que celles employées pour le condensateur du vide (voir chapitre 4). On en déduit que le champ entre les armatures est :
−
→E =
−
→D
0εr
= σ
0εrzb, (5.28)
ce qui amène à U = SQd
0εr et C = Sd0εr exactement comme nous avons trouvé dans la section 5.2.3 mais avec nettement moins d'eort.
5.3 Energie potentielle électrostatique
5.3.1 Energie électrostatique d'une charge ponctuelle
Comment mesure-t-on l'énergie potentielle gravitationnelle d'un corps de massem? On le déplace d'une position initiale jusqu'à une position nale (on exerce donc une force) puis on le lâche sans vitesse initiale. S'il acquiert une vitesse, c'est qu'il développe de l'énergie cinétique. Or, en vertu du principe de conservation de l'énergie, cette énergie ne peut provenir que d'un autre réservoir énergétique, appelé énergie potentielle. Comment s'est constituée cette énergie potentielle gravitationnelle ? Grâce au déplacement du corps par l'opérateur. Ainsi, le travail eectué par celui-ci est une mesure directe de l'énergie potentielle. On va suivre le même raisonnement pour l'énergie électrostatique.
Dénition 2 l'énergie potentielle électrostatique d'une particule chargée placée dans un champ élec-trostatique,Ee, est égale au travail qu'il faut fournir pour amener de façon quasi-statique cette particule de l'inni à sa position actuelle.
Prenons une particule de charge q placée dans un champ −→
E. Pour la déplacer de l'inni vers un point M, un opérateur doit fournir une force qui s'oppose à la force de Coulomb. Si ce déplacement est fait susamment lentement, la particule n'acquiert aucune énergie cinétique. Cela n'est possible que si, à tout instant,−→
Fext =−−→
F =−q−→
E. Le travail fourni par l'opérateur sera donc Ee(M)≡
Z M
∞
dW = Z M
∞
−
→Fext·−→ dr=−
Z M
∞
q−→ E ·−→
dr=q[V (M)−V (∞)] .
Puisqu'on peut toujours dénir le potentiel nul à l'inni, on obtient l'expression suivante pour l'énergie électrostatique d'une charge ponctuelle située enM
Ee(M) =qV(M) .
On voit donc que le potentiel électrostatique est une mesure (à un facteur q près) de l'énergie élec-trostatique : c'est dû au fait que V est lié à la circulation du champ. Autre remarque importante : l'énergie est indépendante du chemin suivi.
5.3.2 Energie électrostatique d'un ensemble de charges ponctuelles Dans la section précédente, nous avons considéré une chargeq placée dans un champ−→
E extérieur et nous avons ainsi négligé le champ créé par la charge elle-même. Mais lorsqu'on a aaire à un ensemble de N charges ponctuelles qi, chacune d'entre elles va créer sur les autres un champ électrostatique et ainsi mettre en jeu une énergie d'interaction électrostatique. Quelle sera alors l'énergie potentielle électrostatique de cet ensemble de charges ?
Soit la charge ponctuelle q1 placée en P1. On amène alors une charge q2 de l'inni jusqu'en P2, c'est-à-dire que l'on fournit un travailW2 =q2V1(P2) =q1V2(P1) =W1 identique à celui qu'il aurait
Electromagnétisme CHAPITRE 5. DIPÔLE ÉLECTRIQUE - ENERGIE ÉLECTROSTATIQUE
fallu fournir pour amener q1 de l'inni en P1 en présence deq2 déjà située en P2. Cela signie que ce système constitué de 2 charges possède une énergie électrostatiqueé :
Ee = q1q2
4π0r12
=W1 =W2= 1
2(W1+W2) , oùr12=P1P2.
Remarque : Dans cette approche, nous avons considéré q2 immobile alors que l'on rapprochait q1. En pratique évidemment, c'est la distance entre les deux charges qui diminue du fait de l'action de l'opérateur extérieur à la fois surq1 etq2 (avec−→
Fext→1=−−→
Fext→2 puisque−→
F1→2=−−→
F2→1). On aurait aussi bien pu calculer le travail total fourni par l'opérateur en évaluant le déplacement deq1 et de q2de l'inni à la distance intermédiaire (M/2). Une autre façon de comprendre cela, c'est de réaliser que nous avons évalué le travail fourni par l'opérateur dans le référentiel lié àq2 (immobile). Celui-ci est identique au travail évalué dans un référentiel xe (oùq1 etq2 se déplacent) car le déplacement des charges s'eectue de manière quasi-statique (aucune énergie n'a été communiquée au centre de masse).
