Cas avec Langmuir

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Dans le cas avec Langmuir, l’évolution de la porosité est donnée par l’équation (4-6). Dans nos calculs, nous utiliserons les trois groupes de paramètres de Langmuir mentionnés dans le Tableau 3 (chapitre 3) pour le CO2. Ces paramètres sont listés dans le Tableau 4.

Tableau 4. Les trois différents groupes de paramètres de Langmuir utilisés dans nos calculs.

Palmer and Mansoori 1998 Wu et al. 2010a Connell et al. 2010b

L = 0,232 MPa^-1 εL = 0,0128 L = 0,164 MPa^-1 εL = 0,023 L = 0,0862 MPa^-1 εL = 0,015

La Figure 13 représente les variations de la déformation volumique de sorption εv (Eq. 4-2) en fonction de la pression de gaz et des trois groupes de paramètres de Langmuir. On voit une variation plus importante pour les paramètres de Wu et al. (2010a) suivi de ceux de Palmer

and Mansoori (1998) noté P&M sur la figure. Les paramètres de Connell et al. (2010b) engendrent moins de variations par rapport aux autres. On peut donc dire que les valeurs élevées des paramètres de Langmuir engendrent plus le gonflement matriciel que ses valeurs faibles. Ce qui modifiera fortement la déformation totale due à la pression de gaz, et donc aura un grand impact sur le couplage Hydro-Mécanique.

Figure 13. Déformation volumique de sorption pour les trois groupes de paramètres de Langmuir.

 Influence du coefficient de Biot b

Nous utilisons tout d’abord les trois groupes de paramètres donnés dans le Tableau 4 avec les trois différentes valeurs du coefficient de Biot utilisées dans le cas sans Langmuir (0,5 ; 0,67 et 1). Les Figures 14 et 15 donnent les effets du coefficient de Biot b respectivement pour la porosité φ et le rapport de perméabilité k/k0 (en fonction de la pression de gaz) pour les trois groupes de paramètres : les Figure 14a et 15a pour les paramètres de Palmer and Mansoori

(1998), les Figures 14b 15b pour les paramètres de Connell et al. (2010b) et les Figures 14c et 15c pour les paramètres de Wu et al. (2010a). Les Figures 14d et 15d donnent une petite comparaison entre les trois groupes de paramètres avec un coefficient de Biot égal à 1.

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Ces variations nous montrent une diminution de la porosité/perméabilité avec une augmentation de la pression de gaz quelle que soit la valeur de b et du groupe de paramètres de Langmuir utilisé. De plus, cette diminution est beaucoup plus grande pour des valeurs élevées du coefficient de Biot b quel que soit le groupe de paramètres de Langmuir choisi. L’augmentation du coefficient de Biot favorise donc la diminution de la porosité/perméabilité avec l’adsorption du gaz (Figs. 14a, 15a, 14b, 15b, 14c et 15c). Ce qui n’était pas le cas pour le cas sans Langmuir. Ceci serait donc dû aux déformations engendrées par l’isotherme de Langmuir (sans Langmuir nous auront des déformations totales négatives, mais avec Langmuir celles-ci seront positives). La comparaison (Figs. 14d et 15d) nous montre une diminution importante de la porosité/perméabilité (avec l’augmentation de la pression de gaz) pour les valeurs des paramètres de Wu et al. (2010a) par rapport à celles de Palmer and

Mansoori (1998) et de Connell et al. (2010b).

Figure 14. Influence du coefficient de Biot b sur la porosité φ pour les trois groupes de

paramètres: en a) les paramètres de Palmer and Mansoori, en b) les paramètres de Connell et al., en c) les paramètres de Wu et al., et en d) une comparaison pour b = 1.

