3. Les matériaux ferromagnétiques sont ceux pour lesquels on peut assimiler leurs atomes à des dipôles alignés dans le même sens. Mis en présence d'un champ magnétique externe, ils auront tendance à se mettre dans la direction du champ, ce qui va produire un mouvement macrosco-pique d'ensemble.
9.3 Energie potentielle d'interaction magnétique
9.3.1 Le théorème de Maxwell
Un circuit électrique parcouru par un courant produit un champ magnétique engendrant une force de Laplace sur un deuxième circuit, si celui-ci est lui-même parcouru par un courant. Chaque circuit agit sur l'autre, ce qui signie qu'il y a une énergie d'origine magnétique mise en jeu lors de cette interaction. D'une façon générale, un circuit parcouru par un courant permanent placé dans un champ magnétique ambiant possède une énergie potentielle d'interaction magnétique.
Pour la calculer, il sut d'évaluer le travail de la force de Laplace lors d'un déplacement virtuel de ce circuit (méthode des travaux virtuels, comme en électrostatique).
dSc
I
dl dr
Considérons un élément−→
dld'un circuit liforme, orienté dans la direction du courantI. Cet élément subit une force de Laplace −→
dFL . Pour déplacer le circuit d'une quantité −→
dr , cette force doit fournir un travail
d2WL=−→
dFL·−→ dr=I
−→ dl∧−→
B
·−→ dr=I
−→ dr∧−→
dl
·−→ B
=IdScnb·−→
B ≡Id2Φc ,
oùdScnb est la surface élémentaire décrite lors du déplacement de l'élément de circuit (les trois vecteurs forment un trièdre direct). On reconnaît alors l'expression du ux magnétique à travers cette surface balayée, appelé ux coupé. Pour l'ensemble du circuit, le travail dû à un déplacement élémentaire −→ dr est
dWL= I
circuit
d2WL= I
circuit
Id2Φc=IdΦc . Théorème de Maxwell :
Le déplacement d'un circuit électrique fermé dans un champ magnétique extérieur engendre un travail des forces magnétiques égal au produit du courant traversant le circuit par le ux coupé par celui-ci lors de son déplacement.
Commentaires sur la notion de Flux coupé
Le nom de ux coupé provient de notre représentation du champ magnétique sous forme de lignes de champ. Lors du déplacement du circuit, celui-ci va en eet passer à travers ces lignes, donc les couper . La notion de ux coupé est très importante car elle permet parfois de simplier les calculs considérablement. Par ailleurs, dans le cas d'un champ magnétique constant dans le temps,
Electromagnétisme CHAPITRE 9. ACTIONS ET ÉNERGIE MAGNÉTIQUES
nous allons démontrer que le ux coupé par le circuitΦclors de son déplacement est exactement égal à la variation du ux total∆Φ.
Position initial du circuit
aaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaa
dS
i
dS
c
dSf
Position final du circuit
Soit un circuitCorienté, parcouru par un courantIet déplacé dans un champ magnétique extérieur (voir gure 9.3.1 ci-dessus). Ce circuit dénit à tout instant une surface S s'appuyant sur C. Lors du déplacement de sa position initiale vers sa position nale, une surface ferméeΣ =Si+Sf+Scest ainsi décrite, où Sc est la surface balayée lors du déplacement. On choisit d'orienter les normales à chaque surface vers l'extérieur. La conservation du ux magnétique impose alors
ΦΣ= ΦSi−ΦSf + Φc= 0 , c'est-à-dire
Φc= ΦSf −ΦSi .
On a donc bien Φc= ∆Φet le travail fait par la force de Laplace est :
WL=I∆Φ , (9.8)
qui est vérié algébriquement. Ne pas oublier que ce raisonnement n'est valable que pour un champ magnétique extérieur statique (pas de variation temporelle du champ au cours du déplacement du circuit).
9.3.2 Energie potentielle d'interaction magnétique
Considérons un circuit électrique parcouru par un courant permanent I et placé dans un champ magnétique statique. Le circuit est donc soumis à la force de Laplace : cela signie qu'il est susceptible de se déplacer et donc de développer une vitesse. On pourra calculer cette vitesse en appliquant, par exemple, le théorème de l'énergie cinétique∆Ec=WL=I∆Φ . Mais d'où provient cette énergie ?
