L’ensemble des paires de polyn^ omes de Ore

Il est classique d’exprimer des identit´es entre deux suites en utilisant un op´erateur de r´ecurrence.

Exemple 4.25. Les suites de polyn^omes de Laguerre 𝐿⁽𝑛^𝛼) et 𝐿⁽𝑛^𝛼+1) v´erifient l’´egalit´e suivante [Nat10,http://dlmf.nist.gov/18.9.E13] :

𝐿⁽_𝑛^𝛼)=𝐿⁽_𝑛^𝛼+1)−𝐿⁽_𝑛^𝛼₋⁺₁¹⁾,

qui se traduit en terme d’op´erateurs en :

𝐿⁽_𝑛^𝛼₊⁾₁ = (𝑆_𝑛−1) ⋅𝐿⁽_𝑛^𝛼+1).

Exemple 4.26. Les suites des polyn^omes de Jacobi 𝑃𝑛^(𝛼,𝛽) et𝑃𝑛^{(𝛼,𝛽+1)}v´erifient l’´egalit´e suivante [Nat10,http://dlmf.nist.gov/18.9.E5] :

(2𝑛+𝛼+𝛽+1)𝑃_𝑛^(𝛼,𝛽)= (𝑛+𝛼+𝛽+1)𝑃_𝑛^{(𝛼,𝛽+1)}+ (𝑛+𝛼)𝑃_𝑛^(𝛼,𝛽₋₁ ⁺¹⁾. qui se traduit en terme d’op´erateur en :

𝑃_𝑛^(𝛼,𝛽₊₁ ⁾ = (𝑛+𝛼+𝛽+2

2𝑛+𝛼+𝛽+3𝑆𝑛+ 𝑛+𝛼+1

2𝑛+𝛼+𝛽+3) ⋅𝑃_𝑛^{(𝛼,𝛽+1)}.

Ce qui est moins classique, c’est de repr´esenter une identit´e entre deux suites en s’aidant d’une paire d’op´erateurs de r´ecurrence.

Exemple 4.27. La suite de fonctions𝜓_𝑛(𝑥) =₂𝐹₁(^𝑛,2

1 ⋂︀𝑥)v´erifie :

𝑛𝜓_𝑛= ((2𝑛+1) − (𝑛−1)𝑥)𝜓_𝑛+1(𝑥) − (𝑛+1)(1−𝑥)𝜓_𝑛+2(𝑥). On en d´eduit la relation entre les suites𝜓𝑛 et𝑥𝜓𝑛 :

(−𝑛+ (2𝑛+1)𝑆_𝑛− (𝑛+1)𝑆_𝑛²) ⋅𝜓_𝑛(𝑥) = ((𝑛−1)𝑆_𝑛− (𝑛+1)𝑆_𝑛²) ⋅𝑥𝜓_𝑛(𝑥).

De m^eme, les suites de fonctions 𝜓_𝑛(𝑥) et𝜓^′_𝑛(𝑥) v´erifient l’´egalit´e suivante : (𝑛−1)𝜓𝑛+1(𝑥) − (𝑛+1)𝜓𝑛+2(𝑥) =𝜓_𝑛^′(𝑥) −𝜓^′_𝑛+2(𝑥), qui se traduit en terme d’op´erateurs en :

((𝑛−1)𝑆_𝑛− (𝑛+1)𝑆_𝑛²) ⋅𝜓_𝑛(𝑥) = (1−𝑆_𝑛) ⋅𝜓_𝑛^′(𝑥). On d´efinit ces deux paires dans le module OreFieldde la fa¸con suivante :

> X_1 := [-n,(2*n+1),-n-1]: X_2 := [0, n-1, -n-1]:

> X := OreFrac(X_1, X_2);

𝑋 ∶= (︀−𝑛+ (2𝑛+1)Sn+ (−𝑛−1)Sn²,(𝑛+1)Sn+ (−𝑛−1)Sn²⌋︀

> Dx_1 := [0, n-1, -n-1]: Dx_2 := [1, -1]:

> Dx := OreFrac(Dx_1, Dx_2);

Dx ∶= (︀(𝑛−1)Sn+ (−𝑛−1)Sn²,1−Sn⌋︀

Cet exemple utilise deux paires d’op´erateurs. C’est l’ensemble de ces paires qui est

´etudi´e dans cette section et permettra par la suite de construire le corps des fractions de polyn^omes de Ore. On peut d´efinir sur cet ensemble deux lois internes, une loi d’addition et une loi de multiplication.

