→B.
Dans tous les cas, il faut prendre en compte les propriétés de symétrie de la densité de courant.
7.6 Le dipôle magnétique
7.6.1 Champ magnétique créé par une spire
Soit une spire plane, de forme quelconque, de centre d'inertie O, parcourue par un courant per-manentI. Nous allons calculer le champ magnétique créé par cette spire en tout point M de l'espace, situé à grande distance de la spire (précisément, à des distances grandes comparées à la taille de la spire). On pose (cf. gure ci-dessous)
−
→r =−−−→ OM −→
r0 =−−−→
P M −→ρ =−−→
OP =−→ r − −→
r0 rb=
−
→r r .
I
z
O
P dOP
M
q r
r’ n r
Figure 7.4 Dipôle magétique : champ loin d'une spire de courant
Bien qu'on pourrait trouver le champ magnétique créé par le circuit directement à partie de la formule de Biot et Savart, il est instructif d'arriver à ce résultat en employant le potentiel vecteur−→
A.
Le potentiel vecteur associé avec la spire de courant s'écrit :
−
→A(M) = µ0I 4π
I
spire
−
→dl
P M = µ0I 4π
I
spire
−→ dρ r0 avec r0 =P M =
−−−→ OM −−−→
OP =
r2+ρ2−2−−→
OP ·−−−→ OM1/2
.
Electromagnétisme CHAPITRE 7. LOIS FONDAMENTALES DE LA MAGNÉTOSTATIQUE
où nous avons utilisé le fait que−→
dl≡d−−→
OP =−→
dρdans le plan de la spire. On se rappelle qu'on emploie la limiterρ, pour tout pointP appartenant à la spire, donc : et l'on obtient :
−
La première intégrale de l'éq.(7.20) se fait rapidement. Si on décompose le vecteur−→ρ dans une base (eb1,eb2)engendrant le plan de la spire, on a : puisque chaque intégrale est nulle :
I
Il faut maintenant évaluer la deuxième intégrale de l'éq.(7.20). Si on décompose les vecteurs −→ρ et
− On remarque d'abord que :
I puisqu'on revient au même point départ deP0. De la même manière :
I
Utilisant les relations (7.22) et (7.23) dans l'éq.(7.21) donne : I
Electromagnétisme 7.6. LE DIPÔLE MAGNÉTIQUE
oùnb =eb3 est le vecteur normal au plan de la spire (vecteur de base de l'axe3) et S sa surface. Dans la dernière ligne de l'éq.(7.24) nous avons utilisé l'intégrale :
1
Ce calcul est général, valable quelle que soit la surface. En eet, une surface élémentairedS, telle que : 1
2
−
→ρ ∧−→
dρ=dSnb ,
est toujours engendrée lors d'un petit déplacement du vecteur−→ρ (voir la gure 7.5)
O
Figure 7.5 Surface élémentaire d'une spire On obtient donc une expression relativement simple pour le potentiel −→
A loin de la spire :
où on voit apparaî tre une grandeur importante car décrivant complètement la spire vue depuis une grande distance, à savoir le moment magnétique dipolaire :
−→
m=ISnb . (7.27)
Le champ magnétique se déduit de−→ B =−→
On invoque maintenant une relation d'analyse vectorielle (cf. l'éq.(11.21) de l'annexe des mathéma-tiques) : Pour le deuxième terme du second membre ci-dessus, on se rappel que −−−→
grad 1/r3
=−3−→r/r5, alors que pour le premier term du second membre, on utilise le fait que :
−→rot −m→∧ −→r
où nous avons utilisé la formulation déterminant an de calculer le rotationnelle. Mettant tout ceci dans l'Eq.(7.6.1), on obtient le champ, −→
B, du dipôle magnétique :
Electromagnétisme CHAPITRE 7. LOIS FONDAMENTALES DE LA MAGNÉTOSTATIQUE
On obtient une expression équivalente (et un peu plus simple) pour −→
B en faisant appel à l'égalité rb∧ −→m∧rb
=−m→(rb·r)b −rb rb· −m→ :
−
→B(M) = µ0
4πr3
3rb −m→·rb
− −→m
, (7.29)
ce qui peut également s'écrire :
−
→B(M) =−µ0
4π
−−−→grad
−→m·rb r2
. (7.30)
En coordonnées sphériques,rb· −m→=mcosθet les composantes poloïdales du champ s'écrivent : Br = µ0
4πr32mcosθ Bθ= µ0
4πr3msinθ . Remarque : On constate que le champ−→
B d'un dipôle magnétique est analogue au champ−→
E produit par un dipôle électrique :
−
→E(M)→ − 1 4π0
−−−→grad
−→p ·rb r2
. (voir chapitre 5 et l'éq.(5.5) en particulier)
Cette analogie est assez surprenante compte tenu du fait que les équations et les sources de−→ B sont bien diérentes que celles de−→
E.
