Conversion transpos´ ee et composition

On observe queCtoM_nappliqu´e au vecteurℓ= (1, . . . , 𝑡^𝑛−1)donne les coefficients (en𝑥) du polyn^ome ∑^𝑛_𝑘=⁻₀^1′𝑇𝑘(𝑥)𝑡^𝑘. En effet, si on nomme 𝑇𝑖,𝑗 les coefficients tels que 𝑇𝑖(𝑥) =

∑^𝑖_𝑖=0𝑇_𝑖,𝑗𝑥^𝑗, l’applicationCtoM_n(ℓ)donne le vecteur (

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝑇_𝑖,0𝑡^𝑖, . . . ,

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝑇_{𝑖,𝑛−1}𝑡^𝑖).

Il vient tout de suite que l’image du vecteurℓ̃= (1, . . . , 𝑥^𝑛−1) par la conversion trans-pos´eeCtoM^t_nest le vecteur des coefficients en𝑡du m^eme polyn^ome. L’applicationCtoM^t_n(̃ℓ)

3. ALGORITHME DE BOSTAN-SALVY-SCHOST 37

donne D´efinissons la famille de fonctions𝐶𝑖 par :

∑

𝑘⩾0

′𝑇_𝑘(𝑥)𝑡^𝑘= ∑

𝑖⩾0

′𝐶_𝑖(𝑡)𝑥^𝑖. (3.7)

On obtient cette famille (unique) en d´eveloppant par rapport `a𝑥 la s´erie g´en´eratrice des polyn^omes de Tchebychev. Ainsi, par unicit´e des 𝐶_𝑖, la conversion transpos´ee CtoM^t_n est l’application lin´eaire :

(𝑓0, . . . , 𝑓𝑛−1) ∈K^𝑛↦𝑓0

2𝐶0(𝑡) +𝑓1𝐶1(𝑡)⋯ +𝑓𝑛−1𝐶𝑛−1(𝑡) mod𝑡^𝑛.

L’id´ee de base de la m´ethode pr´esent´ee dans [BSS10] est que si la s´erie g´en´eratrice des 𝐶_𝑖 est de la forme :

Cette ´egalit´e s’obtient en d´eveloppant par rapport `a 𝑥 les membres de l’´equation (3.8).

Partant de la s´erie g´en´eratrice des polyn^omes de Tchebychev (2.15) page21 et de la d´efinition des𝐶𝑖 (3.7), on observe que

𝑣(𝑡) = 1 2

1−𝑡²

1+𝑡² et ℎ(𝑡) = 2𝑡 1+𝑡²,

sont bien d´efinis pour l’´equation (3.8). On obtient alors la factorisation

CtoM^t_n=𝑚𝑢𝑙(⋅, 𝑣) ○eval(⋅, ℎ), (3.9)

L’algorithme calculant la conversion se d´eduit en transposant chaque op´eration. On obtient alors l’algorithme3.5.

La suite de cette section montre comment effectuer chaque ´etape efficacement.

Entr´ee: 𝑝∶= (𝑝0, 𝑝1, . . . , 𝑝𝑛) tels que𝑝𝑖∈K

Sortie: 𝑏∶= (𝑏₀, 𝑏₁, . . . , 𝑏𝑛) tels que ∑^′𝑝𝑖𝑇𝑖(𝑥) = ∑𝑏𝑖𝑥^𝑖

1: 𝑎∶=mul^𝑡(𝑝, 𝑣)

2: renvoyer 𝑏∶=eval^𝑡(𝑎, ℎ)

Algorithme 3.5: CtoM_n

3.2 Algorithmes rapides pour la composition avec ₁^2𝑡_+𝑡2

Avant de donner les algorithmes transpos´es, il est n´ecessaire de pr´esenter les algorithmes directs.

Toujours dans l’article [BSS08], une m´ethode permettant de calculer rapidement cer-taines compositions de polyn^omes par des s´eries est expliqu´ee. La composition d’un polyn^ome quelconque par la s´erie ℎ= ^2𝑡

1+𝑡² en est un cas particulier.

Le principe fondamental de cette m´ethode est d’isoler la variable𝑥 dans l’´ecriture de la s´erie g´en´eratriceℎ. Pour ℎ par exemple, l’isolation de la variable se ram`ene `a l’´ecriture suivante :

ℎ(𝑥) = 2𝑥 1+𝑥² =

}︂

1− ( 2

1+𝑥² −1)

2

. (3.10)

Pour l’algorithme 3.3, Pan avait d´ej`a utilis´e cette id´ee d’isolation de la variable quand il a ´ecrit la fraction ^𝑎𝑥_𝑐𝑥+⁺_𝑑^𝑏 comme ^𝑎_𝑐(1+ ^{𝑏𝑐−𝑑𝑎}

𝑑𝑎(^𝑐𝑑𝑥+1)). En fait Bostan et coauteurs proposent une g´en´eralisation de l’algorithme de Pan qui ´etait lui m^eme une g´en´eralisation de l’algorithme de d´ecalage.