Nous faisons appel dans la suite de nos calculs à une nouvelle valeur du paramètre L de Langmuir (4,4 MPa^-1) déterminée au Laboratoire de Chimie et de Méthodologies pour l’Environnement (LCME), situé à Metz. Il faut remarquer que c’est la plus grande des valeurs de L pour cette étude paramétrique. Pour cette valeur de L, la valeur de εLn’est pas connue. Avec cette valeur de L (4,4 MPa^-1) et la valeur de εL de Wu et al. (0,023), la plus grande aussi dans cette étude, la Figure 16 montre l’influence du coefficient de Biot sur la porosité φ (a) et le rapport de perméabilité k/k0 (b). Comparé aux Figures 14 et 15, on observe une diminution beaucoup plus importante dans la porosité/perméabilité sur la Figure 16. Pour les effets du paramètre de Langmuir εL, nous fixerons dans la suite _L = 4,4 MPa^-1, et pour ceux de _L nous fixerons aussi εL = 0,023.

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Figure 15. Influence du coefficient de Biot b sur le rapport de perméabilité k/k₀ pour les trois groupes de paramètres: en a) les paramètres de Palmer and Mansoori, en b) les paramètres de

Connell et al., en c) les paramètres de Wu et al., et en d) une comparaison pour b = 1.

Figure 16. Influence du coefficient de Biot b : en a) sur la porosité φ et en b) sur le rapport de

perméabilité k/k0, avec εL = 0,023 et L = 4,4 MPa^-1.  Influence des paramètres de Langmuir

Dans l’étude de l’influence du coefficient de Biot, nous avons utilisé trois groupes de paramètres de Langmuir. Dans ce paragraphe, nous voulons examiner l’effet exact de ces paramètres (un par un) sur les variations de la porosité/perméabilité du charbon au cours de l’injection du gaz. Nous fixons donc l’un des paramètres pour l’étude de l’autre. Deux types de calculs sont cependant effectués : un pour étudier l’influence de εL et l’autre pour étudier l’influence de L. Pour les deux types de calculs, la valeur du coefficient de Biot est prise égale à 1, ce qui permet de désactiver le couplage H-M (i.e., matrice incompressible) et donc

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de n’étudier que le gonflement matriciel. Le Tableau 5 résume les valeurs des paramètres pour l’étude de l’influence de εLet le Tableau 6 celles pour l’étude de l’influence de L.

Tableau 5. Paramètres utilisés pour l’étude de l’influence du paramètre de Langmuir εL. Influence de εL

L = 4,4 MPa^-1 (LCME) et b = 1

εL = 0,0128 (Palmer and Mansoori 1998)

εL = 0,023 (Wu et al. 2010a)

εL = 0,015 (Connell et al. 2010b)

La Figure 17 montre l’effet du paramètre εL sur la déformation volumique de sorption (Eq. 4-2). Plus cette valeur est grande, plus on assiste à une grande augmentation de déformations avec la pression de gaz. Sur la Figure 18 sont représentées les variations de la porosité φ (Fig.

18a) et de rapport de perméabilité k/k0 (Fig. 18b) en fonction de la pression de gaz. On voit une diminution de la porosité de plus en plus importante avec l’augmentation de εL. Cette diminution de porosité/perméabilité est due à l’augmentation de la déformation de sorption.

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Figure 18. Influence du paramètre de Langmuir εL : en a) sur la porosité φ et en b) sur le

rapport de perméabilité k/k0.

Tableau 6.Paramètres utilisés pour l’étude de l’influence du paramètre de Langmuir L. Influence de L

εL = 0,023 (Wu et al. 2010) et b = 1

L = 0,0862 MPa^-1 (Connell et al. 2010b)

L = 0,164 MPa^-1 (Wu et al. 2010a)

L = 0,232 MPa^-1 (Palmer and Mansoori 1998)

L = 4,4 MPa^-1 (LCME)

La Figure 19 montre l’influence du paramètre de Langmuir L sur les variations de la déformation de sorption. Comme pour εL, plus la valeur de L est grande, plus elle induit une grande déformation. De même, son influence sur les variations de porosité/perméabilité est identique à celle de εL (Fig. 20) : la porosité/perméabilité diminue avec l’augmentation de L. Cela est dû à son influence sur la déformation de gonflement matriciel.

