→B lui est perpendiculaire.
6.4 Calcul du champ dans quelques cas simples
6.4.1 Champ créé par un segment de l rectiligne On considère le champ magnétiqueδ−→
Bcréé par un segment rectiligneP1P2parcouru par un courant d'intensitéI en un pointM situé à une distance ρ du l. On écrit δ−→
B parce que ce segment ne peut être qu'une partie d'un circuit complet, et il faut en général calculer le champ−→
B produit par le circuit en entier (par superposition).
a2
a1
z
a
z
1z2
P
O M
u
fr
I
Figure 6.3 Segment rectiligne d'un circuit A partir de la loi Biot-Savart on écrit :
δ−→
B(M) = µ0
4πI Z P2
P1
−
→dl∧
−−−→ P M
−−−→ P M
3 . (6.23)
Compte tenu de la symétrie, on utilise des coordonnées cylindriques avec −−→
OP =zzbet on a :
−
→dl=zdzb −−−→
P M =−zzb+ρρb. Avec ces coordonnées on trouve :
−
→dl∧−−−→
P M =dzzb∧(−zzb+ρρ) =b dzρφb. (6.24) Il convient dans ce problème de faire un changement de variables vers l'angle α
−−−→ M O,−−−→
M P
et on peut ainsi écrire .
−−→OP
=z=ρtanα, P M ≡
−−−→ P M = ρ
cosα . On trouvedz en prenant la diérentielle de z=ρtanα :
dz=ρd(tanα) =ρ
1 + sin2α cos2α
dα= ρ
cos2αdα . (6.25)
Electromagnétisme 6.4. CALCUL DU CHAMP DANS QUELQUES CAS SIMPLES
Mettant les relations expressions de (6.24) et (6.25) dans (6.23) on obtient : δ−→
On peut également exprimer le résultat en fonction dezen utilisantsinα=z/(z2+ρ2)1/2 (voir gure 6.3) :
Dans l'approximation, où le point M est susamment près du l pour utiliser l'approximation du l inni (ρz1 etρz2), on peut ignorer les contributions des autres portions du circuit et on prend la limitez1→ −∞ ,z2 → ∞ (α1 → −π2,α2 → π2) en équations (6.27) ou (6.26) ce qui donne :
−
→B(ρ)→ µ0
2πρIφb . (6.28)
On constate que dans la limite du l inni, la nature toroïdale du champ aurait pu être déduite direc-tement des symétries du problème. Nous verrons dans le chapitre 7 comment obtenir (6.28) facilement en utilisant le théorème d'Ampère.
6.4.3 Spire circulaire (sur l'axe)
Considérons maintenant le cas d'une spire circulaire de rayonR, parcourue par un courant perma-nent I. On ne s'intéresse ici qu'au champ magnétique sur l'axe z de la spire. La densité de courant étant toroïdale et invariante par rotation autour de l'axez, c'est-à-dire :
−
→j (ρ, φ, z) =j(ρ, z)φb, le champ magnétique sera poloïdal en conséquence (c.-à-d.) :
−
→B(ρ, φ, z) =Bρ(ρ, z)ρb+Bz(ρ, z)zb.
Cependant, sur l'axe z, la composante radiale du champ s'annule et il ne reste qu'une composante selon z.
En projetant la loi de Biot et Savart surz on obtient dBz = Parfois, on a besoin de ce résultat en fonction de la positionz sur l'axe
Bz = µ0I
Electromagnétisme CHAPITRE 6. COURANT ET CHAMP MAGNÉTIQUE
M a
O z
P
I
dB
a
R
Figure 6.4 Spire parcourue par un courant .
6.4.4 Champ d'un solénoïde ni (sur l'axe)
a M O
z’
I
2R dz’
l
z a2 a1
1
Figure 6.5 Modèle d'un Solénoïde ni : Calcul de champ magnétique sur l'axe
Un solénoïde est constitué d'un enroulement d'un l conducteur autour d'un cylindre de longueur l et de rayon R. On suppose que ce l est susamment mince pour pouvoir modéliser ce solénoïde comme une juxtaposition de N spires coaxiales, avec n= N/l spires par unité de longueur. Chaque spire est alors parcourue par un courant permanentI. Comme pour la spire simple vue plus haut, les propriétés de symétrie du courant montrent que le champ magnétique du solénoïde, qui est la somme vectorielle du champ créé par chaque spire, est suivant z uniquement. Autour d'un point P situé en z0, sur une épaisseur dOP =dz0, il y a ndz0 spires. Ces spires créent donc un champ en un point M (OM =z) quelconque de l'axe,
dBz(z) = µ0Indz0
2R sin3α , où nous avons utilisé (6.4.3) et l'angleα est reliée à zetz0 par
cotα= z−z0 R . Si on prend la diérentielle de cette expression, on obtient
dz0=−Rdcosα sinα
=−R
−1−cos2α sin2α
dα= R sin2αdα .
