Comparació general de les creences de les quatre mostres

En aquest apartat pretenem, a partir de les comparacions realitzades entre les mostres dos a dos, fer una síntesi de les semblances i diferències de creences que hi ha entre les quatre mostres, i intentar trobar relacions entre l’etapa educativa o l’experiència docent de la mostra i el tipus de creences que tenen.

A continuació mostrem la taula-resum dels ítems en els quals les mostres, dos a dos, tenen semblances (verd) i diferències (vermell) segons el criteri que hem establert anteriorment.

109 Taula 44. Comparació general de les creences de les quatre mostres

En la taula observem, primerament, que és possible (degut a les característiques dels criteris emprats) que a sigui semblant a b i a c però que b i c no siguin semblants entre ells (és a dir, que no es compleix la propietat transitiva). Tot i així, si una mostra té un ítem semblant a les altres tres considerarem que aquest ítem és molt comú a les quatre mostres, ja que si en algunes de les relacions no ho és serà per poc, i en tot cas, explicarem el cas amb detall per entendre les sotileses que es puguin donar. En el cas de les diferències aquest raonament no seria vàlid, ja que per lògica no es compleix la propietat transitiva, i cal estudiar amb més detall entre quines mostres es troben les diferències de cada ítem. Resumidament, extraiem de la taula:

 Ítems molt comuns a les quatre mostres: A4, B1, B5, C3.

 Ítems molt diferents entre les quatre mostres: A1, A2, A3, A5, B2, B3, B6, C1, C2.

 Ítems ni molt comuns, ni molt diferents: B4, C4.

Fixant-nos detalladament en els ítems que no ens han sortit ni comuns ni diferents, observem que B4 encaixa millor en ítems comuns (ja que no ha sortit comú per poc) i C4 en diferents. En el cas de l’ítem C2 (importància d’estratègies), tot i sortir que és molt diferent a les quatre mostres, això es deu a que en la mostra D la caixa té amplitud 0, però en realitat les quatre mostres han tret resultats molt per sota del 0. Per tant, considerarem que l’ítem C2 és comú a les quatre mostres. docent. En el cas dels ítems que són diferents, serà interessant analitzar quins factors (etapa educativa i/o experiència docent) influeixen en la divergència de creences.

110

Estudiant amb deteniment els resultats exposats en la taula anterior, hem decidit finalment fer una subdivisió dels ítems diferents entre les quatre mostres, tenint en compte entre quines mostres la diferència resulta més significativa. Finalment, ens queden els següents quatre grups:

 Creences comuns a les quatre mostres: A4, B1, B4, B5, C2, C3.

 Creences A versus D: A1, A3, A5, B6.

 Creences A versus B: B2, C1, C4.

 Creences C versus tots els altres: A2, B3.

Creences comuns a les quatre mostres

Les creences que, segons els resultats obtinguts, són força comuns a les quatre mostres, són les següents:

A. Creences sobre l’objecte problema de matemàtiques

4) Precisió de l’enunciat: Les mostres no es posicionen sobre si és important o no.

B. Creences sobre la naturalesa de l’activitat de resolució de problemes

1) Caràcter instrumental / investigatiu de l’activitat matemàtica: Les mostres no es posicionen ni cap a un caràcter totalment instrumental de les matemàtiques ni cap a un de totalment investigatiu.

4) Èmfasi sobre el producte o el procés: Les quatre mostres estan d’acord en què és tan important el procés com el producte.

5) Caràcter lineal de l’activitat de resolució de problemes: Tenen l’opinió comú de que el procés de resolució de problemes és inevitable que estigui ple d’entrebancs (intents fallits i camins equivocats, incorreccions i proves).

C. Creences sobre el procés d’ensenyament-aprenentatge de la resolució de problemes

2) Importància de l’aprenentatge d’estratègies: Tot i que les dades d’algunes de les mostres són molt disperses, totes es posicionen clarament en que les estratègies són importants.

3) Importància de la millora del control: Hi ha un posicionament comú a l’hora de donar importància al control cognitiu i dels estats d’ànim quan es resolen problemes.

A continuació mostrem els gràfics dels quatre ítems anteriorment comentats, on podem observar els resultats semblants de les quatre mostres:

111

Il·lustració 7. Creences comuns a les quatre mostres

En general, observem que estan d’acord en la meitat dels aspectes referents a la naturalesa de l’activitat de RP, tot i que en un dels aspectes més rellevants (caràcter de l’activitat matemàtica) no es posicionen. En els altres dos ítems d’aquesta categoria (importància del procés / producte i caràcter lineal de la RP) tenen opinions afins a Schoenfeld. Els tres ítems restants (precisió de l’enunciat, importància de les heurístiques i importància de la millora del control), es posicionen de forma més o menys ferma però sempre en consonància a pensar matemàticament.

