L’analyse des critères

Récapitulatif

A l’issue de ces différents traitements d’échantillonnage réguliers ou irréguliers, on obtient plusieurs nuages de points. Voici un tableau récapitulatif des nuages de points qui sont étudiés avec des critères dans la partie suivante. Un numéro de nuage a été attribué pour faciliter l’étude. Le numéro de la colonne méthode correspond au type de traitement ayant abouti à la création du nuage. Un I caractérise un échantillonnage régulier, un II-1 représente un échantillonnage irrégulier simple (sans affinement des courbures) tandis que II-2 indique

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qu’il y a eu affinement des courbures. Les distances indiquées font en fait référence à la distance du pas d’échantillonnage dans chaque partie du nuage (courbures et zones planes). Si elles sont égales, c’est que cela correspond à un nuage régulier.

Numéro Méthode Distances courbures Distance zones planes Nombre de points

1 I 1 cm 1 cm 2 905 034 2 II-1 2 cm 4 cm 328 276 3 II-1 5 cm 20 cm 45 721 4 II-2 5 cm 20 cm 36 883 5 II-1 10 cm 30 cm 13 296 6 II-2 10 cm 40 cm 11 270 7 I 15 cm 15 cm 10 045 8 II-2 20 cm 50 cm 4 027

Tableau 2 : Récapitulatif des pas d’échantillonnage utilisés et du nombre de points de chaque nuage

Avant toute analyse, une première remarque est faite concernant la méthode employée : c’est le pas d’échantillonnage dans les courbures qui caractérise principalement le nombre de points conservés. En effet, cela est montré par la faible différence du nombre de points des nuages n°5 et n°6 et par le fait que le nuage n°7, ayant un pas d’échantillonnage 1.5 fois supérieur dans les courbures, ait un plus faible nombre de points. Le nombre de points dans les courbures est alors déjà un fort indicateur sur le nombre de points total conservés.

Le pourcentage de réduction du nombre de points

Le pourcentage de réduction est un premier indicateur qualifiant un des buts recherchés de la phase d’échantillonnage, l’allègement du nuage de points. On a montré précédemment que la réduction du nombre de points suivait une loi puissance. Ainsi, au travers du tableau suivant, on a un aperçu de quelques résultats montrant la décroissance du nombre de points en fonction du nuage de base, le nuage n°1 (qui a déjà été réduit de 99.97% par rapport au nuage initial).

Points 2 905 034 328 276 45 721 36 883 13 296 11 270 10 045 4 027 Réduction Relative 0.1130 0.1393 0.8067 0.3605 0.8476 0.8913 0.4009

Absolue 0.1130 0.0157 0.0127 0.0046 0.0039 0.0035 0.0014

Tableau 3 : Evolution du pourcentage de réduction relatif et absolu des nuages en fonction de leur nombre de points

On observe par exemple que le nuage n°2 représente 11.3% du nuage n°1, le nuage n°4 : 1.3% et le nuage n°8 : 0.14%. Un facteur 10% de réduction est donc présent entre ces nuages. La subdivision de la densité n’est, elle, pas régulière puisqu’elle suit une loi puissance. Bien entendu, dans l’évaluation de ce critère, moins il y a de points, mieux c’est. On peut tout de même tenter de caractériser un nombre de points au-delà duquel la réduction n’est plus optimale. En fait, en étudiant un graphique des pourcentages normalisés de réduction (figure suivante), on remarque qu’une valeur d’environ 30 000 points semble être la limite pour

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laquelle il est le plus intéressant d’effectuer la décimation du point de vue du taux de réduction du nuage. En effet, visuellement, on remarque que le nombre de points augmente considérablement après ce palier. Les valeurs de normalisation des pourcentages sont calculées avec la prise du logarithme du pourcentage de réduction, ce qui permet d’évaluer l’évolution puissance du nombre de points.

Figure 11 : Evolution logarithmique de la réduction d’un nuage en fonction de son nombre de points

Le NDDI

Pour chaque nuage, le NDDI a été calculé. Les résultats de ces calculs sont résumés dans le tableau suivant et accompagnés d’autres valeurs. L’étude n’a pas été réalisée sur le nuage n°1. Le facteur s’apparente au rapport entre les deux valeurs de densité (courbures ou plat). Le NDDI est l’indice issu de la création du critère, utilisant la méthode décrite dans la partie concernée. Le NDDI bis, quant à lui, est l’application de la formule du NDVI directement avec les deux distances du pas d’échantillonnage dans les courbures et sur le plat.