Les lois d’addition et de multiplication entre paires reposent sur le lclm entre deux op´erateurs et notamment sur les cofacteurs du lclm. On reprend la notation d’un cofacteur d´efinit par l’´equation (4.7) page60.

2. FRACTIONS DE POLYN ^OMES DE ORE 69

D´efinition 4.28. L’addition entre deux paires d’op´erateurs est d´efinie par :

(𝐴₁, 𝐴₂) + (𝐵₁, 𝐵₂) = ((𝐵₂)^𝐴2𝐴₁+ (𝐴₂)^𝐵2𝐵₁,lclm(𝐴₂, 𝐵₂)). (4.14) Elle est calcul´ee par l’algorithme4.5.

Entr´ee: deux paires (𝐴1, 𝐴2) et(𝐵1, 𝐵2) Sortie: (𝐴1, 𝐴2) + (𝐵1, 𝐵2)

Calculer (𝐴₂)^𝐵2 et (𝐵₂)^𝐴2 tel que lclm(𝐴₂, 𝐵₂) = (𝐴₂)^𝐵2𝐵₂ = (𝐵₂)^𝐴2𝐴₂ en utilisant l’algorithme4.3

renvoyer ((𝐵2)^𝐴2𝐴1+ (𝐴2)^𝐵2𝐵1,(𝐴2)^𝐵2𝐵2)

Algorithme 4.5: Addition de deux paires d’op´erateurs La proposition suivante interpr`ete cette addition sur des suites.

Proposition 4.29. Si les suites𝑢 et𝑣 sont li´ees par𝐴1⋅𝑢=𝐴2⋅𝑣 et les suites𝑢 et𝑤sont li´ees par𝐵₁⋅𝑢=𝐵₂⋅𝑤o`u(𝐴₁, 𝐴₂) et(𝐵₁, 𝐵₂) sont deux paires d’op´erateurs de r´ecurrence, alors les suites 𝑢 et 𝑣+𝑤 sont li´ees par la relation :

𝐶₁⋅𝑢=𝐶₂⋅ (𝑣+𝑤), o`u(𝐶1, 𝐶2) = (𝐴1, 𝐴2) + (𝐵1, 𝐵2).

Cette proposition g´en´eralise la remarque 4.16 page 62 sur l’addition de deux suites lorsque celles-ci sont annul´ees par des op´erateurs. En effet si 𝐴₂⋅𝑣 =0 et 𝐵₂⋅𝑤=0, le second ´el´ement 𝐶₂ de la paire(1, 𝐴₂) + (1, 𝐵₂) permet de retrouver l’´egalit´e :

𝐶2⋅ (𝑣+𝑤) =0. D´emonstration. L’´equation (4.14) entra^ıne :

𝐶1⋅𝑢= (𝐵2)^𝐴2𝐴1⋅𝑢+ (𝐴2)^𝐵2𝐵1⋅𝑢.

Comme𝐴₁⋅𝑢=𝐴₂⋅𝑣 et𝐵₁⋅𝑢=𝐵₂⋅𝑣, le membre droit de cette ´equation se r´e´ecrit : lclm(𝐴₂, 𝐵₂) ⋅𝑣+lclm(𝐴₂, 𝐵₂) ⋅𝑤.

D’apr`es (4.14) encore, il s’agit de𝐶₂⋅ (𝑣+𝑤).

Exemple 4.30. L’addition est surcharg´ee dans le package OreField. En reprenant les notations de l’exemple4.27, voici comment ´etablir une relation entre les fonctions𝜓𝑛(𝑥) et𝑥𝜓_𝑛(𝑥) +𝜓^′_𝑛(𝑥) en utilisant la propri´et´e d’addition de deux paires.

> X+Dx;

(︀−𝑛+ (3𝑛+2)Sn+ (−4𝑛−4+𝑛²)Sn²− (𝑛+2(2𝑛−1)Sn³) + (𝑛+3) (𝑛+2)Sn⁴, (𝑛−1)Sn+ (−2𝑛−1)Sn²+ (𝑛+2)Sn³⌋︀

D´efinition 4.31. La multiplication de deux paires est d´efinie par :

(𝐵₁, 𝐵₂) (𝐴₁, 𝐴₂) = ((𝐵₁)^𝐴2𝐴₁,(𝐴₂)^𝐵1𝐵₂). (4.15) Elle est calcul´ee par l’algorithme suivant 4.6.

