2.2 Diffusion Brillouin dans les microfils optiques
2.2.1 Mod `ele th ´eorique : Mod `ele analytique et simulation num ´erique
2.2.1.1 Le mod `ele analytique
Dans le mod `ele analytique, nous nous contentons dans notre cas de calculer les solutions de l’ ´equation ´elastodynamique (2.9) sans le second membreFi, dans le but d’obtenir tous les modes acoustiques existants dans un guide cylindrique. Le probl `eme peut ˆetre r ´esolu analytiquement.
FIGURE 2.6 – Repr ´esentation sch ´ematique des coordonn ´ees cylindriques. r la compo-sante radiale,θla composante azimutale etzla composante axiale.aest le diam `etre du guide cylindrique. Les termesTrr,TrzetTrθsont les contraintes `a la surface du guide.
Etant donn ´e la g ´eom ´etrie du probl `eme, nous d ´ecrivons le champ de d ´eplacement dans´ un rep `ere polaire, comme illustr ´e sur la Figure 2.6. `A l’int ´erieur du cylindre de rayona, le milieu ´etant homog `ene, le champ de d ´eplacement~u(r, θ,z) peut se d ´ecomposer comme la somme du gradient d’un potentiel scalaireφet du rotationnel d’un vecteur~ψtelle que
2. =11+22+33
~u=∇φ~ +~∇ ∧~ψ, (2.14) o `u le potentiel scalaire φ traduit la d ´eformation li ´ee `a la dilatation, c’est `a dire avec un changement local de volume. Le potentiel vecteur~ψtraduit la d ´eformation li ´ee au cisaille-ment pur (soit sans changecisaille-ment local du volume). Ces potentiels doivent satisfaire les
´equations de propagation qui se d ´eduisent de l’ ´equation (2.9) sans second membre
∇2φ− 1 VL2
∂2φ
∂t2 =0, (2.15) ∇2~ψ− 1
VT2
∂2~ψ
∂t2 =0, (2.16) o `u VL = rc11
ρ =
rλ+2µ
ρ et VT = rc44
ρ = rµ
ρ d ´esignent respectivement les vi-tesses de phase des ondes acoustiques longitudinales et transverses. Dans la siliceVL
= 5900 m.s−1 etVT = 3700 m.s−1. Ces ´equations indiquent par ailleurs que le champ de d ´eplacement d’une onde propag ´ee `a travers un guide peut se d ´ecomposer en une onde longitudinale et une onde transverse avec des vitesses de phase diff ´erentes, comme l’illustre la Figure 2.7.
Onde de compression Onde de cisaillement
(a) VL (b) VT
FIGURE2.7 – Illustration d’une onde de compression (a) et de cisaillement (b).
La propagation de l’onde longitudinale suivant l’axe, entraine une variation de la distance entre les plans parall `eles de la structure, induisant une variation de volume. Lorsque l’onde transverse se propage suivant l’axe, la structure se d ´eforme perpendiculairement
`a l’axe (cisaillement), faisant glisser les plans parall `eles, sans aucune variation de volume.
En reprenant les ´equations (2.15) et (2.16), nous supposons que les solutions sont ex-prim ´ees en coordonn ´ees cylindriques (r,θ,z) sous la forme
Φ = Acos(nθ)ei(ωat−βaz)Jn(pr), Ψz = Bsin(nθ)ei(ωat−βaz)Jn(qr), Ψr = Csin(nθ)ei(ωat−βaz)Jn+1(qr), Ψθ = −Ccos(nθ)ei(ωat−βaz)Jn+1(qr),
avecωa est la pulsation acoustique ,βa le vecteur d’onde acoustique etnl’ordre azimu-tal3. Les coefficients A, B et C sont des constantes `a d ´eterminer et Jn est une fonction de Bessel de premi `ere esp `ece d’ordre n4. Les param `etres p et q sont exprim ´es par
p= rω2a
V2L −β2a etq= rω2a
VT2 −β2a.
