Le pricing ou la g´en´eration de colonnes

1.5 Le pricing ou la g´en´eration de colonnes

Quand un programme lin´eaire admet un grand nombre de variables, il est tr`es difficile de le r´esoudre explicitement. Dans ce cas, on r´esout le programme lin´eaire sur un sous-ensemble de variables et on v´erifie ensuite si l’ajout d’une variable qui n’appartient pas au programme lin´eaire courant peut am´eliorer la solution op-timale. En effet pour un programme lin´eaire du type

min

f

c

t

x : Ax



b;x



0

g, une variable dont le coˆut r´eduit est n´egatif, peut am´eliorer la valeur de la solution optimale. Rappelons ici, que le coˆut r´eduit

r

j d’une variable j hors base est ´egal `a

c

j ,

y

t

a

:j o`u

a

:j 2

IR

m est la colonne associ´ee `a la variable j,

c

j est le coefficient dans la fonction ´economique correspondant `a une solution de base du programme lin´eaire et

y

2

IR

m la solution du dual. Le calcul du coˆut r´eduit d’une variable est appel´e “pricing”.

Comme dans la m´ethode des coupes poly´edrales, il est inutile d’avoir la liste explicite des variables pour l’algorithme de g´en´eration de colonnes. Il suffit d’avoir une m´ethode permettant de g´en´erer les variables du probl`eme initial qui ont un coˆut r´eduit n´egatif. Ce probl`eme porte le nom du probl`eme du “pricing”:

Le probl`eme de “pricing”:

Etant donn´ee une classe de variables d’un probl`eme lin´eaire et la valeur des variables duales de la solution de base. Il faut soit prouver que toutes les variables de cette classe ont un coˆut r´eduit positif, soit trouver une variable hors base dont le coˆut r´eduit est n´egatif.

L’algorithme de g´en´eration de colonnes est d´ecrit dans Algorithme 3. Il peut ˆetre int´egr´e dans la m´ethode du “Branch and Cut” pour pouvoir r´esoudre des pro-bl`emes d’optimisation difficiles avec un grand nombre de variables et de contraintes. La m´ethode obtenue porte le nom du ” Branch and Cut and Price ”. C’est l’algo-rithme qu’on va utiliser pour r´esoudre le probl`eme du voyageur de commerce. Mais pour ne pas alourdir notre texte, nous appellerons d´esormais cette m´ethode, l’algorithme du “Branch and Cut”.

Algorithme 3 L’algorithme de g´en´eration de colonnes

/* On veut r´esoudre le probl`eme d’optimisation combinatoire

min

f

c

t

x : Ax



b;x

2

IR

ngavec

A

2

IR

mn et

b

2

IR

m */ continue-le-pricing = vrai;

S´electionner un petit sous-ensemble J des variablesf

1::m

g; Tant que continue-le-pricing faire

Calculer la solution de base

x

J du programme lin´eaire

c

tJ

x

J

=min

f

c

tJ

x

J

:

A

J

x

J 

b;x

J 

0;x

J 2

IR

jjj

get d´eterminer les valeurs des variables duales

y

;

Pour i qui n’est pas dans J faire

Si

r

i

=c

i,

y

t

a

:i

0

alors

continue-le-pricing = faux;

Sinon

Ajouter la colonne j avec le

r

j

< 0

`a J; continue-le-pricing = vrai;

Sortir de la boucle Pour;

Fin Si Fin Pour

Fin Tant que

17

Chapitre 2

Approche poly´edrale du probl`eme

du voyageur de commerce

Ce chapitre est consacr´e `a une approche poly´edrale de l’´etude du pro-bl`eme du voyageur de commerce. Nous commencerons par une mod´eli-sation du probl`eme sous la forme d’un programme lin´eaire en nombres entiers. Nous d´efinirons ensuite le polytope du probl`eme du voyageur de commerce et nous donnerons ses principales propri´et´es. Nous d´ecrirons enfin quelques facettes connues du polytope du probl`eme du voyageur de commerce.