Creences Mostra A (Estudiants de Professor de Secundària) versus Mostra D (Professors de Primària)

Les creences en les quals, segons els resultats obtinguts, la màxima divergència d’opinions es troba entre els individus de la mostra A i els individus de la mostra D (generalment secundària – primària), són les següents:

A. Creences sobre l’objecte problema de matemàtiques

1) Flux entorn -> problema escolar: Els que més fan la identificació de problema amb context real són els professors de primària, els professors de secundària no es posicionen, els estudiants de professor de primària tendeixen a no fer-la i els estudiants de professor de secundària no fan aquesta identificació.

3) Identificació “enunciat verbal” – problema: Tot i que les posicions no són extremes, els estudiants de professor de secundària no fan tant aquesta identificació, mentre que els professors de primària són els que la fan de forma més clara. Els professors de secundària i els estudiants de professor de primària tendeixen a fer-la, però les opinions dins de cada mostra són més diverses.

5) Caràcter tancat del propòsit: El canvi d’opinió més marcat en aquest ítem es troba entre les mostres de secundària i les de primària, sent els estudiants de professor els que tenen opinions més extremes, i on.

B. Creences sobre la naturalesa de l’activitat de resolució de problemes

6) Rellevància de la RP dins de l’activitat matemàtica: Els únics que troben que els problemes són l’aspecte més rellevant de les matemàtiques són els estudiants de professor de

112

secundària; les altres tres mostres, tot i no obtenir exactament els mateixos resultats, tendeixen totes a no posicionar-se sobre la qüestió.

Il·lustració 8. Creences A versus D

Notem primer, que el fet que la divergència més gran d’opinions estigui entre la mostra A i la mostra D a priori sembla el més natural, ja que no tenen en comú ni l’etapa educativa ni l’experiència. Tot i així, només són quatre els ítems on aquesta divergència és significativa, i tres d’aquests estan relacionats amb la concepció que tenen sobre què és un problema de matemàtiques. Per tant, sembla que és en aquest aspecte on més influencia el fet de ser de l’etapa primària o secundària, matisat amb el fet de tenir experiència docent o no tenir-la.

L’altre ítem que hem col·locat en aquest conjunt és el que ens parla de la rellevància de la RP en les matemàtiques, però en aquest ítem la diferència no és tant primària - secundària o experiència docent - no experiència docent, sinó estudiant de professor de secundària versus tots els altres. Malgrat no deduir-se de les dades, una explicació podria ser que l’experiència docent del professor de secundària ha afectat les seves creences sobre la rellevància de la RP, o simplement que aquest mai l’ha considerada molt rellevant.

Creences Mostra A (Estudiants de Professor de Secundària) versus Mostra B (Professors de Secundària)

Les creences en les quals, segons els resultats obtinguts, la màxima divergència d’opinions es troba entre els individus de la mostra A i els individus de la mostra B (generalment A-D versus B-C), són les següents:

B. Creences sobre la naturalesa de l’activitat de resolució de problemes

2) Caràcter rutinari / creatiu de l’activitat matemàtica escolar: Des dels estudiants de professor de secundària, que es posicionen envers unes matemàtiques escolars creatives, fins als professors de secundària, que no es posicionen, hi ha una escala gairebé lineal de les mostres A – D – C – B.

C. Creences sobre el procés d’ensenyament-aprenentatge de la resolució de problemes

1) Subsidiarietat de la RP a l’aprenentatge d’eines matemàtiques: Els estudiants de professor de secundària tendeixen a pensar aprendre coneixements de matemàtiques només ajuda a l’èxit en resolució de problemes, mentre que els professors de secundària tendeixen a pensar

-3 -2 -1 0 1 2 3

A C B D

A1

A B C D

A3

A B C D

A5

A B C D

B6

113 que el garanteix. Les mostres de primària es posicionen de forma menys clara, mostrant una lleu tendència a no creure que els coneixements garanteixin l’èxit en RP (tot i que els estudiants de professor de primària tenen opinions molt diferents entre ells).

4) Importància de la conversió dels problemes en no-problemes: En aquest cas, tot i tenir en els extrems les dues mostres de secundària, es creen clarament dos subgrups: els estudiants de professor de secundària i els professors de primària tenen, cada mostra, opinions divergents, però en mitjana no es posicionen al respecte; en canvi, els estudiants de professor de primària i els professors de secundària no divergeixen tant en les seves opinions i ambdós creuen que és important ensenyar mètodes-tipus de resolució de problemes.

Il·lustració 9. Creences A versus B

En aquestes tres creences-tipus, molt claus a l’hora de posar en pràctica la RP a classe (classes rutinàries/creatives, importància d’ensenyar coneixements matemàtics i mètodes-tipus de resolució de problemes), veiem que apareixen dues “aliances” aparentment estranyes: d’una banda, entre els estudiants de professor de secundària i els professors de primària, i de l’altra, entre els estudiants de professor de primària i els professors de secundària. En tots els casos, la primera parella té unes creences més afins a Schoenfeld, mentre que l’altra se n’allunya més. D’aquests resultats se’n poden fer moltes lectures diferents, però en totes el que queda clar és que, tant en primària com en secundària, l’experiència docent està relacionada amb les creences respecte al paper de la RP a la classe de matemàtiques.

