5.3 Grille de comparaison de la validation dans les ETM géométrique et
pro-babiliste . . . 98 6 Comparaison de la validation dans l’ETMG et l’ETMP de référence 101
6.1 Organisation du programme de mathématiques dans l’enseignement secon-daire . . . 101 6.2 La validation dans les ETMG et ETMP de référence en classe de 3e . . . . 102
6.2.1 La validation dans les programmes officiels et les documents res-sources au collège . . . 103 6.2.2 La validation dans le domaine de la géométrie . . . 106 6.2.3 La validation dans le domaine des probabilités . . . 108 6.2.4 Comparaison de l’ETMG et l’ETMP de référence . . . 111 6.3 La validation dans les ETMG et ETMP de référence en classe de 2nde . . . 114 6.3.1 La validation dans le programme officiel de la classe de 2nde . . . . 114 6.3.2 La validation dans le domaine de la géométrie . . . 114 6.3.3 La validation dans le domaine des probabilités . . . 115 6.3.4 Comparaison de l’ETMG et l’ETMP de référence . . . 123 6.4 Comparaison de l’ETMG et l’ETMP de référence dans les deux niveaux de
classe . . . 124 7 Comparaison de la validation dans les ETMG et ETMP idoines 127 7.1 Méthodologie particulière . . . 127 7.1.1 L’analyse du travail de validation effectué dans une séance . . . 128 7.1.2 L’analyse du discours de validation dans chacune des séances observées129 7.1.3 Les groupes de comparaisons . . . 130
7.2 Les comparaisons des ETMG géométriques idoines . . . 134 7.2.1 ETMG idoines en classes de 3e A et de 3e B . . . 134 7.2.2 ETMG idoines en classes de 2nde C et de 2nde D . . . 149 7.3 Les comparaisons des ETMP probabilistes idoines . . . 163 7.3.1 ETMP idoine en classe de 3e B . . . 163 7.3.2 ETMP idoines en classes de 2nde C et de 2nde D . . . 173 7.4 Comparaison des ETM idoines relatifs à un domaine dans deux niveaux de
classe . . . 186 7.4.1 ETMG idoine en classes de 3e et de 2nde . . . 186 7.4.2 ETMP idoine en classes de 3e et de 2nde . . . 187 7.5 Comparaison des ETM idoines relatifs à deux domaines dans deux niveaux
de classe . . . 189 Conclusion de la deuxième partie 191
Introduction de la deuxième partie
Dans cette deuxième partie, nous effectuons une étude descriptive et exploratoire de la notion de validation dans l’enseignement des probabilités et de la géométrie en classes de 3eet de 2nde afin de répondre à la première question Q1 : existe-t-il des différences entre les formes de validation dans l’enseignement de la géométrie et dans l’enseignement des probabilités en classes de 3e et de 2nde?Cette étude s’appuie sur la comparaison du travail de validation dans les espaces de travail de référence et idoine.
La comparaison des ETMG et ETMP de référence à ces deux niveaux de classes met en évidence l’invariance du travail de validation et du discours associé dans l’enseignement de la géométrie. Le travail de validation géométrique est très fortement orienté vers la dimen-sion discursive donnant lieu à des argumentaires de validation de type démonstratif. Les dimensions sémiotique et instrumentale sont quant à elles peu mobilisées dans ce travail de validation géométrique. Par contre, dans l’enseignement du domaine des probabilités, le travail de validation varie a priori en fonction du niveau de classe. Cette variation semble être une conséquence de l’insuffisance du référentiel théorique en termes de propriétés et de théorèmes. Mais elle est également une conséquence de la place accordée aux deux dimensions instrumentale et sémiotique dans le travail de validation dans le domaine des probabilités.
Cette différence du travail de validation est également constatée au sein des ETMG et ETMP idoines. En effet, les différentes comparaisons de la validation menées (en fonc-tion du domaine et du niveau de classe) dans deux classes de 3e et deux classes de 2nde
montrent que le travail de validation géométrique et son discours sont similaires dans les quatre classes observées. Alors que dans le domaine des probabilités, ils dépendent des choix du professeur, puisque, dans certains cas, nous avons noté que les professeurs privilégient la dimension sémiotique dans le travail de validation et insèrent les outils sémiotiques dans le discours de validation. D’autres professeurs favorisent la dimension discursive.
Cette étude descriptive et exploratoire nous éclaire sur les pratiques de la validation dans les deux domaines enseignés. Elle nous donne une idée de la manière dont les dimensions de l’ETMP interviennent dans le travail de validation et de leurs fonctions lorsque le ré-férentiel théorique semblent insuffisant en éléments théoriques.
Le but de cette partie est de mettre en évidence l’existence de différences entre la validation géométrique et la validation probabiliste en fin de scolarité obligatoire. Cette partie est déclinée en trois chapitres :
- dans le premier chapitre, nous présentons la méthodologie construite pour mener la comparaison ;
- dans le second chapitre, nous décrivons chacune des analyses du travail de valida-tion réalisée à partir de l’étude des documents instituvalida-tionnels ;
- enfin, dans le dernière chapitre, nous décrivons le travail de la validation effectué dans les classes de 3e et de 2nde.