3. Multiplier par 2 pour avoir le nombre de lobes selonθ
4. Nous avons fix ´e arbitrairement la d ´ependance azimutale du mode acoustique qui sera fix ´e par l’exci-tateur
Dans le but d’obtenir la relation de dispersion acoustique, nous rappelons les conditions limites au bord du guide d’onde. C’est `a dire qu’aucune contrainte n’est appliqu ´ee `a sa surface. Nous obtenons d’apr `es l’ ´equation (2.13), l’expression des trois composantes de la contrainte `a la surfacer=atelle que
Trr = λdiv~u+2µ∂ur
L’ ´equation de dispersion acoustique s’obtient en annulant les contraintes sur la surface libre (r =a) par les conditions limites au bord du guide (Figure 2.6). Cela revient `a expri-merTrr(r= a) =0,Trθ(r =a) =0etTrz(r= a)= 0. Ces trois expressions peuvent s’ ´ecrire de Bessel Jn. Ce syst `eme fournit trois ´equations `a trois inconnues (A, B et C) qui admet des solutions non nulles si le d ´eterminantdet(M)est nul. Par cons ´equent, nous appelons det(M) = 0 l’ ´equation de dispersion des modes acoustiques dont les param `etres libres sontβa etωa. Nous montrons facilement qu’il existemsolutions pourβa(ωa,n). Et inver-sementmsolutionsωa(βa,n). Lorsquen =0, les modes sont des ondes de compression longitudinales not ´es L(0,m), ou une onde de torsion T(0,m) [87]. Si n = 1, les solutions sont des modes de flexionF(1,m) [87]. Lorsquen = 2, les modes sont des ondes torso-radiales not ´esT R(2,m)[75, 86].
Pour illustrer les solutions de ces ´equations, nous montrons sur la Figure 2.8a un dia-gramme de dispersion acoustique calcul ´e dans le cas d’un cylindre de diam `etre 1 µm, sur une plage de fr ´equence ν entre 0 et 12 GHz. Dans notre cas, seules les solutions L(0,m)(en noir) etT R(2,1)(en bleu) sont pr ´esentes5.
D’apr `es le graphique de la Figure 2.8a, tous les modes sont dispersifs et pr ´esentent une fr ´equence de coupure en dessous de laquelle le mode n’existe pas, except ´e pour le premier mode longitudinalL(0,1). Nous remarquons aussi les courbes des modesL(0,m) ne se croisent pas. Nous appelons ces zones des anti-croisements.
La vitesse des ondes acoustiques est d ´efinie par la relationVA =ωa/βa =2πνa/βa. Sur le diagramme de dispersion, la vitesse correspond `a l’inverse de la pente. Sur la Figure 2.8a, les vitesses des ondes longitudinaleVL, transverseVT et RayleighVR sont repr ´esent ´ees respectivement par les pentes des bandes jaune, verte et rouge6. `A premi `ere vue, nous distinguons vers les hautes fr ´equences que les deux premiers modes fondamentaux
5. Les autres modes acoustiques sont peu ou pas excit ´es comme le montrera le mod `ele num ´erique.
6. Dans un milieu isotrope,VR≈0,91VT ≈3400m.s−1[87].
0.5
FIGURE 2.8 – (a) Diagramme de dispersion acoustique du vecteur d’onde βa en fonc-tion de la fr ´equenceν = ωa/2πpour un diam `etre de microfil de 1 µm. En bleu, le mode T R(2,1). En noir, les modesL(0,m). La droite horizontale d ´efinit l’accord de phase Brillouin βa= 2βp. Les bandes de couleur jaune, verte et rouge correspondent aux pentes des vi-tesses des ondes acoustiques longitudinales, transversales, et Rayleigh respectivement.
(b) Diagramme d’accord de phase des modes acoustiques repr ´esent ´es par le diam `etre du microfil en fonction de la fr ´equence de d ´ecalage BrillouinνB. La bande jaune repr ´esente la branche de compression de l’onde acoustique.
L(0,1) et T R(2,1) tendent tout deux vers la limite de Rayleigh [87]. Ces ondes sont ty-piquement des ondes de surface7. Tous les autres modes tendent vers une m ˆeme pente correspondant `a la vitesse transverseVT sur la Figure 2.8a. Par la suite, cette tendance vers la vitesseVT produira sur le diagramme des spectres Brillouin ce que nous appelle-rons des branches de cisaillement. La dispersion d’une onde longitudinale, repr ´esent ´ee par la bande jaune, suit les anti-croisements entre les diff ´erentes courbes des modes L(0,m). Les anti-croisements ont syst ´ematiquement lieu au niveau de la droite lin ´eaire de pente VL. Nous appellerons plus tard cette droite la branche de compression. La ligne horizontale rouge sur la Figure 2.8a repr ´esente la condition d’accord de phase pour la r ´etrodiffusion Brillouin d ´efini par le vecteur d’onde acoustique βa = 2βp = 4πn/λp, avec n=1,44 l’indice de la silice et la longueur d’onde optique λp = 1550 nm. Le point de croi-sement entre cette ligne et les courbes de dispersion d ´etermine la fr ´equence BrillouinνB
des modes acoustiques impliqu ´es dans l’interaction.
