4.4. Troisième partie : autres calculs numériques 2D avec Code_Aster
4.4.3. Cas de contraintes initiales déviatoriques
Les résultats que nous avons présentés jusqu’ici ont été obtenus en conditions isotropes avec un état de contrainte totale de -20 MPa (compression négative) et en déformations planes. Dans ce paragraphe, nous avons testé un cas de calcul avec une condition de contraintes déviatoriques (contraintes anisotropes), mais toujours en déformations planes. Nous avons considéré pour cela (en coordonnées cartésiennes), une contrainte de -20 MPa dans la direction des x, -10 MPa dans la direction des y et une contrainte de -20 MPa dans la direction des z.
Le maillage, les conditions aux limites et les conditions d’injection (les phases de calcul) sont les mêmes que ce qui est décrit dans le paragraphe 3.3 de l’article.
Pour les paramètres de calcul, nous avons considéré une perméabilité intrinsèque initiale k0 de 10-18 m2 avec une porosité de 0,1 et un coefficient de Biot de 1. Les paramètres de Langmuir
εL et L sont pris respectivement égaux à 0,023 et 4,4 MPa-1. Le module de Young drainé E0
étant pris égal à 750 MPa avec un coefficient de Poisson drainé 0 de 0,25. Les autres paramètres du calcul sont les mêmes que ceux donnés par le Tableau 1 de l’article. Le cas isotrope est aussi repris ici avec les mêmes paramètres pour la comparaison.
Nous présentons tout d’abord dans cette partie, les variations théoriques des contraintes radiales et orthoradiales en fonction du rayon extérieur r de la galerie pour un état de contrainte isotrope (Lamé) et pour un état de contrainte déviatorique (Kirsch). La méthode de Lamé étant un cas particulier de la méthode de Kirsch. Les expressions des contraintes radiales et orthoradiales sont données dans le cas déviatorique par :
4 4 4 4 ² ² 4 ² 3 (r, ) 1 1 cos 2 2 ² ² 2 ² ² ² 3 (r, ) 1 1 cos 2 2 ² ² 2 H V i i H V i i rr i H V i i H V i i r r r r r r r r r r r r r r (4-10)Dans (4-10), ri est le rayon de la galerie, l’angle par rapport à l’axe horizontal du plan cartésien, σH et σV respectivement les contraintes horizontales et verticales et σi la pression de soutènement. Travaillant en coordonnées cartésiennes, l’angle sera soit 0° (l’axe des x) soit 90° (l’axe des y). La Figure 43 montre les variations théoriques des contraintes radiales et
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Troisième partie : autres calculs numériques 2D avec Code_Aster
orthoradiales pour une pression de soutènement nulle et ri = 0,5 m (en (a) Lamé, en (b) Kirsch pour = 0° et en (c) Kirsch avec = 90°). Les mêmes variations sont présentées sur la Figure
44 pour une pression de soutènement de 7 MPa (notre pression d’injection). Pour la méthode de Lamé, les variations des contraintes sont la même pour les deux valeurs de . La contrainte radiale est nulle autour du puits pour une pression de soutènement nulle et 7 MPa pour une pression de soutènement de 7 MPa, que ce soit pour Lamé ou pour Kirsch.
Figure 43. Profils théoriques des contraintes radiales et orthoradiales pour σi = 0 : en (a) Lamé, en (b) Kirsch pour = 0° et en (c) Kirsch pour = 90°.
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Figure 44.Profils théoriques des contraintes radiales et orthoradiales pour σi = 7 MPa : en (a) Lamé, en (b) Kirsch pour = 0° et en (c) Kirsch pour = 90°.
Nous présentons sur la Figure 45 les profils des contraintes effectives après l’excavation de la galerie, suivant l’axe des x (a, c) et suivant l’axe des y (b, d). Les Figs. 45a et 45b sont obtenues pour un état de contrainte isotrope (Lamé) avec un état de contrainte initiale de -20 MPa et les Figs. 45c et 45d obtenues pour un état de contrainte déviatorique (-20 MPa suivant
z, -20 MPa suivant x et -10 MPa suivant y). Après injection de gaz, la contrainte effective radiale est de 7 MPa (correspondant à la pression d’injection) autour du puits d’injection. Nous présentons sur la Figure 46 les profils de la propagation de la pression de gaz dans le massif rocheux pour les instants t de 10 et 100 ans, pour le cas isotrope (a) et déviatorique (b). Les Figs. 46c et 46d donnent une comparaison de propagation de la pression de gaz entre le cas isotrope et le cas déviatorique suivant l’axe x (Fig. 46c) et l’axe y (Fig. 46d). Les notations
iso et dev signifient respectivement que l’on est en isotropie et en déviatorique. On n’observe quasiment pas de différence dans la propagation de la pression de gaz pour les deux cas de calcul (isotropie et déviatorique). Sur la Figure 47 sont présentés les profils des contraintes effectives suivant x (a, c) et suivant y (b, d) : en isotropie (a, b) et déviatorique (c, d) et pour les instants t de 10 et 100ans.
Quelle que soit la condition de contrainte initiale utilisée, la contrainte effective radiale est nulle autour du puits après l’excavation. Cependant, la contrainte effective orthoradiale est égale à deux fois sa valeur initiale (c'est-à-dire -40 MPa) dans le cas isotrope. Ce qui est en bon accord avec les résultats théoriques de Lamé. Dans le cas des contraintes déviatoriques, l’on obtient aussi les mêmes variations des contraintes dans nos modélisations suivant les directions : sur l’axe des x c’est-à-dire = 0° (Figs. 45c et 47c d’une part pour le cas théorique de Kirsch et Figs. 43b et 44b d’autre part pour nos modélisations) et sur l’axe des y c'est-à-dire = 90° (Figs. 43c et 44c d’une part pour le cas théorique de Kirsch, et Figs. 45d et 47d d’autre part pour nos modélisations). Les résultats de nos modélisations sont donc en bon accord avec les résultats théoriques de Kirsch.
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Figure 45. Profils des contraintes effectives après excavation suivant x (a, c) et suivant y (b, d) : en isotropie (a, b) et déviatorique (c, d).
Figure 46. Variations de la pression de gaz pour les cas isotrope (a) et déviatorique (b), une comparaison entre le cas isotrope et déviatorique suivant la direction x (c) et y (d).
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Figure 47. Variations des contraintes effectives suivant x (a, c) et suivant y (b, d) : en isotropie (a, b) et déviatorique (c, d).
Sur la Figure 48 sont présentées les variations de la porosité pour les instants t de 10 et 100 ans, pour le cas isotrope (a) et déviatorique (b). Les Figs. 48c et 48d donnent une comparaison entre le cas isotrope et le cas déviatorique suivant l’axe x (Fig. 48c) et l’axe y (Fig. 48d). Dans le cas isotrope, aucune différence de variation de la porosité n’est observée pour les deux directions (Fig. 48a). Mais dans le cas déviatorique, une différence notable peut être observée proche du puits d’injection : on observe une augmentation de la porosité proche du puits suivant l’axe des x et une diminution beaucoup plus importante (comparé au cas isotrope) suivant l’axe des y (Fig. 48b). La propagation de la pression étant la même (ou quasiment) dans toutes les directions quel que soit l’état de contrainte utilisé, cela serait dû aux variations des contraintes observées autour du puits (Fis. 47c et 47d).
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Figure 48. Évolution de la porosité pour les cas isotrope (a) et déviatorique (b), une comparaison entre le cas isotrope et déviatorique suivant la direction x (c) et y (d).