Si maintenant on amène une 3`eme charge q3 de l'inni jusqu'en P3 ( q1 etq2 xes), il faut fournir
correspondant à une énergie électrostatique de ce système de 3 charges Ee= 1
Ainsi, on voit qu'à chaque coupleqiqj est associée une énergie potentielle d'interaction. Pour un système deN charges, on aura alors :
Ee= 1
Cette formule est assez pratique d'utilisation pour des systèmes composés de quelques charges ponc-tuelles.
Il existe néanmoins, une forme équivalente à l'éq.(5.29) qui s'avère parfois plus pratique en présence de symétries, et qui est surtout indispensable quand on veut généraliser l'énergie électrostatique à des distributions de charge. La dérivation de cette forme alternative est la suivante :
Ee= 1
où le facteur 1/2 apparaît parce que chaque couple est compté deux fois. On remarque qu'ici Vi est le potentiel créé enPi par toutes les autres charges du système (le potentiel dû à la charge qi étant exclu).
L'énergie électrostatique d'un ensemble deN charges ponctuelles peut donc s'écrire de façon alter-native (mais équvalente à celle de (5.29)) comme suit :
Ee= 1
Electromagnétisme 5.3. ENERGIE POTENTIELLE ÉLECTROSTATIQUE
5.3.3 Energie stockée dans le champ électrique
Les équations (5.37), (5.35) et (5.36) nous disent qu'une distribution de charges peut emmagasiner de l'énergie électrostatique. Mais où est-elle stockée ? Sous quelle forme ? Une réponse possible à cette question est de voir l'énergie électrostatique comme étant stocké dans le champ électrique lui-même.
On peut dériver une telle formulation en se rappelant qu'au niveau fondamentale, toute distribution de charge peut être décrite comme une densité volumique du champρ −→r
:
où nous avons supprimé la dépendance spatiale surP an de mieux voir le contenu physique de cette équation.
L'équation (5.31) est sans ambiguité dans le vide, mais en présence de diélectriques, c'est la charge libre qu'il faut lire dans l'éq.(5.31). En invoquant l'équation div−→
D = ρlibre on peut réécrire cette
où nous avons eectué une intégration par parties tridimensionnelle en utilisant l'identité div
En invoquant le théorème d'Ostrogradsky, et−→
E =−−−−→
où il faut se rappeler que la surface d'intégration S dans cette équation est rejetté à l'inni an d'entourer tout l'espace. De ce fait, l'intégrale surfacique est nul puisque à des grandes distances, V décroît comme1/r et−→
D décroît comme1/r2, tandis que la surfaceS augmente seulement commer2. Nous avons enn une expression de l'énergie électrostatique d'une distribution de charges exprimée entièrement en termes du champ−→
D et−→
Pour des charges dans le vide, −→ D = 0 densité volumique d'énergie électrique. En présence de diélectriques par contre, une partie de l'énergie est contenue dans les dégrès de libertés du diélectrique, et on ne peut pas distinguer la partie de l'énergie stockée dans le champ électrique de celle qui est stockée dans le matériel sans savoir les détails sur les propriétés microscopiques du diélectrique.
5.3.4 Energie électrostatique de conducteurs en équilibre
Soit un conducteur isolé, de charge Q distribuée sur sa surface S. L'énergie potentielle électrosta-tique de ce conducteur est alors,
Ee = 1
Electromagnétisme CHAPITRE 5. DIPÔLE ÉLECTRIQUE - ENERGIE ÉLECTROSTATIQUE
Q V1, 1
r=0 Q V2, 2
Q V3, 3
puisqu'il est équipotentiel, c'est-à-dire : Ee = 1
2QV = 1
2CV2 = 1 2
Q2 C .