Entr´ee: deux paires (𝐴₁, 𝐴₂) et(𝐵₁, 𝐵₂) Sortie: (𝐵1, 𝐵2)(𝐴1, 𝐴2)

Calculer (𝐴2)^𝐵1 et (𝐵1)^𝐴2 tel que lclm(𝐴2, 𝐵1) = (𝐴2)^𝐵1𝐵1 = (𝐵1)^𝐴2𝐴2 en utilisant l’algorithme4.3

renvoyer ((𝐵1)^𝐴2𝐴1,(𝐴2)^𝐵2𝐵2)

Algorithme 4.6:Multiplication de deux paires d’op´erateurs La multiplication est surcharg´ee dans le package OreField.

De cette d´efinition, on d´eduit la proposition suivante :

Proposition 4.32. Soient deux paires d’op´erateurs de r´ecurrence (𝐴1, 𝐴2) et (𝐵1, 𝐵2), et soient trois suites 𝑢, 𝑣 et 𝑤 telles que 𝐴1⋅𝑢=𝐴2⋅𝑣 et 𝐵1⋅𝑣=𝐵2⋅𝑤. Les suites 𝑢 et𝑤 sont reli´ees par l’´egalit´e suivante :

𝐶₁⋅𝑢=𝐶₂⋅𝑤, o`u (𝐶1, 𝐶2) = (𝐵1, 𝐵2)(𝐴1, 𝐴2).

Si les seconds ´el´ements des paires sont ´egaux `a 1, on retrouve le r´esultat connu de composition d’op´erateurs. C’est-`a-dire si𝐴⋅𝑢=𝑣 et𝐵⋅𝑣=𝑤, on a :

𝐵𝐴⋅𝑢=𝑤.

D´emonstration. Par la d´efinition de la multiplication de paires, on a : 𝐶₁⋅𝑢= (𝐵₁)^𝐴2𝐴₁⋅𝑢 et 𝐶₂⋅𝑤= (𝐴₂)^𝐵1𝐵₂⋅𝑤.

Comme𝐴₁⋅𝑢=𝐴₂⋅𝑣 et𝐵₁⋅𝑣=𝐵₂⋅𝑤, les membres droits se r´e´ecrivent en : 𝐶₁⋅𝑢= (𝐵₁)^𝐴2𝐴₂⋅𝑣 et 𝐶₂⋅𝑤= (𝐴₂)^𝐵1𝐵₁⋅𝑣.

Revenant `a la d´efinition des cofacteurs, on a

(𝐵₁)^𝐴2𝐴₂= (𝐴₂)^𝐵1𝐵₁, ce qui permet de conclure.

2. FRACTIONS DE POLYN ^OMES DE ORE 71

Remarque 4.33. Tout ´el´ement𝜆deK´etant identifi´e `a la paire(𝜆,1), la multiplication ou l’addition d’une paire par un scalaire s’en d´eduit imm´ediatement. Le code Maple suivant montre comment on peut effectuer l’addition ou la multiplication d’une paire avec la constante 3.

> OreFrac([1], [1,n])+3;

(︀4+3𝑛Sn,1+𝑛Sn⌋︀

> 3*OreFrac([1], [1,n]);

(︀3,1+𝑛Sn⌋︀

Exemple 4.34. Les polyn^omes de Tchebychev𝑇𝑛(𝑥) satisfont les deux ´egalit´es classiques suivantes [AS64, Chapitre 22] :

𝑇𝑛+1(𝑥) −2𝑥𝑇𝑛(𝑥) +𝑇𝑛−1(𝑥) =0, (4.16) et 2(1−𝑥²)𝑇_𝑛^′(𝑥) = −𝑛𝑇_𝑛+1(𝑥) +𝑛𝑇_𝑛−1(𝑥). (4.17) Une ´egalit´e moins classique satisfaite par ces polyn^omes est la suivante :

𝑇𝑛(𝑥) = 1 2(𝑇_𝑛^′₊₁

𝑛+1− 𝑇_𝑛^′₋₁

𝑛−1). (4.18)

En utilisant les propositions 4.29 et4.32 et le packageOreField, il est facile de d´eduire la troisi`eme ´egalit´e des deux premi`eres.

L’´equation (4.16) donne la relation :

(1+𝑆_𝑛²) ⋅𝑇𝑛=2𝑆𝑛⋅𝑥𝑇𝑛, qui fournit la paire𝑋.