Nuage 2 3 4 5 6 7 8 Densité courbure 2 cm 5 cm 5 cm 10 cm 10 cm 15 cm 20 cm Densité plat 4 cm 20 cm 20 cm 30 cm 40 cm 15 cm 50 cm Facteur 2 4 4 3 4 1 2.5 NDDI 0.54 0.60 0.61 0.48 0.48 0.20 0.42 NDDI bis 0.50 0.60 0.60 0.50 0.60 0.00 0.43

Tableau 4 : Récapitulatif des résultats donnés par l’indice NDDI

Premièrement, il est intéressant de remarquer que le nuage n°7 (régulier) donne l’indice le plus proche de 0. D’autre part, ce sont les nuages n°3 et n°4 qui affichent le plus fort indice. Cela montre tout d’abord que le fait d’affiner les courbures n’a pas eu d’impact sur la densité. De plus, les nuages n°5 et n°6 ont le même indice également alors qu’ils n’ont pas la même densité dans les zones planes. Après avoir étudié ces deux nuages dans les zones planes, il semble que la faible différence du nombre de points (1 000 points sur 13 296) soit

y = 0.4343ln(x) - 6.4632 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 Re d u cti o n n o rm ali se e Nombre de points

Evolution de la normalisation du pourcentage de reduction d'un nuage de points en fonction de son nombre de points

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responsable de cette analogie d’indice. De même, tous les histogrammes de densité ayant une forme gaussienne, il est alors normal que toutes les valeurs soient plutôt proches entre elles voire égales dans ce cas-là. L’une des remarques principales, due à cette répartition gaussienne, est que les valeurs du NDDI se corrèlent avec celles du NDDI bis. En effet, elles sont toutes très proches, sauf pour le nuage n°6, du fait du faible écart en nombre de points que donne les sous-échantillonnages intenses, et le nuage n°7, pour qui la théorie du nuage régulier influence cette légère différence.

Ainsi, le facteur entre les deux valeurs de densité joue un rôle très important dans la détermination de l’indice. Cela s’explique par le fait que la méthode de création des nuages utilisée implique que les 25% premières valeurs aient la densité des zones planes et que les 25% dernières aient celle des zones courbées. Il est alors logique que le facteur de différence entre les deux densités soit déterminant pour le calcul de l’indice NDDI voire même que les indices calculés soient si proches (facteurs évoluant principalement entre 2 et 4). De plus, on remarque aussi que l’indice du nuage n°2 est plus élevé que celui du n°8 alors que ce devrait être l’inverse selon la logique expliquée ci-dessus. En réalité, cela s’explique par le fait que la manière dont est calculé l’indice favorise beaucoup les nuages de forte densité. La méthode de calcul du NDDI fonctionne bien mais souffre de quelques imperfections et s’avère même tronquée par la technique d’échantillonnage mise en œuvre. En effet, cet indice a été créé pour contrebalancer le critère du nombre de points, c’est pourquoi il est meilleur pour des nuages plus denses. La prise en compte du nombre de points dans le calcul de l’indice pourrait servir à fabriquer un nouvel indice qui soit plus équitable dans et traite plus de la différence de densité.

Conclusion et sélection des nuages

Etant donné que le critère de densité n’a pas permis de caractériser correctement les méthodes de création des nuages de points, l’apport potentiel des nuages sur l’étude de la meilleure méthode a permis d’effectuer la sélection des nuages qui seront utilisés pour la suite. En effet, plusieurs réponses doivent être apportées concernant la méthode optimale à utiliser lors de cette phase d’échantillonnage. De plus, l’étude visuelle des nuages a montré que tous les nuages, même les plus décimés, possèdent de bonnes caractéristiques de préservation de points importants, caractérisant des angles notamment.

Tout d’abord, face au fait qu’il existe plusieurs techniques d’application de la couleur, les nuages n°1 et n°7, possédant des échantillonnages réguliers de 1 cm et 15 cm, vont être

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étudiés. Deuxièmement, il est apparu qu’affiner ou non les courbures ne créé pas de grande différence dans le nombre de points sauf si un sous-échantillonnage supérieur à 5 cm y est paramétré. C’est donc le maillage et son étude esthétique qui vont permettre de choisir laquelle des deux méthodes est la meilleure et d’identifier la valeur du pas d’échantillonnage préférable dans les courbures. Ainsi, des nuages tirés des deux méthodes ont été conservés mais avec des densités différentes pour pouvoir répondre à ces interrogations : le nuage n°3 et le nuage n°5. Enfin, le nuage n°8 est choisi pour permettre de justifier ou non l’utilité de mailles fines avec l’application des photographies.

II.3 Le maillage

Dans le cadre de ce travail, il s’agit d’obtenir un modèle « tel que saisi », représentant donc les carrières telles qu’elles ont été mesurées, par l’intermédiaire de la création d’un maillage. En effet, il semblerait très compliqué de modéliser les parois souterraines uniquement à l’aide de formes géométriques simples. A l’issue de la phase d’échantillonnage, et avec les différents nuages de points obtenus, il y a le choix de procéder selon plusieurs méthodes pour créer un maillage des carrières. Le but de cette phase est d’obtenir un résultat fidèle aux nuages de points sous-échantillonnés précédemment pour ensuite effectuer toutes les analyses souhaitées et ainsi caractériser les avantages de chaque méthode de sous- échantillonnage testée.

II.3.1 Le type de maillage créé