1.5 Conclusion du chapitre
2.1.2 Description g ´en ´erale de la diffusion Brillouin
La diffusion Brillouin est un processus `a trois ondes, comme le montre la Figure 2.2.
L’onde ´electromagn ´etique incidente, ´egalement appel ´ee onde optique de pompe (fl `eche bleue) est repr ´esent ´ee par le vecteur d’ondeβ~p et la pulsationωp. L’onde qui est diffus ´ee (fl `eche rouge) est appel ´ee onde Stokes de vecteur d’ondeβ~S et de pulsation ωS. L’onde acoustique (fl `eche noire), sch ´ematis ´ee par un r ´eseau p ´eriodique qui illustre la vibration de la mati `ere dans le milieu, est symbolis ´ee par le vecteur d’ondeβ~aet la pulsationωa.
βS, ωS
βa, ωa βS θ βp βp, ω
p
Onde acoustique Onde incidente
Onde diffusée
βa
FIGURE2.2 – Sch ´ema du processus de diffusion Brillouin.
A partir de ces termes physiques, il est possible de trouver une relation qui exprime` la fr ´equence de d ´ecalage Brillouin de l’onde diffus ´ee en fonction des param `etres du mat ´eriau et de l’onde optique incidente. Pour y parvenir, nous savons tout d’abord que l’ ´energie et l’impulsion sont conserv ´ees dans le processus de diffusion. Cela se traduit dans le cas de la conservation de l’ ´energie par
~ωp =~ωS +~ωa, (2.1)
avec ~ la constante de Planck. Dans le cas de la conservation de l’impulsion, cela se traduit par
~βp=β~S +β~a. (2.2)
Les modules des vecteurs d’ondes sont reli ´es entre eux par l’ ´equation
|β~a|2 =|β~p|2+|β~S|2−2|β~p||β~S|cosθ, (2.3) avec|β~a|= ωa
VA
,|β~p|= nωp
c et|β~S|= nωS
c . Le termenest l’indice de r ´efraction du mat ´eriau,c etVAsont les vitesses de la lumi `ere et des ondes acoustiques respectivement etθl’angle entre le vecteur d’onde pompe et le vecteur d’onde Stokes (cf Figure 2.2). En prenant en compte que la fr ´equence acoustique (∼GHz) est beaucoup plus faible que les fr ´equences optiques (∼THz), soitωa << ωp,S, le module des vecteurs d’onde Stokes et pompe sont toujours quasi- ´egaux|β~S| ≈ |β~p|.
A partir de cette approximation et de l’ ´equation (2.3), la fr ´equence Brillouin de d ´ecalage` est alors donn ´ee par la relation suivante
νa(θ)≈ 2nVA
λp
sinθ
2. (2.4)
La fr ´equence de d ´ecalage d ´epend des param `etres du mat ´eriau tels que l’indice de r ´efractionn, la vitesse des ondes acoustiquesVA, la longueur d’ondeλpet enfin de l’angle de diffusionθ. Pour les fibres optiques, la propri ´et ´e du guidage autorise une seule direc-tion, dans le sens inverse `a la propagation θ = π(r ´etrodiffusion) et dans le m ˆeme sens de propagation θ = 0 (diffusion vers l’avant), tous deux illustr ´es respectivement sur les Figures 2.3a et 2.3b.
βS βp
βS βp
(a) (b)
βa βa
FIGURE2.3 – Repr ´esentation des vecteurs d’ondes du processus de diffusion Brillouin dans une fibre optique. (a) r ´etrodiffusion. (b) Diffusion vers l’avant.
Dans les fibres optiques, la r ´etrodiffusion est largement plus forte que la diffusion vers l’avant et la fr ´equence de d ´ecalage BrillouinνB =va,max est maximale. L’accord de phase s’ ´ecrit alorsβa≈2βp. La fr ´equence Brillouin est exprim ´ee par la relation
νB= 2ne f fVA
λp
. (2.5)
Si nous prenons l’exemple de la fibre standard de silice,i.e.SMF-28, pour laquelle l’indice de r ´efraction effectif du mode optique vautne f f = 1,445 et la vitesse des ondes longitudi-nales vautVA= 5900 m.s−1 [70, 71], pour une longueur d’onde de pompeλp = 1550 nm, la fr ´equence de d ´ecalage Brillouin est ´egale `aνB ≈ 11 GHz. Une illustration du spectre est sch ´ematis ´ee sur la Figure 2.4.
νp
νS
νB ≈ 11 GHz
ν Onde pompe
Onde Stokes
∆νB ≈ 25 MHz
Intensité
Fréquence
FIGURE2.4 – Illustration du spectre de diffusion Brillouin dans une fibre optique de type SMF-28 `a la longueur d’onde optique de pompe deλp= 1550 nm.
La largeur de raie∆νBest li ´ee au temps de vie des phonons acoustiques dans le mat ´eriau.
