On va s’int´eresser ici `a l’´energie potentielle et `a son lien avec la force. En plus de son importance en pra-tique, on va utiliser ce concept pour (re)voir des notions math´ematiques importantes pour la suite : d´eriv´ees, dif-f´erentielles,. . .
II.. L’´energie potentielle
1) Probl` eme ` a une dimension
On consid`ere un objet se d´epla¸cant le long d’une droite (on d´ecrit sa position par une coordonn´eex), soumis `a une forceF(x). On va d´efinir l’´energie potentielle par la r`egle suivante :
Lorsqu’un objet se trouve enx, et qu’on le d´eplace dedx(dxest tr`es petit, infinit´esimal), l’´energie po-tentielle varie de :
dEp=−F(x)dx (∗)
x x+dx Ep+dEp
Ep
x
♥
Plusieurs questions doivent vous venir en voyant cette d´efinition :
– Quel est le sens de cette expression ?
– Que signifie “dxpetit, infinit´esimal” pour un physi-cien ?
– comment d´eterminer la variation d’´energie poten-tielle lorsqu’on d´eplace l’objet de fa¸con appr´eciable (pas infinit´esimale) ?
– Pourquoi choisis-t’on cette d´efinition (et pas une autre) ?
On va r´epondre `a ces questions s´equentiellement.
Que signifie l’expression (∗) ? D’abord que quand on se d´eplace tr`es peu, l’´energie varie lin´eairement avec le d´e-placement, c’est `a dire qu’on peut approximer notre ´ener-gie potentielle par une droite au voisinage d’un point.
Est-ce raisonnable ?
Ouvrons une parenth`ese Graphiquement :
x Ep
Dans l’intervalle mis en ´evidence sur le diagramme, il est raisonnable d’approximer notre ´energie potentielle par la droite tangente `a la courbe au pointx.
Num´eriquement :
Prenons un exemple, la fonction sin(x) autour dex= 1 :
x sin(x)
1,000 0,84147098. . . 1,001 0,84201087. . . 1,002 0,84254991. . . 1,003 0,84308810. . .
Calculons maintenant la diff´erence entre deux valeurs cons´ecutives :
x sin(x+ 0,001)−sin(x) 1,000 5,3988. . . 10−4 1,001 5,3904. . . 10−4 1,002 5,3820. . . 10−4
On remarque que les valeurs sont tr`es proches, ce qui signifie que la fonction sin(x) est presque lin´eaire au voi-sinage dex= 1.
On peut ´ecrire :
sin(1 +dx)−sin(1)≃0,539 dx (†) o`u ≃ signifie “`a peu pr`es ´egal `a”. En fait, on peut es-timer l’erreur commise en approximant la fonction par une droite. En effet l’´ecart `a la lin´earit´e est de l’ordre de 10−6, c’est `a dire de l’ordre dedx2.2
Quelle est la signification du 0,539. . . que l’on a d´e-termin´e num´eriquement ? C’est (`a peu pr`es) le coefficient directeur de la tangente, c’est `a dire la d´eriv´ee de la fonc-tion sin(x) enx= 1. V´erification :
sin′(1) = cos(1) = 0,54030231
Exp´erimentalement, on a d´etermin´e la d´eriv´ee de la fonc-tion avec une pr´ecision de 10−3, c’est `a dire de l’ordre de dx(voir la note en bas de page2)
Que se passe-t’il si l’on prend un dx de plus en plus petit ?
– L’´ecart `a la lin´earit´e (qui se comporte commedx2) tend tr`es vite vers z´ero→ la fonction se comporte strictement comme une droite quanddx→0 – Le coefficient de proportionnalit´e que l’on d´etermine
“exp´erimentalement” (voir l’´equation (†)), qui dif-f`ere de la d´eriv´ee enx= 1 d’une quantit´e de l’ordre dedx, tend vers la d´eriv´ee quanddx→0.
On peut donc ´ecrire :
df =f′(x)dx
qui devient une ´egalit´e stricte (pas approch´ee) quand dx est infinit´esimal (aussi petit que vous voulez). On appelle cette relation une forme diff´erentielle, ou plus simplement une diff´erentielle, ou si il y a un doute la diff´erentielle def.
2. Je vous encourage `a v´erifier que l’erreur est de l’ordre dedx2 en recommen¸cant l’exp´erience avec undxplus petit (par exemple remplacez les 0,001 par des 0,0001) et en observant ce qui change.
