La resolució de problemes en el currículum

Els problemes van ser el tema de les matemàtiques des de la seva aparició, segons consta en els documents més antics existents de matemàtiques: el papir Rhind, les taules d’argila babilòniques, les nou seccions Xineses, i altres (Arcavi i Friedlander, 2007). D’alguna manera, aquests documents poden ser considerats com a “currículum'': textos amb l’objectiu principal d’ensenyar, o almenys documentar l’aplicació d’una tècnica específica de solució i comunicar-la a una minoria privilegiada. Així, es pot afirmar que "ensenyar” a resoldre problemes és tan antic com la matemàtica mateixa. La visió de la resolució de problemes matemàtics com un conjunt de tècniques per a resoldre diferents tipus de problemes sembla haver prevalgut durant molts segles. No obstant això, per primera vegada, en l’últim segle els debats de l’ensenyament de la resolució de problemes han passat de promoure que els estudiants simplement coneguin les normes per a la resolució de problemes particulars a desenvolupar enfocaments més generals per a resoldre problemes (Stanic i Kilpatrick, 1989).

Molts estudiosos que van estar treballant en diferents disciplines durant la primera meitat del segle XX poden ser esmentats com els precursors de la nova concepció més general sobre la resolució de problemes, el seu paper en l’ensenyament de la matemàtica i la seva importància en la investigació educativa, d’entre els quals destaquen les contribucions pioneres de John Dewey, Jean Piaget, George Polya i William A. Brownell, que van treballar en diversos camps com l’educació, la filosofia, l’epistemologia, la psicologia cognitiva, les matemàtiques i l’ensenyament de les matemàtiques.

Des de la dècada dels 60, la resolució deproblemes matemàtics ha començat a jugar un paper central tant en l’ensenyament i com en la investigació. En el camp de l’ensenyament s’aprecia una preocupació creixent per incorporar la resolució de problemes en el currículum de les matemàtiques escolars, i un esforç per sustentar les innovacions curriculars sobre treballs de recerca educativa. Les traduccions de treballs de l’escola soviètica d’Educació Matemàtica (Kilpatrick i Wiszurp, 1969, 1972; Krutetskii, 1976) van posar de manifest l’enorme interès d’aquest focus de recerca i els considerables avenços que havien realitzat.

Subratllem algunes referències que han estat documents claus (Castro, 2008):

19

• El NCTM nord-americà publica An Agenda for Action, 1980, i situa com a primer ítem en la seva llista de recomanacions per a la dècada dels 1980 la idea que la resolució de problemes ha de ser l’eix de la matemàtica escolar i el principal objectiu de l’ensenyament de les matemàtiques, i dedica el llibre de l’any 1980 íntegrament al tema: Problem Solving in School Mathematics (NCTM, 1980).

• L’informe Cockcroft (Las matemáticas sí cuentan, 1985), en el paràgraf 249, estableix que l’habilitat en resoldre problemes és el nucli central de les matemàtiques, i elabora un breu document en el qual s’afirma taxativament que la resolució de problemes podria i hauria de reemplaçar a l’aritmètica rutinària com el tema principal en les classes de primària.

• Els Estàndards Curriculars del NCTM (1989, 2000) inclouen la resolució de problemes com un dels estàndards que cal desenvolupar en el currículum escolar de matemàtiques.

A Espanya, s’inclouenrecomanacions explícites en la proposta curricular que propugna el MEC en el Decret Curricular Base de 1989^.

"La resolució de problemes dins del currículum de Matemàtiques és un contingut prioritari, perquè és un mitjà d’aprenentatge i reforç de continguts, dóna sentit aplicatiu a l’àrea i permet la interrelació entre els diferents blocs i les restants àrees" (MEC, 1989).

Entre els múltiples suggeriments que aporta el DCB, destaquem:

“En els plantejaments metodològics cal tenir en compte que l’alumne ha de desenvolupar i perfeccionar les seves pròpies estratègies, alhora que adquireix altres generals i específiques que li permetin enfrontar-se a les noves situacions amb probabilitat d’èxit. En aquest sentit, es brindarà als nens l’oportunitat de familiaritzar-se amb processos que faciliten l’exploració i resolució de problemes com: comprensió i expressió de la situació matemàtica (verbalització, dramatització, discussió en equip), extracció de dades i anàlisi de les mateixes, representació en forma gràfica del problema o situació, formulació de conjectures i verificació de la seva validesa o no, exploració mitjançant assaig i error, formulacions noves del problema, comprovació de resultats i comunicació dels mateixos. Es fa necessari, així mateix, desenvolupar la capacitat de persistir en l’exploració d’un problema” (MEC, 1989).

En els programes per a l’Educació Secundària Obligatòria, el MEC (2000) estableix en el Reial decret 3473/2000, per a la modificació dels Ensenyaments Mínims per a l'ESO, que

“La resolució de problemes s’ha de contemplar com una pràctica habitual, que no pot tractar-se de forma aïllada, sinó integrada en totes i cadascuna de les facetes que conformen el procés d’ensenyament i aprenentatge” (p. 1843).

L’objectiu 5 d’aquest Reial Decret diu que s'han de resoldre problemes matemàtics utilitzant diferents estratègies, procediments i recursos, des de la intuïció fins als algoritmes.

Actualment, la modificació dels Ensenyaments Mínims realitzada pel MEC (2007) orientada al desenvolupament de competències, preveu la posada en pràctica de processos de raonament que porten a la solució dels problemes i a l’aplicació d’estratègies de resolució de problemes.