Par l’´equation (3.10), le calcul de l’applicationeval(⋅, ℎ)se ram`ene aux calculs d’applica-tionssimplesde compositions par(𝑎𝑥+𝑏), par _𝑥¹, par𝑥² ou encore par⌋︂

𝑥. L’algorithme3.6 effectue ce calcul en n’utilisant que ces compositions.

Proposition 3.6. Soit 𝑝 un polyn^ome de degr´e 𝑛−1, l’algorithme 3.6permet de calculer 𝑝( ^2𝑥

1+𝑥²)en 4M(𝑛) +4M(^𝑛

2) + 𝒪(𝑛) op´erations arithm´etiques.

Remarque 3.7. La fonction M(𝑛) est au mieux lin´eaire : 2M(^𝑛

2) ⩽M(𝑛). La complexit´e est donc major´ee par 6M(𝑛) + 𝒪(𝑛) op´erations arithm´etiques.

Pour d´emontrer cette proposition, on a besoin du lemme suivant, qui affirme que la multiplication d’une s´erie par une fraction rationnelle peut s’effectuer en temps lin´eaire.

M^eme si ce r´esultat para^ıt simple, je ne l’ai pas trouv´e dans la litt´erature.

Lemme 3.8. Si 𝑓 ∈K(𝑥) a un num´erateur et un d´enominateur de degr´e𝒪(1) et n’a pas de p^ole en 0, alors pour toute s´erie formelle 𝑔 `a coefficients dans K, la s´erie tronqu´ee𝑓 𝑔 mod𝑥^𝑛 peut se calculer en𝒪(𝑛) op´erations arithm´etiques.

D´emonstration. On d´efinit d’abord les polyn^omes 𝑎et𝑏de degr´e constant tels que 𝑓 = ^𝑎_𝑏. En utilisant un algorithme na¨ıf, c’est-`a-dire en multipliant terme `a terme, le produit tronqu´e𝑔(𝑥)𝑎(𝑥) mod𝑥^𝑛 se r´ealise en𝒪(𝑛)op´erations arithm´etiques, cette complexit´e s’explique par le degr´e constant de𝑎.

3. ALGORITHME DE BOSTAN-SALVY-SCHOST 39

Entr´ee: 𝑝(𝑥) ∈K(︀𝑥⌋︀ avec deg(𝑝, 𝑥) <𝑛, Sortie: 𝑝( ^2𝑥

1+𝑥²) mod 𝑥^𝑛

1: Calculer 𝑝_1,0 et𝑝_1,1 tel que𝑝(𝑥) =𝑝_1,0(𝑥²) +𝑥𝑝_1,1(𝑥²)

2: pour𝑖∈ {0,1} faire

3: 𝑑𝑖∶=deg(𝑝1,𝑖(𝑥), 𝑥)

4: 𝑝_2,𝑖(𝑥) ∶=𝑝_1,𝑖(1−𝑥)

5: 𝑝3,𝑖(𝑥) ∶=𝑝2,𝑖(𝑥²)

6: 𝑝4,𝑖(𝑥) ∶=𝑝3,𝑖(−2𝑥+1)

7: 𝑝_5,𝑖(𝑥) ∶=p4,𝑖(¹

𝑥)𝑥^2𝑑𝑖

8: 𝑝6,𝑖(𝑥) ∶=𝑝5,𝑖(1+𝑥)

9: 𝑝7,𝑖(𝑥) ∶= (1+𝑥)^−2𝑑𝑖𝑝6,𝑖(𝑥) mod𝑥^𝑑𝑖

10: 𝑝_8,𝑖(𝑥) ∶=𝑝_7,𝑖(𝑥²)

11: fin pour

12: renvoyer 𝑝8,0(𝑥) + ^2𝑥

1+𝑥²𝑝8,1(𝑥) mod𝑥^𝑛

Algorithme 3.6: eval(⋅,₁₊^2𝑡_𝑡2)

Commeℎ=𝑓 𝑔, alors𝑏ℎ=𝑎𝑔. L’extraction du coefficient𝑥^𝑖 donne donc une r´ecurrence lin´eaire inhomog`ene d’ordre le degr´e de 𝑏. En effet, en notantℎ_𝑖 et𝑏_𝑖 les coefficients de ℎ et𝑏. Le produit ℎ𝑏 donne

ℎ𝑏=

𝑛−1

∑

𝑖 𝑖

∑

𝑟=𝑖−deg(𝑏)

ℎ_𝑟𝑏_𝑖−𝑟𝑥^𝑖.