Electromagnétisme 6.4. CALCUL DU CHAMP DANS QUELQUES CAS SIMPLES
Le champ magnétique total s'écrit donc Bz =
Z 2 1
dBz = µ0In 2
Z α2
a1
sinα dα
= µ0In
2 (cosα1−cosα2) . (6.30)
6.4.5 Solénoïde inni
Dans la limite du solénoïde inni Rl, on aα1→0etα2→π et l'expression de l'éq.(6.30) pour le champ sur l'axe devient
−
→B →µ0Inzb , (6.31)
où on se rappelle quen=N/lcorrespond au nombre de spires par unité de longueur. Avec le théorème d'Ampère du chapitre 7, nous pourrons montrer que ceci est la valeur partout à l'intérieur du solénoïde (dans la limite deR l) et que −→
B =−→
0 à l'extérieur du solénoïde. On remarquera les analogies du solénoïde vis-à-vis du champ−→
B par rapport au condensateur pour le champ−→ E.
Chapitre 7
Lois fondamentales de la magnétostatique
7.1 Flux du champ magnétique
7.1.1 Conservation du ux magnétique
Nous avons vu dans le chapitre précédent que la forme microscopique de la loi de Biot-Savart permet de calculer le champ magnétique créé par n'importe quelle distribution de courant volumique j (voir l'éq.(6.21)). Cette loi est l'analogue de la loi de Coulomb en électrostatique qui nous a permis d'en déduire les deux lois fonadamentales de l'électrostatique :div−→
E =ρ/0 et−→
rot−→ E =−→
0.
De façon analogue, nous verons dans ce chapitre, que la loi de Biot et Savart nous permmet d'en déduire deux lois fondamentales de la magnétostatique. Pour ce faire, nous allons d'abord écrire eq.(6.21) avec une notation un peu plus sophistiquée où−→r indique la position du point de mesure du champM et−→r0 indique la position de la source du champP. L'élément de volume,dVautour du point P sera ici dénoté d3r0 et la forme microscopique de la loi de Biot-Savart avec cette notation s'écrit :
−
Commençons par prendre la divergence du champB en magnétostatique : divr
gradr nous rappelle que ces opérateurs agissent sur la variable −→r (et pas sur−→
r0). Dans la deuxième ligne, nous avons utilisé l'identité : div−→a ∧−→
(dérivé dans l'éq.(11.22) de l'Annexe des mathématiques) et le fait que :
−−−−→
0. Insérrant cette relation et l'identité,
−→rot−−−→
gradf ≡0 , (7.5)
Electromagnétisme 7.1. FLUX DU CHAMP MAGNÉTIQUE
dans l'éq.(7.2) nous donne une loi fondamentale de la magnétostatique : div−→
B = 0 . (7.6)
Considérons maintenant une surface ferméeS quelconque, c'est-à-dire pour laquelle on peut dénir localement un élément de surface −→
dS = dSnb dont le vecteur normal est orienté vers l'extérieur (par convention). On peut maintenant appliquer le théorème de Green-Ostrodgradsky sur le volume V à
S
dS
dS
l'intérieur de cette surface :
ZZ
S
−
→B ·−→ dS =
Z Z Z
V
div−→
BdV= 0 . où dans le dernier membre de droite nous avons utilisé le fait quediv−→
B = 0.
Ceci prend donc la forme intégrale d'une loi générale appelé la conservation du ux magnétique qui dit que le ux du champ magnétique,Φm, à travers une surface fermée est nul, c.-à-d. :
Φm = ZZ
S
−
→B·−→
dS = 0 . (7.7)
Bien que nous avons obtenu cette loi dans le contexte du magnétostatisme, on peut faire l'hypothèse, qui s'avère être vraie, que le champ magéntique reste conservé même si les champs et les courants varient avec le temps. Les équations (7.6) et (7.7) expriment donc deux formes d'une même loi fondamentale de la physique la conservation du ux magnétique .