En tots els cursos s’ha inclòs un bloc de “continguts comuns” que constitueix l’eix transversal vertebrador dels coneixements matemàtics que abasta. Aquest bloc fa referència expressa,

20

entre d’altres, a un tema bàsic del currículum: la resolució de problemes, amb el qual es pretén:

• Utilització d’estratègies i tècniques simples en la resolució de problemes com ara l’anàlisi de l’enunciat, l’assaig i error o la resolució d’un problema més simple, i la comprovació de la solució obtinguda.

• Expressióverbal del procediment que s’ha seguit en la resolució de problemes.

• Confiança en les pròpies capacitats per afrontar problemes, comprendre les relacions matemàtiques i prendre decisions a partir d’elles.

• Perseverança i flexibilitat en la recerca de solucions als problemes.

Els continguts del currículum estan distribuïts en el que s’anomena “blocs de contingut”, que són sis: Nombres, Àlgebra, Geometria, Funcions i Gràfics, Estadística i Probabilitat, i aquest bloc de “continguts comuns”. No es parla però de la resolució de problemes fora d’aquest bloc de “contingut comuns” (de la manera que ja hem expressat), excepte en el bloc d’Àlgebra.

Segons Puig (2008), amb aquest fet es corre el perill de que, al col·locar la resolució de problemes a tot arreu però negar-li un lloc propi i específic, acabi no estant-ne en cap; per pretendre-la omnipresent, acabi estant absent de la pràctica de les aules. ^O acabi estant present només en el bloc d’Àlgebra, on la resolució de problemes ha quedat reduïda al món de l’heurística i al món de la resolució algebraica de problemes, i en el que amb els problemes s’ensenya el sistema de signes de l’àlgebra, perdent-se el paper fonamental de la resolució de problemes en la constitució dels conceptes ja sigui aritmètics, geomètrics, probabilístics o de qualsevol altra branca de les matemàtiques^.

Pel que fa a Catalunya, podem ser més optimistes –en termes de currículum–. Tant a l’educació primària (DECRET 142/2007) com a la secundària obligatòria (DECRET 143/2007) es considera una finalitat d’aquests ensenyaments adquirir les habilitats i les competències culturals i socials relatives a la resolució de problemes.

En quant a la competència matemàtica, a l’educació primària es descriu que, en general, aquesta implica

“l’habilitat per comprendre, utilitzar i relacionar els números, les seves operacions bàsiques, els símbols i les formes d’expressió i raonament matemàtic, tant per produir i interpretar distints tipus d’informació, com per ampliar el coneixement sobre aspectes quantitatius i espacials de la realitat, i per entendre i resoldre problemes i situacions relacionats amb la vida quotidiana i el coneixement científic i el món laboral i social.”

I més concretament, en quant a la resolució de problemes, assolir aquesta competència implica

“Plantejar-se i resoldre problemes. Llegir i entendre l’enunciat, generar preguntes relacionades amb una situació-problema, planificar i desenvolupar estratègies de resolució i verificar la validesa de les solucions.”

En l’ordenament de secundària, a més, s’afegeix

21

“Plantejar i resoldre problemes anàlegs, cercar altres resolucions, canviar les condicions del problema, sintetitzar els resultats i mètodes emprats, i estendre el problema, recollint els resultats que poden ser útils en situacions posteriors.”

En ambdós ensenyaments es considera la resolució de problemes, “entesa en un sentit ampli”, com el nucli d’ensenyament en les classes de matemàtiques. Tot i així, al igual que a l’Estat Español, no es considera la resolució de problemes com un bloc de contingut, sinó que s’inclou en els processos que es desenvolupen al treballar els continguts de tots els blocs, i en tots els cursos, considerant-la

“el nucli del treball de matemàtiques, ja que facilita la construcció de nous coneixements, la transferència de conceptes, el desenvolupament d’estratègies de resolució i l’anàlisi del procés de resolució. Cal tenir en compte que els problemes, a més d’aplicar el coneixement adquirit en altres contextos, han de possibilitar la construcció del coneixement matemàtic i mostrar-ne la utilitat.”

Finalment volem copsar el pes que té la resolució de problemes en cadascun dels cincs blocs de continguts en què estan estructurats tant el currículum de Matemàtiques de l’Educació Primària com el de l’Educació Secundària Obligatòria (desenvolupat en estreta relació amb el de Primària), comparant el cicle superior de primària i el primer curs de la ESO. Visualment veiem les diferències substancials del pes de la RP entre els diferents blocs de contingut:

Cicle Superior Primària Primer curs ESO Processos

- Utilització de nombres enters per a expressar valors o variacions múltiples i divisors en la resolució de problemes.

- Utilització de la visualització i de models geomètrics per resoldre

22

- Utilització de les diferents unitats de mesura en la resolució de problemes.

- Utilització de la mesura del temps i de les seves unitats en la resolució de problemes.

- Utilització de la calculadora i de recursos TIC per elaborar taules de valors i calcular la mediana, la mitjana aritmètica i la moda. Aplicació a la resolució de problemes.

- Ús dels recursos TIC per treballar amb mostres grans. Aplicació a la fraccions i percentatges, fent ús de la forma de càlcul més apropiada i valorant l’adequació del resultat al context.

- Utilitzar nombres enters, fraccions, decimals i percentatges, les seves operacions i les seves propietats per a recollir, transformar i intercanviar

Taula 1. La RP en els blocs de contingut de currículum

Per acabar aquest apartat, voldríem fer especial atenció a la problemàtica que suposa el fet que la presència de la resolució de problemes en el currículum es tradueixi sovint en la seva absència a la pràctica de les aules. Tot i així, remetent-nos a Puig (2008), defensem que això no es deu a la manca d’investigació, sinó, en tot cas, a la manca de relació entre la recerca i el disseny i desenvolupament curriculars, i sobretot en la ideologia que ha sustentat les decisions curriculars.

23