Lorsque nous trac¸ons la valeur de ces fr ´equencesνB en fonction du diam `etre du microfil, entre 0,4 et 5 µm, nous obtenons la Figure 2.8b correspondant au diagramme d’accord de phase Brillouin. Cette figure montre les fr ´equences des modes longitudinaux L(0,m) et du mode fondamental torso-radialT R(2,1)pouvant se propager dans le guide d’onde.
Nous retrouvons la branche de compression `a la fr ´equence 11 GHz (illustr ´ee par la bande jaune), les branches de cisaillement qui tendent vers 7 GHz et les deux ondes de Rayleigh L(0,1)etT R(2,1)qui tendent vers 6 GHz.
Nous avons introduit dans le premier chapitre que l’indice effectif du mode optique fon-damental HE11 diminue `a mesure que le diam `etre d du microfil d ´ecroˆıt (Figure 2.9a).
La variation de l’indice effectif du mode de propagation optiquene f f(d, λp) doit ˆetre prise en compte. Nous rappelons que cette variation est calcul ´ee en resolvant l’ ´equation de dispersion du guide tout en tenant compte de la dispersion du mat ´eriau. [44, 46].
7. Ondes de Rayleigh similaires aux ondes sismiques terrestres
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
FIGURE 2.9 – (a) Calcul de l’ ´evolution de l’indice effectif du mode HE11 en fonction du diam `etre du microfil. (b) Diagramme d’accord de phase des modes acoustiques repr ´esent ´es par le diam `etre du microfil en fonction de la fr ´equence de d ´ecalage Brillouin νBet prenant en compte la dispersion optique.
Le vecteur d’onde acoustiqueβaest calcul ´e pour chaque diam `etre `a partir de l’accord de phase qui implique la variation dene f f du mode optique `a la longueur d’ondeλp tel que βa = 2βp = 4πne f f(d)/λp. Le diagramme d’accord de phase r ´esultant est pr ´esent ´e sur la Figure 2.9b.
Nous remarquons dans ce cas l’ ´evolution des fr ´equences des modes de propagation, en particulier lorsque le diam `etre devient inf ´erieur `a 3 µm. La dispersion optique impacte for-tement la branche de compression en dispersant la fr ´equence Brillouin jusqu’ `a 8 GHz. La superposition de la dispersion acoustique dans le cas d’une onde purement longitudinale νB = (2ne f fVL)/λp, suit bien ce d ´ecalage (bande jaune). Cela dit, ´etant donn ´e le guidage des ondes acoustiques dans les microfils de diam `etres inf ´erieurs `a 3 µm, cette forte dis-persion vers les basses fr ´equences introduit la notion de modes acoustiques hybrides, que nous nommerons HAW8. Elle sont issues du m ´elange entre une onde de compres-sion et une onde de cisaillement par le couplage `a l’interface du guide. La vitesse de ces modes est comprise entre la vitesse acoustique des ondes longitudinales et transverses.
Nous notons ´egalement que les anti-croisements sont plus prononc ´es avec la dispersion optique. Les ondes de surface, que nous nommerons SAW9,L(0,1)etT R(2,1)subissent aussi la dispersion optique en se d ´ecalant vers les basses fr ´equences jusqu’ `a environ 5,3 GHz `a environ 0,85 µm de diam `etre.
Le mod `ele analytique a l’avantage d’ ˆetre rapide et de permettre de comprendre la nature des ondes. Cependant, il ne permet pas de d ´ecrire l’interaction opto-acoustique car la r ´esolution se fait sans le second membre. Ainsi, il trouve beaucoup plus de solutions que nous n’en avons affich ´ees. Dans la pratique, l’excitation des modes est tr `es s ´elective ce qui rend essentiel une r ´esolution avec second membre. Pour cela nous proc ´edons com-mod ´ement par la m ´ethode des ´el ´ements finis que nous allons d ´ecrire dans la prochaine section.
8. Hybrid Acoustic Waveen anglais 9. Surface Acoustic Waveen anglais