La validation dans le domaine des probabilités

D’après les programmes, l’initiation à la notion de probabilité dès la classe de 3e se fait suivant les deux approches objectivistes : laplacienne et fréquentiste. Dans l’approche laplacienne, la probabilité est définie « à partir de considérations de symétrie ou de compa-raison » (RESCOL-PROB, 2008, p. 3). Autrement dit, le calcul de la probabilité s’effectue (sous l’hypothèse d’équiprobabilité) à l’aide de la formule de Laplace énoncée comme suit :

« la probabilité d’un résultat est égale au quotient du nombre d’issues favorables (issues dans lesquelles on obtient le résultat) par le nombre total d’issues pos-sibles » (Ibid., p. 4).

Le calcul probabiliste s’exerce dans « des contextes familiers » (Ibid., p. 4) de type tirage d’urne ou lancer de dés. Du point de vue de l’approche fréquentiste, la probabilité est définie comme « fréquence limite » (Ibid., p. 4) à partir d’expérimentations et d’études de fréquences des issues dans différentes situations liées à la vie courante (pièces de monnaie, dés, urnes, etc.). Les auteurs du programme soulignent l’importance de l’approche fré-quentiste « pour les applications des probabilités dans des situations de la vie courante » (Ibid., p. 6), mais également pour « donner une justification des calculs de probabilités dans des expériences à deux épreuves » (Ibid., p. 6). En fait, « la justification des calculs de probabilités » sous-entend la justification (fondée sur la simulation informatique d’une expérience aléatoire) pour calculer à l’aide d’un arbre la probabilité de l’intersection des événements4.

Dans le document ressource ([RESCOL-DEM]) il est signalé que « cette partie du pro-gramme5 mobilise des raisonnements très variés qui ne se formalisent pas souvent sous la forme d’une démonstration » (RESCOL-DEM, 2009, p. 19) puisque la priorité est « de rationnaliser des décisions ou des choix, d’argumenter des affirmations ou d’exercer son esprit critique » (Ibid., p. 19) à partir de traitement calculatoire ou d’analyse des don-nées brutes. Dès lors, « le domaine des probabilités permet d’aborder des raisonnements nouveaux au collège pour décider ou choisir en situation d’incertitude » (RESCOL-DEM, 2009, p. 19), conduisant à susciter « l’intérêt des élèves qui peuvent s’impliquer dans des 4. Dans un arbre, la probabilité du résultat auquel conduit un chemin est égal au produit des proba-bilités rencontrées le long de ce chemin.

choix et disposer d’outils pour les valider ou les réfuter (simulation ou calcul de proba-bilités) » (Ibid., p. 19). La décision est réalisée à l’aide de la simulation ou du calcul probabiliste (utilisant la formule de Laplace).

Nous avons donc deux types d’arguments utilisés dans la prise de décision : les argu-ments fondés sur du calcul probabiliste, et les arguargu-ments de type empirico-expérimental. On constate néanmoins qu’aucune précision n’est donnée sur les « nouveaux raisonne-ments ». Toutefois, on peut supposer qu’il s’agit des raisonneraisonne-ments aléatoires qui sont soit purement probabilistes (utilisant uniquement le calcul de probabilités), soit basés sur les outils de la statistique descriptive (avec la simulation et la notion de fréquence). Dans le document ressource (RESCOL-DEM, 2009), il est cependant précisé que le raisonne-ment par induction peut être utilisé dans le cas où il s’agit de déterminer la probabilité d’un événement de manière expérimentale6. Un exercice et sa correction sont fournis à titre d’exemple :

« Quand on lance successivement deux dés, en additionnant les nombres pré-sents sur les deux faces supérieures, la probabilité d’obtenir dix est-elle la même que celle d’obtenir neuf ?

Une approche fréquentielle (éventuellement faite à la maison avec trente fois 2 lancers par élève, par exemple) n’apparaît pas vraiment significative. L’idée de la simulation peut alors être utilisée mais la première question qui se pose alors est :

- comment, avec la fonction ALEA (ou la fonction ALEA entre bornes) d’un tableur, simuler le lancer d’un dé ?

On peut amener les élèves à faire le lien avec le tirage au sort d’un point sur un segment partagé en six segments de même longueur.

- comment simuler alors la situation proposée ?

L’émission d’une conjecture est alors aisée, mais l’estimation de la probabilité est ici plus délicate car les fréquences 1

12 (apparition du nombre 10) et 1 9 (ap-parition du nombre 9) ne se devinent pas à partir de l’affichage décimal du tableur.

Dans les deux cas, la création de la simulation nécessite un véritable raison-nement (la fonction ALEA donne un nombre au hasard entre 0 et 1 donc en multipliant par 6 on obtient un nombre au hasard entre 0 et 6, du moins

6. Le raisonnement inductif est également pratiqué dans le domaine des sciences expérimentales uti-lisant des outils de la statistique pour vérifier (et non pas pour démontrer) des hypothèses : « dans le domaine des sciences expérimentales, le raisonnement par induction se suffit à lui-même si la méthode employée est suffisamment rigoureuse : la présomption qui résulte d’observations concordantes débouche sur la mise en place d’un protocole expérimental destiné à vérifier les « hypothèses » émises. L’expérience doit être reproductible et la preuve qui en résulte s’apparente à une preuve statistique (par estimateur ou intervalle de confiance) »(RESCOL-DEM., 2009, p. 2).

on l’admettra ; la fonction ENT pourra aussi être utile) et apporte au bout du compte un apprentissage en terme d’appréhension du hasard » (RESCOL-DEM, 2009, p. 5).