La conservation du ux magnétique est une propriété très importante et montre une diérence fondamentale entre le champ magnétique et le champ électrostatique. Nous avons vu, avec le théorème de Gauss, que le ux du champ électrostatique dépend des charges électriques contenues à l'intérieur de la surface :
Φe= ZZ
S
−
→E·−→
dS = Qint
0 .
Si la charge totale est positive, le ux est positif et il sort de cette surface un champ électro-statique (source). Si la charge est négative, le ux est négatif et le champ rentre , converge vers la surface (puits). Cette propriété reste d'ailleurs également valable en régime variable. Rien de tel n'a jamais été observé pour le champ magnétique. On ne connaî t pas de charge magnétique analogue à la charge électrique (ce serait un monopôle magnétique ) : donc tout le champ qui rentre dans une surface fermée doit également en ressortir. La source la plus élémentaire de champ magnétique est un dipôle (deux polarités), comme l'aimant dont on ne peut dissocier le pôle nord du pôle sud.
A partir de l'équation (7.7), on montre que le ux à travers une surface ouverte s'appuyant sur un contour ferméC est indépendant du choix de cette surface. Prenons deux surfaces distinctes S1 etS2 s'appuyant sur un même contourC. La réunion de ces surfaces,S=S1+S2, forme une surface fermée.
En orientant la surfaceS de l'intérieur vers l'extérieur, la conservation du ux magnétique impose ΦS = ΦS1−ΦS2 = 0 ,
Electromagnétisme CHAPITRE 7. LOIS FONDAMENTALES DE LA MAGNÉTOSTATIQUE
donc ΦS1 = ΦS2, c'est-à-dire le ux magnétique à travers n'importe quelle surface s'appuyant sur le même contourC( et utilisant la même convention de normale) est indépendant du choix de la surface.
C S1
S2
S= +S S 2
1
dS=dS1
dS= -dS2
7.1.2 Lignes de champ et tubes de ux
Le concept de lignes de champ (également appelées lignes de force) est très utile pour se faire une représentation spatiale d'un champ de vecteurs. Ce sont ces lignes de champ qui sont tracées par la matière sensible au champ magnétique, telle que la limaille de fer au voisinage d'un aimant.
Dénition 3 Une ligne de champ d'un champ de vecteur quelconque est une courbe C dans l'espace telle qu'en chacun de ses points le vecteur y soit tangent.
Considérons un déplacement élémentaire −→
dl le long d'une ligne de champ magnétique C. Le fait que le champ magnétique−→
B soit en tout point deC parallèle à −→
dl s'écrit :
−
→B ∧−→ dl=−→
0 . En coordonnées cartésiennes−→
dl=dxxb+dyyb+dzzbet les lignes de champ sont calculées en résolvant : dx
Bx = dy By = dz
Bz . En coordonnées sphériques−→
dl=drrb+rdθθb+rsinθdφφbet l'équation des lignes devient dr
Br
= rdθ Bθ
= rsinθdφ Bφ
. (7.8)
La conservation du ux magnétique implique que les lignes de champ magnétique se referment sur elles-mêmes.
Un tube de ux est une sorte de rassemblement de lignes de champ. Soit une surface S1
s'appuyant sur une courbe ferméeC telle que le champ magnétique y soit tangent (c'est-à-dire −→ B ⊥
−
→dl où −→
dl est un vecteur élémentaire de C). En chaque point de C passe donc une ligne de champ particulière. En prolongeant ces lignes de champ on construit ainsi un tube de ux.
Tout au long de ce tube, le ux magnétique est conservé. En eet, considérons une portion de tube cylindrique entre S1 et S3, ayant un rétrécissement en une surface S2. La surface S =S1+S3+SL, où SL est la surface latérale du tube, constitue une surface fermée. Donc le ux à travers S est nul.
Par ailleurs, le ux à travers la surface latérale est également nul, par dénition des lignes de champ (
−
→B ·−→
dS = 0 sur SL) . Donc, le ux en S1 est le même qu'en S3. On peut faire le même raisonnement