Si l'on en croit le principe de conservation de l'énergie, cela signie que le circuit possède un réservoir d'énergie potentielle Um, lié à la présence du champ magnétique extérieur. L'énergie mécanique du circuit étantE =Ec+Um, on obtient dUm =−dWL.
L'énergie potentielle magnétique d'un circuit parcouru par un courant permanentI et placé dans une champ magnétique extérieur est donc
Um=−IΦ +Constante . (9.9)
La valeur de la constante, comme pour toute énergie potentielle d'interaction, est souvent choisie arbitrairement nulle.
Electromagnétisme 9.3. ENERGIE POTENTIELLE D'INTERACTION MAGNÉTIQUE
9.3.3 Expressions générales de la force et du couple magnétiques
L'existence d'une énergie potentielle se traduit par une action possible (reconversion de cette éner-gie). Ainsi la résultante−→
FL=H−→
dFLdes forces magnétiques exercées sur le circuit est donnée par dUm =
3
X
i=1
∂Um
∂xi
dxi=−dWL=−−→ FL·−→
dr=−
3
X
i=1
Fidxi ,
où lesdxi mesurent les déplacements (translations) dans les trois directions de l'espace par rapport au centre d'inertie du circuit (là où s'applique la force magnétique). On obtient ainsi l'expression générale de la force de Laplace agissant sur un circuit parcouru par un courant permanent, c'est-à-dire,
Fi =−∂Um
∂xi , ou sous forme vectorielle,
−
→FL=−−−−→
gradUm =I−−−→
gradΦ . (9.10)
Remarques :
1. La force totale (s'exerçant donc sur le centre d'inertie du circuit) a tendance à pousser le circuit vers les régions où le ux sera maximal.
2. Cette expression est valable uniquement pour des courants permanents. Noter qu'elle s'applique néanmoins pour des circuits déformés et donc pour lesquels il y aura aussi une modication du ux sans réel déplacement du circuit.
On peut faire le même raisonnement dans le cas d'un mouvement de rotation pure du circuit.
Prenons le cas général de rotations d'angles innitésimauxdαi autour de trois axes∆i. passant par le centre d'inertieO du circuit et engendrés par les vecteurs unitairesebi.
O
r da
dr
D i I e
iSoit le vecteur −→r =−−→
OP =rrbreliant un pointP quelconque d'un circuit et le pointO. La vitesse du pointP s'écrit en toute généralité (voir un cours de mécanique)
d−→r dt = dr
dtrb+−→ Ω∧ −→r ,
où le premier terme correspond à une translation pure et le second à une rotation pure, décrite par le vecteur instantané de rotation,
−
→Ω=
α·1
α·2
α·3
=
3
X
i=1
dαi
dt ebi .
Electromagnétisme CHAPITRE 9. ACTIONS ET ÉNERGIE MAGNÉTIQUES
L'expression générale du moment de la force magnétique par rapport à O est −→
Γ = P3
i=1Γiebi. Le travail dû à la force de Laplace lors d'une rotation pure (r=OP reste constant)
dWL=
Autrement dit, le moment de la force magnétique par rapport à un axe∆ipassant par le centre d'inertie O du circuit, dépend de la variation de ux lors d'une rotation du circuit autour de cet axe.
Exemple : Le dipôle : En supposant que le champ magnétique extérieur est constant à l'échelle d'un dipôle de moment magnétique dipolaire−m→=ISnb, on obtient un ux Φ =−→
B·Snb. La force magnétique totale s'écrit alors,
−
Le moment de la force magnétique (couple magnétique) s'écrit Γi =I∂Φ Or le moment magnétique dipolaire varie de la façon suivante lors d'une rotation,
d−→m= et on obtient donc,
Γi =−→
Remarquer que ce calcul est bien plus facile que le calcul direct eectué à la section 9.2.4.
9.3.4 La règle du ux maximum
Un solide est dans une position d'équilibre stable si les forces et les moments auxquels il est soumis tendent à le ramener vers cette position s'il en est écarté. D'après le théorème de Maxwell on a
dWL=IdΦ =I(Φf−Φi) =−→ FL·−→
dr.
Si la position est stable, cela signie que l'opérateur doit fournir un travail, autrement dit un déplace-ment−→
dr dans le sens contraire de la force (qui sera une force de rappel), doncdW <0 ouΦf <Φi.