`A partir de cette r´ecurrence, le calcul desℎ𝑖s’effectue en𝒪(𝑛)op´erations arithm´etiques.

D´emonstration de la proposition 3.6. La correction de l’algorithme se d´eduit de l’´ecriture dans l’´equation (3.10) de la fonction ℎ. En effet, les compositions successives de cet algorithme assurent que le polyn^ome retourn´e est bien

𝑝⎛

⎝ }︂

1− ( 2

1+𝑥² −1)

2⎞

⎠ mod𝑥^𝑛=𝑝( 2𝑥

1+𝑥²) mod 𝑥^𝑛.

Il reste `a donner le co^ut de chaque op´eration. Beaucoup de ces op´erations se calculent en temps lin´eaire. C’est le cas des ´etapes 1, 5, 7 et 10 qui ne sont que des r´e´ecritures directes des coefficients. La multiplication effectu´ee `a l’´etape12s’effectue aussi en un temps lin´eaire. Cette propri´et´e est donn´ee par le lemme 3.8. Les op´erations non ´el´ementaires sont les d´ecalages effectu´es aux lignes 4,6 et 8et la multiplication `a la ligne 4. L’algorithme3.2 permet de calculer le polyn^ome d´ecal´e d’un polyn^ome de degr´e plus petit que 𝑛 enM(𝑛) op´erations arithm´etiques. `A la ligne4, ces d´ecalages sont effectu´es sur des polyn^omes de degr´e au plus ^𝑛₂ et les autres ´etapes d´ecalent des polyn^omes de degr´e au plus 𝑛, on obtient donc une complexit´e de 4M(𝑛) +2M(^𝑛

2)op´erations arithm´etiques pour effectuer l’ensemble de ces op´erations.

Entr´ee: 𝑝(𝑥) ∈K(︀𝑥⌋︀de degr´e au plus 𝑛−1 Sortie: eval^𝑡(𝑝, ℎ)

1: Calculer𝑝_7,0 et𝑝^∗_7,1 tels que𝑝(𝑥) =𝑝_7,0(𝑥²) +𝑥𝑝^∗_7,1(𝑥²)

2: 𝑑0∶=degr´ee(𝑝7,0, 𝑥) et𝑑1 ∶=degr´ee(𝑝^∗_7,1, 𝑥)

3: 𝑝_7,1(𝑥) ∶=mul^𝑡(𝑝^∗_7,1,₍₁₊²_𝑥), 𝑑₁)

4: pour𝑖∈ {0,1} faire

5: 𝑝_6,𝑖(𝑥) ∶=mul^𝑡(𝑝_7,𝑖,(1+𝑥)^2𝑑𝑖)

6: 𝑝_5,𝑖(𝑥) ∶=shift^𝑡(𝑝_6,𝑖(𝑥) + ∑^𝑛_𝑖=⁻_𝑑¹

𝑖+10𝑥^𝑖)

7: 𝑝4,𝑖(𝑥) ∶=𝑥^𝑛−1𝑝5,𝑖(¹

𝑥)

8: 𝑝3,𝑖(𝑥) ∶=shift^𝑡(𝑝4,𝑖(−2𝑥))

9: 𝑝_2,𝑖(𝑥) ∶=¹₂(𝑝_3,𝑖(𝑥) +𝑝_3,𝑖(−𝑥))

10: 𝑝1,𝑖(𝑥²) ∶=shift^𝑡(𝑝2,𝑖(−𝑥))

11: fin pour

12: renvoyer 𝑝_1,0(𝑥²) +𝑥𝑝_1,1(𝑥²)

Algorithme 3.7: eval^𝑡(⋅,₁₊^2𝑡_𝑡2)

Il ne reste plus qu’`a expliciter le co^ut des op´erations r´ealis´ees `a la ligne9. Les coefficients du d´eveloppement en s´erie de la fonction (1+𝑥²)^−𝑑 v´erifient la r´ecurrence :

(2𝑑+𝑛)𝑢_𝑛+ (𝑛+2)𝑢_𝑛+2=0,

avec les conditions initiales 𝑢0=1 et𝑢1=0. Calculer les 𝑛⇑2 premiers coefficients s’effectue en𝒪(𝑛) op´erations arithm´etiques en d´eroulant cette r´ecurrence. Le co^ut de l’´etape9 n’est donc que le co^ut de la multiplication entre deux polyn^omes de degr´e aux plus ^𝑛₂. On r´ealise deux fois cette ´etape, la complexit´e est donc de 2M(^𝑛

2)op´erations.

On retrouve alors la complexit´e de 4M(𝑛) +4M(^𝑛₂) op´erations arithm´etiques annonc´ee.

Dans le document Algorithmiquesemi-num´eriquerapidedess´eriesdeTchebychev AlexandreBenoit TH`ESE (Page 45-49)