Chapitre 3. ´Energie, travail, chaleur, premier principe
Remarque conceptuelle profonde : la physique est une science exp´erimentale. On ne peut donc jamais contrˆo-ler une quantit´e avec une pr´ecision arbitrairement. Pour nous physiciens, l’op´eration de prise de limitedx→0 est abstraite puisqu’elle ne peut jamais ˆetre mise en œuvre
en pratique3. Donc pour nous, dx est petit (pas forc´e-ment infinit´esimal), et suffisamforc´e-ment petit pour que l’er-reur induite par sa finitude soir ind´etectable exp´erimen-talement. Ceci r´epond `a la deuxi`eme question qu’on se posait tout `a l’heure. Si on franchit le pas de prendre undxinfinit´esimal, c’est pour pouvoir faire le lien avec les math´ematiques, et utiliser le puissant formalisme des d´eriv´ees.
Remarque moins subtile : Si on utilise la notation f′(x) = df
dx la diff´erentielle s’´ecrit :
df= df dxdx
ce qui est une forme assez parlante : si on “simplifie par dx” on tombe sur une ´egalit´e tr`es simple. Cette expres-sion est un bon moyen mn´emotechnique pour retrouver la formule de la diff´erentielle, mais attention, du point de vue math´ematique,cette simplification pardxn’a aucun sens! ! !
fin de la parenth`ese
Revenons `a notre d´efinition de l’´energie potentielle. En utilisant les conclusions tir´ees de la parenth`ese, elle nous dit finalement que :
F(x) =−Ep′(x) =−dEp(x)
dx (‡)
forme qui doit vous ˆetre plus famili`ere. Connaissant l’´energie potentielle, on en d´eduit la force par d´erivation.
Consid´erons maintenant le probl`eme inverse. Connais-sant la forceF(x), comment en d´eduit-on l’´energie po-tentielle ? Si on connaˆıt l’´energie popo-tentielle enxA, on en d´eduit l’´energie potentielle enxB de la fa¸con suivante :
– On d´ecoupe l’intervalle [xA, xB] en petits intervalles de tailledx
dx
A B
dEp
– On somme lesdEp sur chaque intervalle : Ep(xB) =Ep(xA) + somme desdEp
3. Les gens qui travaillent sur la “gravitation quantique”
pensent d’ailleurs que, `a des distances de l’ordre de 10−35m, notre espace `a une structure tellement biscornue que l’on ne peut plus d´eriver aussi facilement. . .
– En prenantdx infinit´esimal, on obtient : Ep(xB) =Ep(xA) +
Ceci r´epond `a la troisi`eme question soulev´ee plus haut.
Remarquez que notre d´efinition nous permet de d´e-terminer l’´energie potentielle enEp(xB) `a une constante pr`es (on n’a acc`es qu’`a des diff´erences d’´energies poten-tielles). Il est donc n´ecessaire de compl´eter notre d´efini-tion, en fixant par exemple la valeur de l’´energie poten-tielle en un point. Ce choix est arbitraire. Choisissez ce qui vous arrange le plus, mais une fois que vous avez fait un choix, vous devez vous y tenir !
Passons maintenant `a la quatri`eme question qu’on se posait tout `a l’heure. Si l’on fait ce choix de d´efinition pour l’´energie potentielle, c’est parce que avec cette d´efi-nition, on v´erifie que l’´energie m´ecanique est conserv´ee.
Prouvons-le :
o`u l’on a utilis´e dans la derni`ere ligne la relation fonda-mentale de la dynamique et pour la 3oligne l’expression deEcet l’´equation (‡). Avec notre d´efinition de l’´energie potentielle, l’´energie m´ecanique est conserv´ee ! ! !
R´esum´e Il faut se fixer une origine des ´energies (par exemple Ep(xA) = 0) pour en d´eduireEp(xB)
♥
2) Probl` eme ` a deux dimensions
On va maintenant g´en´eraliser la discussion pr´ec´edente au cas d’un objet se d´epla¸cant dans un plan (position d´etermin´ee par 2 coordonn´eesxety). Contraintes :
– Remplacerdxpard~r
II.. L’´energie potentielle
– RemplacerF(x) parF~(~r)
– Lorsqu’on varie une seule coordonn´ee, on doit re-trouver les r´esultats pr´ec´edents.
Tout naturellement, notre nouvelle d´efinition de l’´ener-gie potentielle est :
lorsque l’objet se trouve en ~r = x
(d~rest tr`es petit, infinit´esi-mal), l’´energie potentielle varie de :
dEp=−F(~r)~ ·d~r
=−Fx(~r)·dx−Fy(~r)·dy
♥
La relation pr´ec´edente signifie que, au voisinage du pointr, l’´energie potentielle varie lin´eairement avecdxet avecdy. ¸Ca signifie que, au voisinage der, on approxime Ep(~r) par un plan :4 le plan tangent `a la courbe. Sur le diagramme suivant, j’ai repr´esent´e une fonction `a 2 variables (surface avec traits pleins) et le plan tangent `a cette fonction (surface avec pointill´es).