2.1 Le probl`eme du voyageur de commerce

Avant de donner la formulation du probl`eme du voyageur de commerce en programme lin´eaire en nombres entiers, rappelons quelques d´efinitions, qui nous serviront tout au long de cette th`ese.

Un graphe

G = (V;E)

est d´efini par l’ensemble de ses sommets

V

, et l’en-semble de ses arˆetes

E

. On note

K

n

= (V

n

;E

n

)

le graphe non orient´e complet sur n sommets.

Soit x une fonction coˆut de

E

!

IR

jEj

qui associe `a chaque arˆete

e

2

E

un coˆut

x

e. Pour tout

F



E

n, on note par

x(F)

la somme

P e2F

x

e.

Pour tout

S



V

n, on note par

(S) =

f

uv

2

E

n

:u;v

2

S

gl’ensemble des arˆetes de

E

n dont les deux extr´emit´es sont dans

S

, et par

(S) =

f

uv

2

E

n

: u

2

S;v

2

V

n,

S

gl’ensemble des arˆetes poss´edant exactement une seule extr´emit´e dans

S

. Par abus d’´ecriture on notera

(

f

v

g

) =(v)

, pour tout

v

2

V

n.

Pour tout

S



V

n et

T



V

nn

S

, on note par

(S : T) = (T : S)

l’ensemble des arˆetes dont une extr´emit´e est dans

S

et l’autre dans

T

.

Pour un graphe

G = (V;E)

, on note

G(S)

le sous graphe induit par

S

. Et `a un vecteur

x

2

IR

jEj

on associe un graphe

G

x

= (V;E;x)

dont l’ensemble des arˆetes contient toutes les arˆetes de E qui ont une composante non nulle dans

x

. Le poids d’une arˆete

e

de

G

x est ´egal `a

x

e.

Soient

K

n

= (V

n

;E

n

)

le graphe non orient´e complet sur n sommets, et

c

2

IR

jEnj

une fonction qui associe `a chaque arˆete de

K

n une longueur

c

e. Le pro-bl`eme de voyageur de commerce consiste `a trouver un cycle hamiltonien

H



tel que

c(H



) = min

f

c(H) : H

2 Hng, o`u Hn repr´esente l’ensemble des cycles hamiltoniens de

K

n.

Un cycle Hamiltonien est un sous graphe

H = (V

n

;E)

de

K

n satisfaisant: (a) chaque sommet de

H

est de degr´e 2. (2.1.2.1)

(b)

H

est connexe. (2.1.2.2)

On associe `a tout

H

2Hn un vecteur d’incidence unique

x

2f

0;1

g jEnj d´efini par:

x

He

=



1

si

e

2

E

0

sinon

Le probl`eme du voyageur de commerce s’´ecrit sous la forme du programme lin´eaire en nombres entiers suivant:

minimiser

c

T

x

sous

x((v)) = 2

pour tout

v

2

V

n (2.1.2.3)

x((S))



2

pour tout

S



V

n

;S

6

=V

n

;S

6

= 

(2.1.2.4)

0



x

e 

1

pour tout

e

2

E

n (2.1.2.5)

x

e 2f

0;1

g pour tout

e

2

E

n (2.1.2.6)

L’´equation (2.1.2.3) signifie que chaque sommet est exactement incident `a 2 arˆetes, elle peut ˆetre ´ecrite sous la forme suivante:

A

n

x =

2 (2.1.2.7)

o`u

A

n est la matrice d’incidence de

K

n et 2 est un vecteur de

IR

n dont les compo-santes sont ´egales `a 2. Ces in´equations portent le nom d’´equations de degr´e.

2.2 Le polytope du probl`eme du voyageur de commerce 19

Dans le document Parallélisation de la méthode du "Branch and Cut" pour résoudre le problème du voyageur de commerce (Page 32-36)