Ceci est l'énergie nécessaire pour amener un conducteur de capacité C au potentiel V. Puisque cette énergie est toujours positive cela signie que, quel que soitV (et donc sa chargeQ), cela coûte toujours de l'énergie.
Soit un ensemble de N conducteurs chargés placés dans un volume V. A l'équilibre, ils ont une charge Qi et un potentiel Vi . En dehors du volume occupé par chaque conducteur, il n'y a pas de charge doncdq= 0. L'énergie électrostatique de cette distribution de charges est alors simplement,
Ee= 1 2
Z
V
dqV (P) = 1 2
N
X
i=1
Z
Si
Viσi(P)dSi = 1 2
N
X
i=1
Vi
Z
Si
σi(P)dSi , c'est-à-dire :
Ee= 1 2
N
X
i=1
QiVi . (5.34)
5.3.5 Energie électrostatique d'une distribution continue de charges
Pour une distribution continue de charges, la généralisation de la formule précédente est immé-diate. Soit dq = ρdV la charge située autour d'un point P quelconque de la distribution. L'énergie électrostatique de cette distribution s'écrit
Ee= 1 2
Z Z Z
ρ(P)V (P)dVP = 1 2
Z Z Z
ρV dV , (5.35)
où nous avons de nouveau supprimé la dépendance explicite enP dans la deuxième égalité.
Remarque : Nous n'avons pas spécié une limite à l'intégration puisque ρ = 0 en dehors de la distribution des charges. Donc en principe, l'intégrale est eectué sur tout l'espace, mais en pratique on n'eectue l'intégrale que sur les régions contenant des distributions de charges non-nulles.
Il est important de remarquer qu'en passant à une distribution continu dans l'éq.(5.35), le potentiel à un pointP,
V (P) = 1 4π0
Z Z Z ρ(P0) dVP0 P P0 = 1
4π0
Z Z Z ρ dV P P0 ,
est maintenant le potentiel créé par toute la distribution de charge. En eet, pour un volume innitéssimal dV de taille caractéristique d, c'est-à-dire, dV ∝ d3, le potentiel au centre de ce volume
Electromagnétisme 5.3. ENERGIE POTENTIELLE ÉLECTROSTATIQUE
créé par charges à l'intérieur de dV est forcement proportionel à d−1. De ce fait, la région autour du pointP fait une contribution nulle à l'intégrale dans le passage à la limite innitésimalle.
De la même manière, on obtient un résultat analogue pour une distribution surfacique : Ee = 1
2 Z Z
S
σV dS , (5.36)
où S est la surface contenant la charge. Par contre, on ne peut pas généraliser ces arguments aux ls inniment minces en interaction. Pour de tels cas, on est obligé de procéder comme nous avons fait pour des charges ponctuelles et exclure le potentiel créé par le l lui-même ou d'abandonner le concept d'un l inniment mince et revenir à une distribution de charges surfacique ou volumique.
Un eet subtil mais important est que leEeobtenu par les éqs.(5.35) ou (5.36) seront non-négatives, c.-à-d. Ee≥0. Ceci vient du passage de charges ponctuelles à la distribution continue de charge qui a eu un eet subtil mais important. Pour une distribution volumique (ou surfacique) de charge, il n'est pas nécessaire d'exclure explicitement la charge située enP puisquedq(P)tend vers zéro avec l'élément innitésimal (contribution nulle à l'intégrale, absence de divergence). Du coup, les expressions intégrales de Ee des équations, (5.35) et (5.36) tiennent compte du travail nécessaire d'établir une distribution de charge alors que les expressions de (5.29) et (5.30) ne tiennent pas compte de l'énergie nécessaire d'établir les charges ponctuelles que nous avons pris comme existant ex nihilo (car l'énergie d'une distribution de charge vraiment ponctuelle tendrait vers inni quand sa taille tend vers zéro).
