Autres s´eparations

Pour effectuer les s´eparations d’autres types de contraintes, on a utilis´e comme point de d´epart l’algorithme de s´eparation des peignes. On verra dans la suite com-ment on peut partir d’un peigne non viol´e, obtenu par les heuristique de s´eparation des peignes d´ecrites ci-dessus, pour trouver des contraintes d’arbres de cliques, d’´echelles ou de chemins viol´ees.

S´eparation des arbres de cliques

On va montrer comment on peut partir d’une in´egalit´e de peigne non viol´ee pour construire une in´egalit´e d’arbre de cliques viol´ee. Si on consid`ere une in´ega-lit´e de peigne non viol´ee `a cause de la grande valeur de l’un des cocycles de ses dents. La figure 3.5 montre comment on peut construire une in´egalit´e d’arbre de clique viol´ee en ajoutant un nombre ad´equat de manche qui intersecte la dite dent. En gras sur la figure on voit le peigne non viol´e de d´epart.

Ainsi on d´eduit le principe de l’heuristique de s´eparation des arbres de cliques. Supposons qu’on poss`ede un ensembleS

=

f

H

1

;T

1

;

;T

2k+1

gd´efinissant une in´egalit´e de peigne non viol´ee. En commen¸cant par la dent qui poss`ede le plus grand cocycle, on essaye de construire avec la m´ethode de l’oreille ou max-back un ou plusieurs manches, en partant d’un sommet de la dent qui poss`ede une valeur max-back minimum par rapport `a la dent. Pour chaque manche construit, on cherche des dents pour compl´eter l’arbre de clique. On r´ep`ete ceci pour chaque dent du peigne initial dont le cocyle est sup´erieur `a une certaine valeur.

S´eparation des in´egalit´es d’´echelles

De la mˆeme fa¸con que pour les arbre de cliques, on va essayer de trouver des in´egalit´es d’´echelles viol´ees `a partir de contraintes de peignes non viol´ees. La figure 3.6 montre des exemples de contraintes d’´echelle viol´ees obtenues `a

3.4 S´eparation 43 3.0 2.0 2.0 3.0 3.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 3.0 3.0 3.0 4.0

partir de contrainte de peigne. En gras sur la figure, on distingue l’in´egalit´e de peigne d’origine. Les coefficients de chaque dent dans l’in´egalit´e d’´echelle est en police fine. Dans les deux premiers cas, le terme correcteur est nul puisque

(H

1

\

P

1

:H

2

\

P

2

) = 

.

On va distinguer la m´ethode de s´eparation des in´egalit´es d’´echelle selon l’ori-gine de la violation. Dans le cas o`u le terme correcteur n’est pas l’oril’ori-gine de la violation, on commence comme d’habitude par un peigne non viol´e. Le manche du peigne va ˆetre le manche

H

1 de l’in´egalit´e d’´echelle potentiel. Le point crucial de notre heuristique consiste `a choisir la dent pendante

P

1 qui n’intersecte pas le manche

H

2. Cette dent doit avoir un cocycle proche de 2. Si plusieurs cocycles satisfont cette condition, on choisit la dent qui est la moins reli´ee aux dents dont la valeur du cocycle est grande. En effet, soient

T

et

T

0

tels qu’un sommet de

T

n

H

1 est adjacent `a un sommet de

T

0

n

H

1 par une arˆete de valeur non n´egligeable, et telle que la valeur du cocycle de

T

0

est assez loin de 2, alors ce sommet est un bon candidat pour commencer la construction d’un manche

H

2, d’o`u la dent

T

n’est pas un bon candidat pour le rˆole de

P

1.

Une fois d´ecid´e quelle dent va jouer le rˆole de

P

1, il faut construire le manche

H

2. Ceci est fait comme d’habitude par construction `a partir d’un sommet ini-tial par l’addition d’oreilles ou par la m´ethode de max-back. Ensuite, il suffit de construire la dent pendante

P

2 comme dans les heuristiques de s´eparation des peignes.

On a vu dans la description des in´egalit´es d’´echelle qu’on peut obtenir le mˆeme type de contrainte en rempla¸cant le manche

H

2 par son compl´ementaire. Pour obtenir ce type de contrainte, on proc`ede de la mˆeme fa¸con que pour les in´egalit´es classiques d’´echelles. La dent du manche int´erieur est choisie comme pour la dent pendante

P

1. Le manche ext´erieur est initialis´e par l’union du manche int´erieure et la dent

P

1. Il est construit jusqu’`a ce que son cocycle atteint une valeur raisonnable et tel que toutes les dents avec une grande valeur de cocycle aient un sommet dans ce manche qui ne soit pas dans le manche int´erieur, pour qu’ils aient un coefficient ´egale `a 1. A ce stade, on cherche une dent

P

2comme pour les peignes.

S´eparation des in´egalit´es d’´etoile et de chemin

Comme d’habitude on va partir d’in´egalit´e de peigne non viol´ees pour construire des in´egalit´es de chemin ou d’´etoile viol´ees. La figure 3.7 montre des exemples de contraintes de chemin viol´ees obtenues `a partir de contraintes de peignes. Les coefficients de chaque dent dans l’in´egalit´e de chemin sont en police fine.

3.4 S´eparation 45 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 4.0 4.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.5 1/3 2.0 2.0 1 1 2 1 1 1 1 2 2.0 2.0 2.5 1 2 1 1 2.0

manches tels que leurs sommets soient dans les dents. Une fa¸con de trouver de nouveaux manches est d’agrandir le manche initial en additionnant des oreilles ou des sommets par la m´ethode de max-back faisant en sorte de rendre les coefficients des dents assez petits. Une autre fa¸con consiste `a prendre chaque dent et `a essayer de trouver une d´ecomposition en intervalles.

Pour un aper¸cu plus d´etaill´e des choix d’impl´ementation des ces proc´edures de s´eparation, le lecteur est encourag´e de consulter [NT98b].

Dans le document Parallélisation de la méthode du "Branch and Cut" pour résoudre le problème du voyageur de commerce (Page 59-63)