> X := OreFrac([1,0,1],[0,2]);

𝑋 ∶= (︀1+Sn²,2Sn⌋︀

De la m^eme fa¸con l’´equation (4.17) donne la relation :

2𝑆𝑛⋅𝑇𝑛= ((𝑛+1) − (𝑛+1)𝑆_𝑛²) ⋅ (1−𝑥²)𝑇_𝑛^′, qui fournit la paire𝑋𝐷𝑥 qui repr´esente l’op´erateur(1−𝑥²)𝜕_𝑥 :

> XDx := OreFrac([n+1,0, -n-1],[0,2]);

XDx ∶= (︀𝑛+1+ (−𝑛−1)Sn²,2Sn⌋︀

En utilisant les propri´et´es d’addition et de multiplication, l’op´eration𝑋𝐷𝑥(1−𝑋²)⁻¹ permet de retrouver la paire d’op´erateurs associ´ee `a l’op´erateur de d´erivation que l’on a gr^ace `a l’´equation (4.18).

> XDx.(1-X^2)^(-1);

(︀−2(𝑛+1) (𝑛+3)Sn²,(𝑛+3)Sn+ (−𝑛−1)Sn³⌋︀

L’op´eration(1-X)^2^(-1)consiste juste `a ´echanger le num´erateur avec le d´enominateur.

En multipliant chaque ´el´ement de la paire par𝑆_𝑛⁻², cette paire est bien la repr´esentante de l’´egalit´e ci-dessus que l’on peut d´efinir enMaplepar :

> Dx := OreFrac([0,-2*n*(n+2)],[n+2, 0, -n]);

Dx ∶= (︀−2𝑛(𝑛+2)Sn, 𝑛+2−𝑛Sn²⌋︀

`A ce stade, on n’a pas encore d´efini une fonction pour simplifier directement une fraction.

Celle-ci nous aurait ´evit´e de multiplier par𝑆_𝑛⁻² `a la main. On verra dans la suite qu’on aurait pu simplifier directement cette fraction par la proc´edurenormal.

Cet exemple illustre une propri´et´e int´eressante et fondamentale pour la suite de cette th`ese. Si on a une relation entre une famille de fonctions 𝑓_𝑛et la famille de ses d´eriv´ees 𝑓_𝑛^′ et une autre relation entre la famille 𝑓𝑛 et la famille𝑥𝑓𝑛, pour tout op´erateur diff´erentiel 𝐿on sait calculer, gr^ace aux op´erations d’addition et de multiplication, une relation entre la famille𝑓_𝑛 et la famille 𝐿⋅𝑓_𝑛. Cette propri´et´e sera d´evelopp´ee dans le chapitre 8

Exemple 4.35. Les polyn^omes de Tchebychev sont solutions de l’´equation diff´erentielle : (1−𝑥²)𝑇_𝑛^′′−𝑥𝑇_𝑛^′+𝑛²𝑇𝑛(𝑥) =0.

On peut retrouver cette ´egalit´e `a partir de la d´efinition de𝑋 et 𝐷𝑥vue dans l’exemple pr´ec´edent en utilisantMaplede la fa¸con suivante :

> (Dx^2).(1-X^2)-Dx.X+OreFrac([n^2],[1]);

(︀0, 𝑛²+7𝑛+12−2𝑛(𝑛+4)Sn²+𝑛(𝑛+1)Sn⁴⌋︀

En utilisant les propositions4.29 et4.32, on sait que le premier ´el´ement de cette paire appliqu´e `a 𝑇<sub>𝑛</sub> est ´egal au second appliqu´e `a 𝐿⋅𝑇_𝑛. On d´eduit de cette constatation la relation suivante :

(𝑛²+7𝑛+12−2𝑛(𝑛+4)Sn²+𝑛(𝑛+1)Sn⁴) ⋅ (𝐿⋅𝑇_𝑛(𝑥)) =0, (4.19) avec𝐿∶= (1−𝑥²)𝜕_𝑥²−𝑥𝜕_𝑥+𝑛². Les polyn^omes de Tchebychev forment une suite de polyn^omes de degr´e en𝑥 strictement croissant par rapport `a l’indice𝑛. La famille 𝐿⋅𝑇<sub>𝑛</sub>(𝑥) est donc une famille de polyn^omes nuls ou de degr´e strictement croissant par rapport `a l’indice𝑛 quand celui-ci est plus grand qu’un certain entier. On en d´eduit que si la suite 𝐿⋅𝑇_𝑛(𝑥) est non nulle, celle-ci ne peut ^etre annul´ee par un op´erateur de r´ecurrence `a coefficients des fractions rationnelles en l’ind´etermin´e𝑛. L’´equation (4.19) implique donc que𝐿⋅𝑇𝑛(𝑥) =0.