5.3.6 Quelques exemples
Exemple 1 : Le condensateur
Soit un condensateur constitué de deux armatures. L'énergie électrostatique de ce système de deux conducteurs est
Ee= 1
2(Q1V1+Q2V2) = 1
2Q1(V1−V2) = 1 2QU , c'est-à-dire
Ee= 1
2QU = 1
2CU2 = 1 2
Q2
C . (5.37)
Energie emmagasinée par un condensateur plan - On se rappelle du chapitre 4 qu'un condensateur plan est constitué de deux armatures de surfaces,S, en inuence quasi-totale et séparées d'une distance d S (remplit eventuellement par un diélectrique). Nous avons vu également que la capacité de ce condensateur estC=Sεr0/d, et donc l'énergie stockée dans le condensateur est donnée par l'éq.(5.37).
On se rappelle que−→ E et−→
D sont parallèles entres les armatures et nul ailleurs. Entre les armatures on a
−
→E
=σ/(εr0) et
−
→D
=σ et on peut ainsi vérier que le résultat de l'éq.(5.37) est consistant avec l'expression de l'éq.(5.33) pour de l'énergie stockée dans le champ électrique :
Ee = 1 2
Z Z Z
V
−
→D·−→
EdV = Sd 2 σ
σ εr0
= 1 2εr0
Sd Q
S 2
= 1 2
Q2
Sεr0
d
= 1 2
Q2 C . Exemple 2 : Le dipôle
Soit un dipôle électrostatique placé dans un champ électrostatique −→
Eext. On s'intéresse au potentiel d'interaction électrostatique entre ce dipôle et le champ et non pas à celle qui existe entre la charge+q et−q du dipôle lui-même. On considère donc le dipôle comme un système
Electromagnétisme CHAPITRE 5. DIPÔLE ÉLECTRIQUE - ENERGIE ÉLECTROSTATIQUE
de deux charges,−q placée en un point B et+q enA, n'interagissant pas entre elles. L'énergie électrostatique de ce système de charges est simplement
Ee,ext=qVext(A)−qVext(B) =q Z A
B
dV =−q Z A
B
−
→Eext·−→
dr' −q−→
Eext·−−→
BA , ce qui donne
Ee,ext=−−→p ·−→
Eext , (5.38)
où−→p =q−−→
BA est le moment dipolaire électrique.
Remarque : L'énergie électrostatique entre la charge+qet−qdu dipôle lui-même estEe,int =
−4πq2
0BA = −→p ·−→
Eint(A) où −→
Eint(A) est le champ créé par la charge −q en A. Si le champ extérieur−→
Eextest bien supérieur à−→
Eint(A)cela signie que le dipôle est profondément modié (voire brisé) par le champ : l'énergie d'interaction est supérieure à l'énergie interne de liaison.
Cependant, la distance AB étant en général très petite, cela ne se produit pas et le dipôle se comporte comme un système lié, sans modication de son énergie interne (ceci n'est pas tout à fait exact : un champ extérieur peut faire osciller les deux charges autour de leur position d'équilibre, induisant ainsi une variation de leur énergie de liaison).
Exemple 3 : Un conducteur chargé placé dans un champ extérieur
Soit un conducteur portant une chargeQet mis au potentielV en l'absence de champ extérieur.
Il possède donc une énergie électrostatique interneEe,int = QV2 correspondant à l'énergie qu'il a fallu fournir pour déposer lesQcharges au potentielV sur le conducteur. Si maintenant il existe un champ extérieur−→
Eext, alors le conducteur prend un nouveau potentielV0et son énergie peut s'écrireEe,int= QV2 0. Comment calculer V0?
La méthode directe consiste à prendre en compte la polarisation du conducteur sous l'eet du champ extérieur et calculer ainsi la nouvelle distribution surfaciqueσ (avecQ=RR
S
σdS).
Une autre méthode consiste à considérer la conservation de l'énergie : en plaçant le conducteur dans un champ extérieur, on lui fournit une énergie potentielle d'interaction électrostatique qui s'ajoute à son énergie électrostatique interne . Supposons (pour simplier) que le champ extérieur−→
Eext est constant à l'échelle du conducteur. Alors ce dernier se comporte comme une charge ponctuelle placée dans un champ et possède donc une énergie potentielle d'interaction électrostatiqueEe,ext=QVext. L'énergie électrostatique totale sera alors
Ee=QVext+QV
2 =QV0 2 , c'est-à-direV0 =V + 2Vext