Coefficients ´elastiques de la silice du troisi `eme ordre

ORDRE

3.4.1/ TENSEUR DES CONTRAINTES

Pour calculer les fr ´equences Brillouin en fonction de la d ´eformation axiale des microfils optiques, il est n ´ecessaire de d ´evelopper un mod `ele `a partir de l’ ´elasticit ´e non-lin ´eaire de la silice. Pour cela, nous partons de l’expression g ´en ´erale de l’ ´energie totale interne U d’un solide d ´eform ´e `a une entropie constante S [127, 128, 129, 130]. Celle-ci est d ´evelopp ´ee au troisi `eme ordre telle que

U(i j,S)=U(0,S)+1

La d ´erivation de l’ ´equation (3.10) sur la d ´eformationi jdonne la loi de Hooke g ´en ´eralis ´ee par l’expression de la contrainteTi j telle que

Ti j= ∂U

∂i j =ci jklkl+ 1

2ci jklgrklgr. (3.12)

La non-lin ´earit ´e de la contrainte va affecter le calcul des modes acoustiques. En effet, le microfil ´etant allong ´e, le tenseur des d ´eformations kl est d ´esormais la somme de la d ´eformation statique¯kl, c’est `a dire celle provoqu ´ee par la tension d’ ´elongation, et de la d ´eformation dynamique ˜kl celle qui d ´ecrit la d ´eformation de la structure par les ondes acoustiques. Nous avons alors

kl=¯kl+˜kl. (3.13)

Dans le cas de la m ´ecanique lin ´eaire (premier terme de l’ ´equation (3.12)), nous devons r ´esoudre les probl `emes statiques et dynamiques ind ´ependamment. C’est `a dire qu’il suffit de calculer la contrainte de d ´eformation du microfil allong ´e puis, r ´esoudre le probl `eme dy-namique en calculant les solutions de propagation acoustiques dans le microfil d ´eform ´e.

La solution finale r ´esulte de la somme des deux solutions.

Dans le cas de la m ´ecanique non-lin ´eaire, lorsque nous int ´egrons la combinaison des d ´eformations dans l’ ´equation de la contrainte (3.12), nous obtenons une relation qui peut

ˆetre diff ´erenci ´ee en trois termes

T_{i j} = (

c_{i jkl}¯kl+ 1

2c_{i jklgr}¯kl¯gr

)

+ci jkl˜kl+ 1 2ci jklgr

¯gr˜kl+˜gr¯kl

+1

2c_{i jklgr}˜gr˜kl.

– Le premier terme est le tenseur de contrainte statique. Dans notre cas, c’est la com-posante ¯zz qui va largement s’imposer puisque c’est dans cette direction que nous d ´eformons le microfil jusqu’ `a 6% de sa longueur. De ce fait, ce terme est ´equivalent

`a l’expression de la contrainte (3.5) o `u nous n ´egligeons l’effet quadratique de la d ´eformation. L’expression devient dans ce cas

T¯zz =E₀¯zz. (3.14)

– Le deuxi `eme terme, est la nouvelle solution dynamique. Nous voyons la pr ´esence des termes crois ´es ¯gr˜kl et¯kl˜gr qui d ´ecrit la vibration dynamique des ondes acoustiques perturb ´ee par la d ´eformation statique de la fibre. Les d ´eplacements de ces ondes

´etant de quelques picom `etres, il est clair que¯zz >> ˜kl4. Par cons ´equent, les termes crois ´es les plus imposants sont ceux qui sont coupl ´es avec la composante¯zz. De plus, en tenant compte des propri ´et ´es de sym ´etrie (ijkl=klij et ijklgr=ijgrkl) le tenseur des contraintes dynamique, perturb ´e par une d ´eformation longitudinale selon z, peut alors s’exprimer par (voir d ´etails dans l’annexe A)

4. ou¯zz>>˜gr

T˜i j = ci jkl˜kl+ci jklzz˜kl¯zz

=

ci jkl+ci jklzz¯zz

˜kl

= c⁰_{i jkl}(¯zz) ˜kl,

avec c⁰_{i jkl}(¯zz) = ci jkl + ci jklzz¯zz le nouveau tenseur d’ ´elasticit ´e d ´ependant de la d ´eformation statique¯zz.

– le troisi `eme terme est proportionnel `a la d ´eformation que produit l’onde acoustique.

Le d ´eplacement ´etant de l’ordre quelques picom `etres, la d ´eformation correspondante

´elev ´ee au carr ´e devient n ´egligeable par rapport `a la d ´eformation statique. Ce terme est par cons ´equent tr `es faible compar ´e aux deux premiers et n ´egligeable.

La pr ´esence des termes crois ´es dans la solution dynamique implique de r ´esoudre avant tout le probl `eme statique pour le calcul des modes acoustiques dans le microfil d ´eform ´e.