Dans la silice il est donn ´e `a 10 ns, ce qui correspond `a une propagation sur quelques
microns. Ils s’amortissent exponentiellement dans le temps, ce qui donne un pic de fr ´equence Stokes avec un profil lorentzien de largeur `a mi-hauteur ∆νB ≈ 25 MHz et un pic d’amplitude maximale centr ´e `aνS.
Le mod `ele `a trois ondes traditionnellement utilis ´e pour d ´ecrire la diffusion Brillouin dans les fibres est bas ´e sur l’approximation des ondes planes [68, 5]. L’ ´equation (2.6) d ´ecrit la propagation des ondes acoustiques conduite par le battement entre l’onde pompe d’amplitudeAPet l’onde Stokes d’amplitude AS [68].
−2iωa
∂ρ
∂t +(ω2B−ωa−iωaΓB)ρ−2iβaVA2∂ρ
∂z =0γeβ2aAPA∗S (2.6) L’onde acoustique est repr ´esent ´ee par la fluctuation de la densit ´e ρ. Le terme ΓB = 2π∆νB est l’amortissement des phonons acoustiques et γe repr ´esente la constante
´electrostrictive.
Les champs optiques des ondes pompe et Stokes sont r ´eduits, avec l’approximation de l’amplitude lentement variable, aux syst `emes d’ ´equations d’ondes coupl ´es tels que [68]
∂AP
∂z + 1 c/n
∂AP
∂t = iωγe
2ncρρAS, (2.7)
− ∂AS
∂z + 1 c/n
∂AS
∂t = iωγe
2ncρρ∗AP. (2.8)
La pulsationωprovient de l’approximationω≈ωp≈ωS.
Dans la litt ´erature, on d ´efinit deux configurations sur la diffusion Brillouin. La configuration de lag ´en ´eration et la configurationd’amplification [68, 72]. Ces deux cas sont illustr ´es sur la Figure 2.5.
Configuration amplification Configuration génération
Onde pompe
Onde Stokes
Onde pompe
Signal Stokes amplifié Onde acoustique générée par
le battement pompe/Stokes Phonons thermiques
Onde pompe Onde pompe
Signal Stokes
Onde acoustique stimulée par pompe/signal Stokes
Signal Stokes
FIGURE2.5 – Illustration des configurationsg ´en ´erationetamplificationde la r ´etrodiffusion Brillouin dans une fibre.
Dans la configuration de g ´en ´eration, seule l’onde optique de pompe (fl `eche bleue) est inject ´ee dans la fibre dans laquelle elle interagit avec les phonons acoustiques is-sus de l’agitation thermique. L’onde pompe est ainsi en partie diffus ´ee spontan ´ement,
g ´en ´erant l’onde diffus ´ee Stokes (fl `eche rouge) d ´ecal ´ee en fr ´equence par l’effet Dop-pler. Cette derni `ere se superpose `a l’onde pompe cr ´eant un battement optique qui est particuli `erement coh ´erent lorsque les deux ondes sont contrapropagatives (cas r ´etrodiffusion). Le battement g ´en `ere une fluctuation de la densit ´e sous l’effet de l’ ´electrostriction, un processus qui tend un mat ´eriau `a se compresser sous l’effet d’un champ ´electrique [68]. Cette fluctuation correspond ainsi `a une onde acoustique (fl `eche grise) qui se d ´eplace dans le sens de propagation de la pompe et dans l’axe de la fibre.
Lorsque la puissance de l’onde pompe augmente, l’onde Stokes s’intensifie, ce qui r ´esulte d’une augmentation de la force d’ ´electrostriction, et donc de l’amplitude des ondes acous-tiques. Le processus ´evolue exponentiellement avec la puissance par l’augmentation de l’amplitude de l’onde Stokes. Par convention, on associe `a ce processus exponentiel un seuil au del `a duquel on consid `ere la diffusion comme stimul ´ee. Dans l’autre configura-tion dite d’amplificaconfigura-tion, un faible signal optique centr ´e `a la fr ´equence Stokes est inject ´e dans le sens contra-propagatif de la pompe. Les ondes acoustiques ne sont plus issues du bruit thermique mais directement de l’ ´electrostriction induite par le battement entre la pompe et le signal. Le signal `a la sortie se retrouve amplifi ´e par la r ´etrodiffusion de la pompe. Ce syst `eme peut ˆetre ´egalement appel ´e pompe-sonde.
Dans notre cas, nos exp ´eriences sont limit ´ees `a des puissances de pompe de 2 W maxi-mum en continu, bien en dec¸a du seuil Brillouin, estim ´e `a plus de 50 W dans les microfils [10]. Nous restons donc dans un r ´egime spontan ´e. Nous verrons ´egalement que nous utiliserons au fil de ce chapitre les deux configurations de la diffusion Brillouin pour ca-ract ´eriser les microfils optiques. Avant de les pr ´esenter, nous allons introduire l’ ´etat de l’art de la diffusion Brillouin dans les diff ´erentes fibres.