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Figure 20. Influence de L : en a) sur la porosité φ et en b) sur le rapport de perméabilité k/k0. Vu les variations de porosité/perméabilité des Figures 18 et 20, on peut donc conclure que l’augmentation des valeurs des paramètres de Langmuir induit une diminution de la porosité/perméabilité avec la pression de gaz.

 Effets du module de Young drainé

Comme dans le cas sans Langmuir, pour l’étude de l’influence du module de Young drainé E0

(ou le module d’incompressibilité drainé K0) nous fixons la valeur du coefficient de Biot b égale à 0,67. Le Tableau 7 résume les paramètres utilisés pour cette étude.

Tableau 7.Paramètres utilisés pour l’étude de l’influence du module de Young E0 : cas avec Langmuir.

Paramètres de Langmuir Coefficient de Biot Valeurs du module de Young

εL L b E₀

0,023 4,4 MPa^-1 0,67

E₀ = 750 MPa

E₀ = 1500 MPa

E₀ = 9750 MPa

La Figure 21 donne les variations de la porosité φ (a) et du rapport de perméabilité k/k0 (b) en fonction de la pression de gaz et des différentes valeurs du module de Young E0. On remarque qu’aux faibles pressions de gaz (entre 0 et 1 MPa) aucune différence n’est observée pour les 3 différentes valeurs. Mais au-delà de 1 MPa, on observe une différence nette entre celles-ci. Plus la valeur du module de Young est grande, plus on assiste à une diminution importante de la porosité/perméabilité.

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Figure 21. Influence du module de Young drainé E0 : en a) sur la porosité φ et en b) sur le

rapport de perméabilité k/k0.

En revenant à l’équation de porosité (4-6), l’expression sous la fonction exponentielle (et donnée par l’équation (4-9) ci-dessous) représente la déformation totale due à la pression de gaz (le premier terme étant la déformation mécanique et le second celle de sorption).

1 1

1 1

P P

K  P P

 

 



  _  _

 

 

Comme on a vu dans le cas sans Langmuir, le premier terme est lié au couplage Hydro-Mécanique et dont l’augmentation de la pression augmente la porosité. Dans le cas avec Langmuir, on a un second terme de déformation dû à la sorption physico-chimique du gaz et dont l’augmentation de la pression de gaz diminue la porosité. Dans le cas avec Langmuir, on peut donc assister soit à une augmentation de la porosité/perméabilité, soit à une diminution de la porosité/perméabilité suite à une augmentation de la pression de gaz. Dans le premier cas on dira que l’Hydro-Mécanique prend le pas sur la sorption physico-chimique et dans le second cas, que la sorption prend le pas sur l’Hydro-Mécanique. Même si parmi les paramètres de Langmuir utilisés ici on observe seulement une diminution de porosité/perméabilité, il existe cependant d’autres valeurs de ces paramètres avec lesquels une augmentation pourra être observée.

En comparant les deux cas de calculs (sans Langmuir et avec Langmuir), les résultats théoriques obtenus ici montrent l’importance du phénomène de sorption. Sa prise en compte permettra donc de mieux contrôler les variations des propriétés pétro-physiques de la roche. Les effets du module de Young dans le cas avec Langmuir sont dus en partie aux effets qu’il a dans le cas sans Langmuir. En se référant à ses effets sur la porosité/perméabilité dans le cas sans Langmuir (Fig. 12), le module de Young (avec ses petites valeurs) inhibe les effets du gonflement dans le cas avec Langmuir (augmentation des effets du couplage Hydro-Mécanique).

Dans le paragraphe qui suit, nous implémentons le modèle établi dans Code_Aster pour faire des simulations numériques 1D.