La proposition suivante donne des propri´et´es importantes sur les lois d’addition et de multiplication entre paires de polyn^omes de Ore.

Proposition 4.36. L’addition de deux paires de polyn^omes de Ore est une op´eration associative et commutative. La multiplication de deux paires de polyn^omes de Ore est une op´eration associative et distributive `a gauche par rapport `a l’addition.

2. FRACTIONS DE POLYN ^OMES DE ORE 73

Preuve de la proposition 4.36. La propri´et´e (4.8) donne l’associativit´e de l’addition, en effet si on effectue l’addition de la fa¸con suivante, on obtient :

(𝐴1, 𝐴2) + ((𝐵1, 𝐵2) + (𝐶1, 𝐶2)) = (𝐴1, 𝐴2) + ((𝐵2)^𝐶2𝐶1+ (𝐶2)^𝐵2𝐵1,lclm(𝐵2, 𝐶2)), qui donne avec (4.8) :

((lclm(𝐵2, 𝐶2))^𝐴2𝐴1+ (𝐴2)^{lclm(𝐵2,𝐶2)}((𝐵2)^𝐶2𝐶1+ (𝐶2)^𝐵2𝐵1),lclm(𝐴2, 𝐵2, 𝐶2)). En utilisant l’´egalit´e (4.9) page60, on a :

(𝐴2)^{lclm(𝐵2,𝐶2)}= (𝐴2)^(𝐵2)

𝐶2𝐶2

= ((𝐴2)^𝐶2)

(𝐵2)^𝐶2

. On a donc :

(𝐴2)^{lclm(𝐵2,𝐶2)}(𝐵2)^𝐶2 = ((𝐴2)^𝐶2)

(𝐵2)^𝐶2

(𝐵2)^𝐶2 =lclm((𝐴2)^𝐶2,(𝐵2)^𝐶2) = (lclm(𝐴2, 𝐵2))^𝐶2. De la m^eme fa¸con on a :

(𝐴2)^{lclm(𝐵2,𝐶2)}(𝐵2)^𝐶2 = (lclm(𝐴2, 𝐶2))^𝐵2, et donc

(𝐴₁, 𝐴₂)+ ((𝐵₁, 𝐵₂) + (𝐶₁, 𝐶₂)) =

((lclm(𝐵2, 𝐶2))^𝐴2𝐴1+ (lclm(𝐴2, 𝐶2))^𝐵2𝐵1+ (lclm(𝐴2, 𝐵2))^𝐶2𝐶1,lclm(𝐴2, 𝐵2, 𝐶2)). Avec les m^emes arguments, on obtient la m^eme paire quand on effectue les additions ((𝐴1, 𝐴2) + (𝐵1, 𝐵2)) + (𝐶1, 𝐶2) et((𝐴1, 𝐴2) + (𝐶1, 𝐶2)) + (𝐵1, 𝐵2).

L’associativit´e de la multiplication est moins ´evidente. Elle repose sur le lemme4.12 page60 : Pour d´emontrer l’associativit´e, on effectue dans un premier temps le produit :

(𝐶₁, 𝐶₂)((𝐵₁, 𝐵₂)(𝐴₁, 𝐴₂)).

On multiplie donc d’abord (𝐵₁, 𝐵₂) par (𝐴₁, 𝐴₂), on obtient en utilisant la r`egle de multiplication (4.15) :

(𝐵₁, 𝐵₂)(𝐴₁, 𝐴₂) = ((𝐵₁)^𝐴2𝐴₁,(𝐴₂)^𝐵1𝐵₂).

Toujours en utilisant la m^eme r`egle, on multiplie cette paire `a droite avec(𝐶₁, 𝐶₂) : (𝐶1, 𝐶2) ((𝐵1, 𝐵2)(𝐴1, 𝐴2)) = ((𝐶1)^((𝐴2)

𝐵1𝐵2)(𝐵1)^𝐴2𝐴1, ((𝐴2)^𝐵1𝐵2)

𝐶1

𝐶2).