3.4.2/ R ´ESOLUTION STATIQUE

Nous avons vu dans la premi `ere partie de ce chapitre le calcul de la d ´eformation pour chaque r ´egion de la fibre effil ´ee. Pour le cas du microfil, la d ´eformation locale¯zz(z)= ^∂u¯_∂z^z(z) est constante sur toute la longueur. Par cons ´equent, la solution u¯_z du d ´eplacement est une fonction lin ´eaire deztelle que

¯

uz(z)=¯zzz−δLMF

2 , (3.15)

avec ¯zz = ^δL_LMF^MF la d ´eformation du microfil. Pour montrer `a quel point cette solution va affecter les solutions dynamiques, nous repr ´esentons sur la Figure 3.12 l’effet de la d ´eformation sur la propagation des ondes acoustiques.

Sur la Figure 3.12a, nous consid ´erons le microfil au repos sch ´ematis ´e selon l’axe zpar des colonnes de largeur dzc sur une longueur LMF. Le diam `etre correspond `a 1 µm. La d ´eformation dynamique des ondes acoustiques dans cette structure est repr ´esent ´ee par une onde de surface sur la Figure 3.12b qui se propage avec une longueur d’ondeλaet une vitesse VA₁ = dzc

τ , avecτ le temps que met la vibration de l’onde `a se transmettre d’une colonne `a une autre. La pulsation ωa de l’onde est d ´etermin ´ee par l’accord de phase opto-acoustique tel que

βa1(ωa)= ωa

VA₁ =2βp, (3.16)

avecβa1 etβples vecteurs d’onde acoustique et optique.

La d ´eformation longitudinale du microfil d’une quantit ´e ¯zz = δLMF/LMF r ´esulte d’un d ´eplacementu¯_z(z)de chaque colonne de la structure qui est d ´esormais ´elargie de u¯_z(z), soit d’un facteur(1+¯zz), comme montr ´e sur la Figure 3.12c. La solution dynamique en r ´egime lin ´eaire est la m ˆeme que dans le cas au repos. Par contre, les solutions statiques ayant chang ´ees, la combinaison avec la solution dynamique donne une longueur d’onde effective λ_a,eff plus large, comme repr ´esent ´ee sur la Figure 3.12d. En principe, c’est la

−2 0 2 4 6

FIGURE3.12 – Probl `eme statique et dynamique. (a) Vue sur un plan de l’axe du microfil au repos (b) vue exag ´er ´ee du microfil supportant une onde acoustique de surface (c) Microfil sous d ´eformation longitudinale. Le milieu est ´etir ´e par le d ´eplacement statique. (d) En r ´egime lin ´eaire, la solution dynamique est la m ˆeme que le cas non- ´etir ´e. Cependant, la combinaison de la d ´eformation statique et dynamique montre une longueur d’onde acoustique plus large due `a l’ ´elongation statique.

vitesse effective qui augmente et s’exprime telle que VA₂(¯zz) = dzc(1+¯zz)

τ . Le nouvel accord de phase Brillouin s’ ´ecrit

βa₂(ωa,¯zz)= ωa

V_A2(¯zz) =2βp. (3.17) En remplac¸ant le terme de la vitesseVA₂(¯zz)par son expression, nous obtenons

βa₂(ωa,¯zz)= ωaτ

dz_c(1+¯zz) =2βp. (3.18) En prenant en compte l’expression τ

dzc =V_A1, nous avons alors 2βp= ωa

VA₁(1+¯zz). (3.19)

Nous reconnaissons le vecteur d’onde acoustique du microfil au reposβa₁ =ωa/VA₁ mul-tipli ´e par 1/(1+¯zz). Avec la relation (3.16), l’accord de phase est fix ´e en corrigeant le vecteur d’onde acoustique initial qui varie lin ´eairement en fonction de la d ´eformation tel que

βa=2k0ne f f(1+¯zz), (3.20)

avec ne f f l’indice de r ´efraction effectif du mode optique et k₀ le vecteur d’onde optique dans le vide. Par cons ´equent, il faut prendre en compte la solution statique en augmentant le vecteur d’onde optique d’une quantit ´e(1+¯zz).

3.4.3/ R ´ESOLUTION DYNAMIQUE

En prenant en compte la d ´eformation statique, nous rappelons que le tenseur des contraintes dynamique est exprim ´e au troisi `eme ordre par

T˜_{i j} =

c_{i jkl}+c_{i jklzz}¯zz

˜kl, (3.21)

o `u nous exprimonsc<sup>0</sup>(¯zz)=c<sub>i jkl</sub>+c<sub>i jklzz</sub>¯zz. Nous rappelons que la d ´eformation longitudinale ¯zzest de l’ordre de quelques pourcents et¯zz>>˜kl. Il existe 18 composantes non-nulles du tenseur ´elastique du troisi `eme ordre dans un solide isotrope [130, 128]. Seulement trois d’entre elles, c₁₁₁,c₁₁₂ etc₁₂₃ (en notation abr ´eg ´ee) sont ind ´ependantes, alors que les autres en sont des combinaisons lin ´eaires telles que

c₁₁₁ = c₂₂₂=c₃₃₃,

c₁₁₂ = c₁₁₃=c₁₂₂=c₁₃₃=c₂₂₃ =c₂₃₃, c₁₄₄ = c₂₅₅=c₃₆₆=(c₁₁₂−c₁₂₃)/2,

c₁₅₅ = c₁₆₆=c₂₄₄=c₂₆₆=c₃₄₄ =c₃₅₅=(c₁₁₁−c₁₁₂)/4, c₄₅₆ = (c₁₁₁−3c₁₁₂+2c₁₂₃).