La formulation de l’énoncé de cet exemple nous laisse penser que la simulation informa-tique (sur l’ordinateur ou sur la calculatrice) ne relève pas de l’approche fréquentiste. Or dans le chapitre 1 de la première partie, nous avons justement souligné le fait que la simulation fait partie de l’approche fréquentiste. La simulation informatique d’expérience aléatoire fournit des résultats empiriques dans le domaine de la statistique descriptive. Ces résultats sont les fréquences d’apparition du nombre 9 et celles du nombre 10. De l’observation des résultats, on induit une conjecture portant sur la probabilité d’obtenir 10 et celle d’obtenir 9. Le passage des fréquences d’apparition de chacun des nombre 10 et 9 à l’estimation de la probabilité des apparitions des deux nombres est fondé sur la loi des grands nombres, qui n’est pas signalé dans cet exemple. Le document ressource propose « de déterminer la probabilité grâce à un arbre » (Ibid., p. 6). Toutefois, il nous semble que l’usage de l’arbre est peu pertinent et moins économique en temps (plusieurs branches à tracer), mais que l’utilisation d’un tableau à double entrée serait plus performant et plus pertinent (nous aurons l’occasion de rencontrer ce type d’usage dans le prochain chapitre). Pour la représentation et le traitement des situations aléatoires, les auteurs du document ressource recommandent l’usage de l’arbre pondéré par les probabilités : il « permet de représenter les différentes issues d’une expérience aléatoire, puis en le pondérant de faire apparaître les probabilités de chacune d’elles [...] » (RESCOL-PROB, 2008, p. 9). Dans le cas d’une expérience à deux épreuves, le calcul de la probabilité d’un événement à partir de l’arbre pondéré s’appuie sur des éléments institutionnalisés dans le référentiel théorique : l’addition des probabilités (figurant sur les branches) des issues réalisant cet évènement, et la somme des probabilités de toutes les issues figurant sur l’ensemble des branches est égale à 1. La propriété « dans un arbre, la probabilité du résultat auquel conduit un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin » (Ibid., p. 9) est utilisée en plus des propriétés précédentes, dans le cadre de l’expérience à deux épreuves. Le référentiel théorique de l’ETMP contient donc les propriétés citées précédemment, mais également les propriétés élémentaires des probabilités :

- « Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent se produire en même temps.

- L’événement contraire d’un événement est celui qui se réalise lorsque l’évé-nement n’a pas lieu.

- La probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1. On peut l’exprimer sous diverses formes (décimale, fractionnaire, pourcentage).

- La probabilité d’un événement qui se produit nécessairement (événement certain) est égale à 1.

- Si deux événements sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités. Plus généralement, on peut additionner les probabilités d’événements deux à deux incompatibles. - Un événement et son contraire sont incompatibles et la réalisation de l’un

ou de l’autre est certaine. Donc la somme de leurs probabilités est égale à 1.

- En particulier, la probabilité d’un événement qui ne peut pas se produire (événement impossible) est égale à 0 » (Ibid., pp. 9-10).

Ce référentiel théorique est composé d’une liste d’énoncés juxtaposés pléonastique dont on ne connait pas réellement le statut (sont-ils des propriétés, des théorèmes, ou des défini-tions ?). C’est donc un référentiel non organisé dans lequel il n’y a aucune hiérarchisation des éléments le constituant. La « non organisation » du référentiel peut éventuellement induire des difficultés dans la construction du raisonnement de la validation. L’organisa-tion de ce référentiel incombe à l’enseignant.

Nous retenons que dans la classe de 3e, le travail de validation dans l’enseignement des probabilités est caractérisé par l’usage de l’expérimentation via la simulation informa-tique et l’usage de l’arbre pondéré. Dans les deux cas, la probabilité d’un événement est déterminée soit par estimation à partir des fréquences d’apparition de cet évènement, soit par un traitement calculatoire appuyé sur un arbre pondéré. La dimension instrumen-tale (l’usage de la simulation) et la dimension sémiotique (l’usage d’un arbre pondéré) sont alors priviligiées dans le travail de validation. Ces dimensions utilisent les outils du référentiel théorique tels que la loi des grands nombres (pour estimer la probabilité) et les propriétés de l’arbre pondéré (pour effectuer le calcul). De ce fait, le travail de vali-dation circule dans l’un des deux plans [Sem-Dis] et [Ins-Dis]. Le discours de valivali-dation est un argumentaire fondé sur des arguments empirico-expérimentaux ou des arguments sémiotiques appuyés sur des calculs probabilistes. En revanche, aucune suggestion n’est formulée au sujet de la mise en forme du discours de la validation.