Creences Mostra C (Estudiants de Professor de Primària) versus les altres mostres

En els següents dos ítems, hi ha una opinió força comú entre les mostres A, B i D, i en canvi la mostra C (estudiants de professor de primària) divergeix amb aquesta opinió:

A. Creences sobre l’objecte problema de matemàtiques

2) Presència de referents matemàtics identificables a l’enunciat: Mentre que la majoria de mostres pensen que la presència de referents matemàtics en l’enunciat que portin a identificar el problema com a “problema de matemàtiques” i dins de determinades tipologies no és un aspecte determinant, els estudiants de professor de primària no es posicionen gaire, però tendeixen a pensar que sí que ho és.

-3 -2 -1 0 1 2 3

A D C B

B2

A D C B

C1

A D C B

C4

114

B. Creences sobre la naturalesa de l’activitat de resolució de problemes

3) Contextualització matemàtica de l’activitat de RP: De forma anàloga a l’ítem anterior, mentre que les tres altres mostres creuen que el context educatiu (o la situació/moment on és proposada la tasca/problema) no sempre ha de determinar les tècniques o estratègies a utilitzar en la RP, els estudiants de professor de primària tendeixen a pensar que sí.

Il·lustració 10. Creences C versus les altres mostres

En aquests dos ítems es dóna el mateix esquema: mentre que les mostres A, B i D tenen creences properes al pensar matemàticament de Schoenfeld, la mostra C (estudiants de professor de primària) les té contràries. Tots dos ítems estan relacionats amb l’opinió (en aquest cas dels estudiants de professor de primària) que els problemes proposats a classe siguin fàcils de classificar en un tipus de problemes concrets i en un tema concret, per tal de facilitar les tècniques a utilitzar per resoldre el problema.

Visió global de les comparacions de les creences

Després d’aquesta anàlisi exhaustiva de les semblances i diferències entre les creences de les quatre mostres, podem donar la visió global que n’hem extret.

Entre les creences més comuns a les quatre mostres predominen les relatives a la naturalesa de l’activitat de resolució de problemes, tot i que no les més claus. Les creences sobre l’objecte problema de matemàtiques generalment depenen de l’etapa educativa, sent les mostres de secundària més afins al sistema de creences de Schoenfeld. En canvi, en les creences més relacionades amb el paper de la RP a l’aula, són els estudiants de professor de secundària juntament amb els professors de primària els que tenen unes creences més properes a pensar matemàticament, mentre que les altres dos mostres se n’allunyen. D’altra banda, constatem un allunyament de la mostra dels estudiants de professor de primària respecte les altres tres mostres en relació a la creença que aquests tenen en quant a la necessitat de que els problemes siguin fàcils de classificar per tal de facilitar la tria de tècniques de resolució.

5.2. Anàlisi qualitativa del qüestionari de creences

Després d’obtenir un estat general en relació a les creences de les quatre mostres mitjançant les preguntes del qüestionari de resposta tancada, volem fer una aproximació mixta quantitativa-qualitativa a les dades obtingudes per les preguntes de resposta oberta.

-3 -2 -1 0 1 2 3

B D A C

A2

A B D C

B3

115 Concretament, ens centrarem en la definició de problema que ens donen, i en els exemples que posen de problema i d’exercici.

En quant a la definició de problema, en general tothom està d’acord en que és una situació per a resoldre, però alguns individus donen diferents matisos en quant al tipus de situació i en quant a què cal aplicar per a resoldre-la. Respecte a la formulació de problemes i d’exercicis, ens centrarem en el contingut matemàtic d’aquests i en el tipus de context utilitzat. Segons aquests criteris, hem fet un estudi quantitatiu de les respostes de les quatre mostres que ha donat com a resultat:

Taula 45. Estudi de la definició de problema i la formulació de problemes i exercicis

Abans de començar l’anàlisi farem alguns comentaris per a entendre millor els resultats mostrats en la taula anterior. En tots els casos, la primera columna és la freqüència absoluta.

Cal tenir en compte, però, que en el cas de la formulació de problemes i exercicis a cada individu se li demanaven dos exemples de cada, per tant la freqüència es refereix al nombre d’activitats i no al nombre d’individus. La segona columna és el percentatge: en el cas de la definició de problema sobre el total de la mostra, en el cas de la formulació d’activitats sobre el nombre total d’activitats proposades, i no sobre el nombre d’activitats que s’haurien d’haver

116

proposat si tots els individus haguessin contestat. El percentatge de la mostra que ha formulat problemes / exercicis, el podem trobar en la fila formulació de problemes i formulació d’exercicis. A primer cop d’ull, podem observar que la participació ha estat molt alta (entre el 90 i el 100 %), a excepció de la mostra C (43,7 i 25 %), fet que cal tenir en compte quan s’interpreta l’anàlisi dels resultats (tot i així al ser la mostra la més nombrosa, el nombre absolut d’individus que han contestat no és tan baix en comparació).