Les deux premiers indices correspondent aux indices traditionnels du tenseur d’ ´elasticit ´e et le troisi `eme correspond `a l’ordre sup ´erieur. La g ´eom ´etrie cylindrique de notre microfil m `ene `a exprimer

c₁₂₃=c_rrθθzz. (3.22)

Dans notre cas, la d ´eformation statique du microfil s’effectuant selon l’axez est la prin-cipale cause de la nonlin ´earit ´e. Par cons ´equent, cela revient `a consid ´erer que le dernier indice `a prendre en compte dans ces coefficients doit ˆetre ´egal `a3. L’expression g ´en ´erale du nouveau tenseur ´elastiquec⁰(¯zz)devient

c⁰(¯zz) =

o `u le premier terme est le tenseur du second ordre et le deuxi `eme terme est le ten-seur non-lin ´eaire du troisi `eme ordre impliquant la d ´eformation¯zz. En appliquant les per-mutations et les r `egles de remplacement des coefficients ´elastiques dans le cas d’un solide isotrope, le tenseur c⁰(¯zz) peut alors ˆetre exprim ´e en fonction des coefficients ind ´ependants tel que

Nous rappelons que le coefficientc₁₂=c₁₁−2c44. Le tenseur peut ˆetre ´egalement exprim ´e

o `u le symbole “◦” d ´esigne le produit matriciel d’Hadamard<sup>5</sup>. Nous voyons que le tenseur ci-dessus acquiert une isotropie transverse lorsque le mat ´eriau est sous forte contrainte, ce qui signifie qu’il perd son caract `ere isotrope et voit se pr ´esenter une sym ´etrie de r ´evolution autour de l’axe du microfil. Nous exprimons ce nouveau tenseur par

c⁰(¯zz) =

Celui-ci poss `ede 5 coefficients diff ´erents au lieu de 3 dans le cas d’un tenseur isotrope.

Les coefficients du troisi `eme ordre ont ´et ´e mesur ´es pour la premi `ere fois dans la silice par Bogardus en 1965 [132]. Depuis, d’autres mesures ont ´et ´e report ´ees et sont pr ´esent ´ees dans la Table (3.4)⁶. Nous avons ajout ´e `a ce tableau, nos valeurs que nous avons d ´eduit par la comparaison th ´eorie-exp ´erience d ´ecrite dans la prochaine section.

Source c₁₁₁, GPa c₁₁₂, GPa c₁₂₃, GPa

Bogardus [132] 526 239 54

Yost et Breazeale [133] 648 537 428

Wanget al.[134] 470 234 81

Nos mesures 579 215 43

TABLE 3.4 – Comparaison des valeurs du coefficient ´elastique du troisi `eme ordre avec les travaux pr ´ec ´edents.

Nous rappelons que les valeurs des coefficients c₁₁ = 78,5 GPa et c₄₄ = 31,2 GPa. En int ´egrant nos coefficients nous obtenons le nouveau tenseur ´elastique

5. Le produit d’Hadamard est un produit ´el ´ement par ´el ´ement entre deux matrices de m ˆeme dimension [131].

6. L’unit ´e de mesure des coefficients est donn ´ee sur sa revue endyn/cm²soit10¹⁰dyn/cm²=1 GPa.

c⁰(¯zz) =

Les 5 nouveaux coefficients du tenseur s’expriment ainsi en fonction de la d ´eformation tels que

Nous retrouvons dans la litt ´erature, les coefficients c⁰₃₃ et c⁰₄₄ mesur ´es par Guerette et al.⁷[135]. Nous portons une attention particuli `ere au coefficient c<sup>0</sup><sub>13</sub>, puisqu’il relie la contrainte Trr `a la d ´eformation selon ¯zz. La valeur de ce coefficient est celle qui va augmenter le plus avec la d ´eformation longitudinale de la fibre puisque celle-ci varie en 13,4¯zz. Elle correspond `a un durcissement transverse du mat ´eriau qui va affecter directe-ment les ondes de surface ainsi que les ondes hybrides. Pour r ´esoudre le probl `eme nous faisons appel `a la m ´ethode des ´el ´ements finis sous le logiciel de calcul COMSOL que nous pr ´esentons dans la prochaine section. En Annexe B, nous r ´esolvons le probl `eme par la m ´ethode analytique.