Chapitre 5
Méthodologie de comparaison
Nous cherchons à travers cette partie à répondre à la question Q1 formulée comme suit : existe-t-il des différences entre les formes de validation dans l’enseigne-ment de la géométrie et dans l’enseignel’enseigne-ment des probabilités en classes de 3e
et de 2nde? Répondre à cette question revient, selon nous, à effectuer deux sortes de comparaisons. L’une du point de vue des recommandations institutionnelles, l’autre du point de vue de la pratique de la validation dans les classes de 3e et de 2nde. Nous suppo-sons que (H1) le travail mathématique de la validation dans le domaine de la géométrie est bien différent de celui du domaine des probabilités au niveau des classes de 3e et de 2nde. Cette différence est probablement due à la richesse du référentiel théorique (en termes de propriétés et théorèmes) de l’ETM géomé-trique favorisant la validation de type démonstration, alors que le référentiel théorique de l’ETM probabiliste à ces deux niveaux de classe est en cours de construction, ce qui empêche la mise en œuvre d’une démonstration au même titre qu’en géométrie.
Pour tester cette hypothèse, nous avons conçu une méthodologie basée sur l’analyse des espaces de travail de référence et idoine articulée avec la notion de paradigmes. En ef-fet, comme nous l’avons souligné dans le chapitre 4 de la première partie, l’ETM a pour fonction de décrire le travail mathématique résultant de la réalisation d’une tâche. La description du travail de validation du point de vue institutionnel (programmes et docu-ments ressources) s’effectue au niveau de l’ETM de référence, tandis que la description de la pratique de la validation dans les classes s’effectue au niveau de l’ETM idoine. Au niveau de l’ETM de référence, il convient d’identifier les validations et les formes de tra-vail de validation recommandées par l’institution (3e et 2nde). Dans l’ETM idoine, il est question de décrire la mise en œuvre des validations et des formes de travail de validation institutionnelles. Dans les deux niveaux d’ETM, les validations et les formes de travail as-sociées dépendent du paradigme qui dirige l’ETM. D’où la nécessité de prendre en compte la notion de paradigme dans notre étude comparative.
5.1 Pourquoi comparer la validation en géométrie et en
probabilité ?
La comparaison de la validation dans l’enseignement de la géométrie et des probabili-tés est motivée par plusieurs raisons.
La première raison est liée au fait que l’enseignement et l’apprentissage de ces deux do-maines mathématiques peuvent être, à première vue, comparables. Ils entretiennent tous les deux des liens étroits avec la réalité et jouissent d’un statut d’abstraction faisant appel à la modélisation. Leur enseignement et apprentissage consistent, dans un premier temps, à placer les élèves dans des situations d’expérimentation : actions sur les objets étudiés, conception et mise en œuvre d’un programme expérimental, description des phénomènes observés et précision du vocabulaire et enfin, recueil des données. L’apprentissage de ces deux domaines s’appuie sur une approche empirique de la réalité. Ainsi, l’enseignement de la géométrie est construit sur la pratique du dessin géométrique, avec des actions de construction, et sur les expérimentations dans différents environnements (papier/crayon, informatique) afin de dégager des invariants. Prenons par exemple le cas de l’étude d’une rosace placée au-dessus du porche d’une cathédrale en vue de sa reproduction (Parzysz, 2011). On commence par repérer les arcs de cercles. Ensuite, on émet des hypothèses sur les emplacements des centres des arcs de cercles, mais aussi sur les égalités et différences entre les rayons des arcs de cercles. L’enseignement des probabilités se construit sur une familiarisation avec l’aléatoire, la perception du hasard, des actions sur les jeux de hasard, puis des expérimentations et des simulations, du recueil de données statistiques, afin de dégager les stabilités :
« enquête auprès des élèves de l’établissement par sondage sur les préférences entre deux positions A et B. Chaque élève de la classe interroge 10 camarades. Effets du prélèvement au hasard des personnes interrogées. Observation des variations du nombre des réponses favorables à A par groupes de 10 réponses. Stabilisation de la fréquence des réponses A quand on regroupe les échantillons sondés » (Henry, 1999, p. 30).
La deuxième raison est que la comparaison entre ces deux domaines a fait l’objet de travaux didactiques, en particulier ceux d’Henry (1999) et de Parzysz (2011).
La troisième raison est liée au fait que l’étude de la validation dans l’enseignement des mathématiques au niveau secondaire a été menée du point de vue de l’enseignement de la géométrie. En effet, la question de la validation dans l’enseignement de la géométrie au niveau secondaire a été débattue dans de nombreux travaux didactiques, comme ceux de Balacheff (1982, 1987), Duval (1993), Cabassut (2005) ou Knipping (2002 à 2008). Ces travaux mettent en évidence les différentes caractéristiques de la validation dans l’enseignement et l’apprentissage de la géométrie dans le secondaire. C’est pourquoi une
étude de la validation prenant appui sur le domaine de la géométrie comme domaine témoin nous semble intéressante afin de caractériser la validation dans l’enseignement des probabilités au niveau des classes de 3e et de 2nde.
Pour effctuer cette étude de la validation, nous allons comparer les formes du travail de validation dans les deux domaines et de manière plus précise, les formes du travail de validation dans l’ETM de référence via l’analyse des documents institutionnels, et dans l’ETM idoine via une analyse de séances d’enseignement.