On voit que dans le voisinage du point o`u l’on a consi-d´er´e le plan tangent, il est tr`es raisonnable d’approximer la fonction par un plan.
Connaissant l’´energie potentielle, comment en d´eduit-on la force ? Si d´eduit-on se d´eplace le ld´eduit-ong de l’axe des x uni-quement (dy= 0), on se retrouve dans le cas unidimen-sionnel (comparez nos d´efinitions de l’´energie potentielle dans le cas unidimensionnel, et dans le cas bidimension-nel avecdy = 0). Donc : Fx =−d´eriv´ee deEp par rap-port `a xen gardant y fixe. Remarquez que c’est main-tenant tr`es ambigu d’´ecrire dEp
dx pour la d´eriv´ee puisque dEp d´epend de deux variables5 Pour ´eviter cette ambi-gu¨ıt´e, on introduit une nouvelle notation : les∂ (on dit le “d rond” oppos´e audqu’on appelle le “d droit”)
4. ˆEtes-vous convaincus de ¸ca ? Si non, r´efl´echissez-y, faites des dessins...
5. Regardez ce `a quoi ressemblerait notre d´efinition dans le cas bidimensionnel si on “divisait” pardx, et observez que ¸ca ne donne pas du tout ce qu’on voudrait.
On note
la d´eriv´ee deEp par rapport `axen gardanty fix´e.
♥
De temps en temps, on notera uniquement ∂E∂xp quand il n’y a pas d’ambiguit´e sur la quantit´e gard´ee constante.
Avec notre nouvelle notation : Fx=−∂Ep On trouve de la mˆeme fa¸con :
Fy=−∂Ep
On va introduire une derni`ere notation tr`es utile : le gradient∇~. Le gradient est un “vecteur” dont les coor-donn´ees sont des op´erations de d´erivation :
∇~ =
Remarque tr`es importante pour la suite : si l’on rem-place, dans notre d´efinition de l’´energie potentielleFxet deFy par leurs expressions en terme de d´eriv´ees deEp, on trouve :
dEp=∂Ep
∂x dx+∂Ep
∂y dy
=∇~Ep·d~r
Cette expression est vraie pour toute fonction `a deux va-riables (pas uniquement pour l’´energie potentielle). Dans la suite, on va utiliser cette relation dans tous les sens.
Il faut absolument comprendre la signification de cette relation !
Avec notre d´efinition de l’´energie potentielle, l’´energie m´ecanique est conserv´ee. V´erification :
dEm
Cette d´emonstration est compl`etement similaire `a celle qu’on a fait dans le cas unidimensionnel.
Chapitre 3. ´Energie, travail, chaleur, premier principe
Connaissant la force, comment trouver l’´energie po-tentielle ? On va suivre la mˆeme d´emarche que dans le cas unidimensionnel :
– On choisit un chemin allant de A `a B
– On d´ecoupe le chemin en petits intervalles de taille d~r
B
A
d~r dEp
– On somme lesdEp sur chaque intervalle : Ep(xB) =Ep(xA) + somme desdEp
– En prenantd~rinfinit´esimal, on obtient : Ep(xB) =Ep(xA) +
Z ~rB
~rA
dEp
=Ep(~rA)− Z ~rB
~ rA
F~(~r)·d~r
3) Probl` eme de coh´ erence
Une question importante se pose `a ce niveau : Le cal-cul de l’´energie potentielle enB fait appel `a un chemin particulier reliantAetB. On est clairement dans une si-tuation d´esagr´eable si le r´esultat de notre calcul (c’est `a dire l’´energie potentielle enB) d´epend du chemin suivi, car alors :
– deux personnes choisissant deux chemin diff´erents d´etermineraient des valeurs diff´erentes pour l’´ener-gie potentielle
– dans cette situation, quel chemin choisir ?
On est donc contraint de s´eparer les forces en deux cat´egories :
– les forces conservatives pour lesquelles l’int´egrale est ind´ependant du chemin suivi ; dans ce cas on peut d´efinir de fa¸con inambig¨ue une ´energie potentielle, et
– les forces non-conservatives pour lesquelles l’int´e-grale d´epend du chemin suivi ; qui n’admettent donc pas d’´energie potentielle.