On effectue dans un second temps le produit ((𝐶1, 𝐶2)(𝐵1, 𝐵2))(𝐴1, 𝐴2). En utilisant encore les r`egles de multiplication, on obtient :

((𝐶₁, 𝐶₂)(𝐵₁, 𝐵₂)) (𝐴₁, 𝐴₂) = (((𝐶₁)^𝐵2𝐵₁)

𝐴2

𝐴₁, (𝐴₂)^(𝐶1)

𝐵2𝐵1(𝐵₂)^𝐶1𝐶₂).

Il reste donc maintenant `a montrer que les deux paires sont ´egales. Pour commencer, l’´equation (4.9) page60 nous donne l’´egalit´e :

(𝐶₁)^(𝐴2)

𝐵1𝐵2 = ((𝐶₁)^𝐵2)

(𝐴2)^𝐵1

. En utilisant cette ´egalit´e et l’´equation (4.9) page60, on a :

(𝐶1)^(𝐴2)

En multipliant cette ´equation par l’op´erateur𝐴1 `a droite, on retrouve les premiers ´el´ements des deux paires. En ´echangeant les polyn^omes𝐴<sub>2</sub> avec𝐶<sub>1</sub>,𝐵<sub>1</sub> avec𝐵<sub>2</sub> et 𝐶<sub>2</sub> avec𝐴<sub>1</sub>, on se retrouve avec les m^emes ´egalit´es `a d´emontrer. On peut donc conclure sur l’associativit´e de la multiplication.

Il reste `a montrer que la multiplication est distributive `a gauche par rapport `a l’addition.

Pour toutes paires (𝐴1, 𝐴2),(𝐵1, 𝐵2) et(𝐶1, 𝐶2) on a d’une part

(𝐴₁, 𝐴₂) ((𝐵₁, 𝐵₂) + (𝐶₁, 𝐶₂)) =(𝐴₁, 𝐴₂) ((𝐶₂)^𝐵2𝐵₁+ (𝐵₂)^𝐶2𝐶₁, lclm(𝐵₂, 𝐶₂))

= ((𝐴₁)^{lclm(𝐵2,𝐶2)}((𝐶₂)^𝐵2𝐵₁+ (𝐵₂)^𝐶2𝐶₂), (lclm(𝐵₂, 𝐶₂))^𝐴1𝐴₂), (4.20) et d’autre part, en utilisant le lemme4.13,

(𝐴₁, 𝐴₂)(𝐵₁, 𝐵₂) + (𝐴₁, 𝐴₂)(𝐶₁, 𝐶₂) = ((𝐴₁)^𝐵2𝐵₁, (𝐵₂)^𝐴1𝐴₂) + ((𝐴₁)^𝐶2𝐶₁,(𝐶₂)^𝐴1𝐴₂)

Le lemme 4.13 page 61 permet de simplifier cette expression en supprimant les 𝐴₂ du premier ´el´ement de cette paire

On remarque qu’en utilisant l’´equation (4.9) page 60, le premier ´el´ement de la paire pr´ec´edente devient : En utilisant `a nouveau l’´equation (4.9), cet op´erateur est ´egal `a :

((𝐴1)^𝐶2)

2. FRACTIONS DE POLYN ^OMES DE ORE 75

On obtient bien de cette fa¸con l’´egalit´e voulue.

L’´egalit´e des seconds ´el´ements des deux paires est une cons´equence imm´ediate du lemme 4.14 page61.

Il existe un ´el´ement neutre pour l’addition qui est (0,1). Il n’y a pas d’inverse pour l’addition. En effet, l’oppos´e naturel(−𝐴₁, 𝐴₂) se somme avec (𝐴₁, 𝐴₂)en

(𝐴1, 𝐴2) + (−𝐴1, 𝐴2) = (0, 𝐴2) ≠ (0,1).

En outre, la multiplication n’est pas distributive `a droite sur l’addition : alors que ((𝐴₁, 𝐴₂) + (−𝐴₁, 𝐴₂)) (𝐵₁, 𝐵₂) = (0, 𝐴₂),

on a aussi

(𝐴1, 𝐴2)(𝐵1, 𝐵2) + (−𝐴1, 𝐴2)(𝐵1, 𝐵2) = (0,(𝐵2)^𝐴1𝐴2).

Malgr´e la pauvret´e de la structure de cet ensemble de paires, celles-ci sont utiles dans le chapitre 8afin de calculer des op´erateurs de r´ecurrence.

2.2 Corps des fractions d’op´erateurs

Dans le document Algorithmiquesemi-num´eriquerapidedess´eriesdeTchebychev AlexandreBenoit TH`ESE (Page 76-84)