(c’est en général cette épaisseur qui fournit l’épaisseur minimale).

On a alors, par conservation de H

_tot

:

˜

α

_k

= ^α

^k+1

^(˜p

^k

−p

_k

) +α

_k

(p

_k

−p

_k−1

)

˜

p

_k

−p

_k−1

(2.37)

Si la condition isopycnale n’est pas vérifiée, un traitement itératif dans lequel on ne rentrera pas

est alors utilisé selon les conditions dans lesquelles on se trouve.

- Cas particulier avec α

_k

>αˆ

_k

où C

_k

touche le fond de la colonne d’eau (s’il y a des couches

sous C

k, elles sont d’épaisseur nulle) :

Comme on ne peut pas déplacer I

_k

, on va déplacer I

_k−1

. On doit alors changer la conception

précédente de la densité au sein des couches : on accepte ici que la densité varie verticalement au

sein d’une couche. Du fait que α

_k−1

> α

_k

> αˆ

_k

on va regarder C

_k

comme la superposition de

deux sous couches, l’une de volume spécifiqueα

_k−1

et l’autre de volume spécifique αˆ

_k

, séparée à la

profondeur pˆ

_k−1

(on ne détaille plus les calculs, mais ils sont similaires aux précédents). La

sous-couche supérieure peut alors être fusionnée avec C

_k−1

puisqu’elle a même densité, laissant C

_k

à la

densité voulue, puisque finalement uniquement composée de sa sous couche initiale inférieure.

Le déplacement deI

_k−1

ne doit pas être trop important pour ne pas dépasser p

k. On fixe donc

cette interface à la pressionp˜

_k−1

telle que

(∆˜p)

_k

=max((∆ˆp)

_k

,^(∆p)

^k

2 ⁾ (2.38)

Certains éléments de l’algorithme que l’on vient d’illustrer ne suivent pas rigoureusement ce qui

est réellement fait dans le code du modèle HYCOM, mais ils donnent l’idée générale de son

fonc-tionnement. On ne montre pas comment est traitée la redistribution de la quantité de mouvement et

des variables thermodynamiques (autre que la densité) que l’on considère comme variables d’état du

modèle. Essentiellement, on veut conserver la valeur de leur moyenne sur la verticale, et respecter

les contraintes de densité. Certains problèmes sont spécifiques à l’emploi simultané de T etS dans

le vecteur d’état et ne concernent pas notre configuration.

Dans le document Caractérisation des erreurs de modélisation pour l'assimilation de données dans un modèle océanique régional du Golfe de Gascogne (Page 57-62)