Lignes de champ d'un dipôle magnétique
Pour le dipôle magnétique ponctuelle les équations pour les lignes de champ,−→
B, sont entière-ment analogues à celles du champ −→
E pour le dipôle électrique. Ici, l'équation des lignes de champ en coordonnées sphériques fournit (voir (7.8)) :
d−→ l ∧−→
B =−→
0 ⇒dφ= 0 et dr
µ0
4πr32mcosθ = rdθ
µ0
4πr32msinθ ⇒ dr
r = cosθdθ sinθ , donc les lignes de champ magnétique sont obtenues en intégrant les deux côtés :
Z dr r =
Z cosθdθ
sinθ ⇒ lnr= 2 ln (sinθ) +C ⇒ r(θ) =Ksin2θ , oùK est une constante.
(a) (b)
Figure 7.6 Lignes de champ magnétiques produites par des dipôles magnétiques. Exemples : (a) une spire de courant, (b) le champ magnétique terrestre.
Chapitre 8
Champ magnétique en présence de la matière
8.1 Le modèle du dipôle en physique
Comme nous avons remarqué dans le chapitre précédent, les expression du champ magnétique créé par une spire de courant (dipôle magnétique−m→=ISnb) est formellement équivalente à celle du champ électrostatique créé par un système de deux charges opposées (dipôle électrique−→p =q−→
d )
−
→B(M)→ −µ0 4π
−−−→grad
−m→·rb r2
−→
E(M)→ − 1 4π0
−−−→grad
−→p ·rb r2
.
Cependant, pour le champ magnétique, il s'avère impossible de séparer le dipôle en une charge ma-gnétique + et une autre - . Le dipôle est la première source de champ mama-gnétique. C'est la raison pour laquelle il joue un si grand rôle dans la modélisation des eets magnétiques observés dans la nature, au niveau microscopique comme macroscopique.
L'origine du champ magnétique d'un matériau quelconque (ex : aimant) doit être microscopique.
En utilisant le modèle atomique de Bohr, on peut se convaincre que les atomes (du moins certains) ont un moment magnétique dipolaire intrinsèque. Le modèle de Bohr de l'atome d'Hydrogène consiste en un électron de chargeqe=−een mouvement circulaire uniforme autour d'un noyau central (un proton) avec une période Te= 2πω.
L
ve=w
e re
q =-ee r =ae 0
e= re v=
me e me
a20we
q =+ep
S
Ie
m Ie
Ie
Si on regarde sur des échelles de temps longues par rapport àTe, tout se passe comme s'il y avait un courant
Ie= qe Te
= qeω 2π .
On a donc une sorte de spire circulaire, de rayon moyen la distance moyenne au proton, c'est-à-dire le
Electromagnétisme CHAPITRE 8. CHAMP MAGNÉTIQUE EN PRÉSENCE DE LA MATIÈRE
rayon de Bohr,a0. L'atome d'Hydrogène aurait donc un moment magnétique intrinsèque :
−→
m=IeSnb = qeω
2 a20nb = qe
2me meωa20nb
= qe
2me
−→
Le , (8.1)
où−→
Le est le moment cinétique de l'électron et qe/2me est appelé le facteur gyromagnétique.
Ce raisonnement peut se généraliser aux autres atomes. En eet, un ensemble de charges en rotation autour d'un axe produit un moment magnétique proportionnel au moment cinétique total. Cela se produit même si la charge totale est nulle (matériau ou atome neutre) : ce qui compte c'est l'existence d'un courant. Il sut donc d'avoir un décalage, même léger, entre les vitesses des charges + et celles des charges - .
Du coup, on peut expliquer qualitativement les propriétés magnétiques des matériaux en fonction de l'orientation des moments magnétiques des atomes qui les composent :
Matériaux diamagnétiques : produisent un moment magnétique induit, proportionnel au champ magnétique appliqué, qui s'oppose à ce dernier. Le champ −→
B résultant est d'intensité inférieure au champ appliqué.
Matériaux paramagnétiques : Leurs contituants ont des moments dipolaires magnétiques intrinsèques qui peuvent s'aligner avec un champ magnétique externe. Elles peuvent ainsi être aimantés momentanément et le−→
B résultant est d'intensité supérieure au champ appliqué.
Matériaux ferromagnétiques : ceux dont les moments sont déjà orientés dans une direction particulière, de façon permanente (aimants naturels).
La Terre est connue pour avoir un champ magnétique dipolaire, où le pôle Nord magnétique cor-respond approximativement au pôle Sud géographique. Au niveau macroscopique, l'explication de l'existence du champ magnétique observé sur les planètes et sur les étoiles est encore aujourd'hui loin d'être satisfaisante. La théorie de l'eet dynamo essaye de rendre compte des champs observés par la présence de courants, essentiellement azimutaux, dans le c÷ur des astres.
Plusieurs faits connus restent partiellement inexpliqués :
Les cycles magnétiques : le Soleil a un champ magnétique à grande échelle qui ressemble à celui de la Terre, approximativement dipolaire. Cependant, il y a une inversion de polarité tous les 11 ans. Pour la Terre, on a pu mettre en évidence qu'il y avait eu une inversion il y a environ 700.000 ans. Par ailleurs, on observe des uctuations du champ.
Non-alignement avec le moment cinétique de l'astre : s'il est de l'ordre d'une dizaine de degrés pour la Terre (avec une modication de la direction de l'axe magnétique d'environ 15' par an), il est de90◦ pour celui de Neptune !